Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
§ 7. Применение определенного интеграла
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| § 7. Применение определенного интеграла
335 147. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной осями коор динат и параболой л/х + ^/у = у/а. 148. Найти статический момент однородной фигуры, ограниченной графиками функций м I-+ 1~ 2 и х ь-*■ х 2, х 6 К , относительно оси Ох. 149. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной графиком функции, заданной уравнением у2 = ах3 — х 4 . 150. Найти декартовы координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной графиком правой петли лемнискаты Бернулли р2 = a2 cos 2<р. 151. Найти декартовы координаты центра тяжести части логарифмической спирали р = «е*, § ^ V ^ я-- 152. Найги момент инерции боковой поверхности конуса, радиус основания которого R и высота I I , относительно его оси симметрии, 153. Найти положение центра тяжести однородного конуса. 154. Радиусы оснований усеченного прямого кругового конуса равны R и г, высота h, плотность р. С какой силой действует он на материальную точку массы т, помещенную в его вершине? 155. Капля с начальной массой М падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную т. Какая работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? Сопротивлением воздуха пренебречь. 156. Треугольная пластинка, основание которой о = 0,4м, а высота h = 0,3м, вращается вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью ш = 5?гс- 1 . Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее d = 0,002 м, а плотность материала, из которого она изготовлена, р = 2200 кг/м 3 . 157. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основа ние лежит на поверхности воды. Основание пластинки а, высота ft.. а) Вычислить силу давления воды на каждую из сторон пластинки. б) Во сколько раз увеличится давление, если перевернуть пластинку так, что на поверх ности окажется вершина, а основание будет параллельно поверхности воды? 158. Стержень длиной I вращается вокруг своего конца, совершая п оборотов в секунду. Определить величину натяжения в точке прикрепления, если вес единицы длины стержня равен <т, а центробежная сила для массы т, движущейся по окружности радиуса г с угловой скоростью w, равна шпа2. 159. Под действием нагрузки / проволока длиной I с поперечным сечением S и модулем Юнга Е получает удлинение Д / равное j pi . Определить удлинение этой проволоки под дей ствием своей тяжести, если она висит вертикально. Удельный вес вещества проволоки равен р. 160. От нагрузки в 9,8 Н проволока растягивается на 0,01м. Какую работу надо совер шить, чтобы растянуть ее на 0,04м? 161. Какую работу надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы ради усом 1,2м и высотой 1м, если плотность песка 2000к г/м 3? 162. По закону Джоуля количество тепла, выделяемого постоянным током, равно Rci 2t,' где с = 0,24 — постоянная, R — сопротивление, t — число секунд, г — сила тока. Найти выделяемое тепло для переменного тока г = a cos bt. 1СЗ. По закону Торричелли скорость вытекающей жидкости равна \ J 2 g h , где h — глубина отверстия иод уровнем жидкости. Определить время вытекания воды из конической воронки с вершиной внизу, имеющей площадь основания Р, высоту h и отверстие в вершине площадью и. 164. Цилиндр радиуса 0,15 м и высотой 0,6 м наполнен воздухом под давлением 9,8 • 104 Н /м2. Какую работу надо совершить при изотермическом сжатии газа до объема в два раза меньшего? 165. Точка движется по оси Ох, начиная от точки (1, 0), так что скорость ее численно равна абсциссе. Где будет находиться точка через 10 с после начала движения? |