Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1 5 7 . Пусть на сегменте [а, 6]
- 158. Применяя формулу прямоугольников (п
- Гл. 4. Определенный интеграл
| 1 5 4 . Пусть G'(x) = h(x) + д(х),
а ^ х ^ Ь, где h £ С ^ \ а , b], h'(x) ^ 0 Vx £ [а, Ь], а д и / — функции, заданные в предыдущем примере. Вычислить о / f dG( x ) ◄ Поскольку G — неубывающая на сегменте [а, Ь] функция, равная сумме двух неубыва ющих на этом сегменте функций, то, согласно формуле (1), п. 8.5, имеем ъ ъ ь j f (x) dG(x) = j f (x) dh(x) + J f(x)dg(x). a a a b b Поскольку h £ C^^[a, b], to f f (x) dh(x) = J f (x) h' ( x)dx, следовательно, получаем a a 6 b b J f ( x ) dG(x) = J f (x) h' ( x)dx + J f{x)dg(x), a a a b где f f ( x ) dg(x) вычисляется по формуле, полученной в предыдущем примере. ► a 1 5 5 . Пусть / £ С[а, Ь], р £ R[a, b], р(х) ^ 0 Ух £ [а, 6]. Доказать, что О О J f ( x ) d P( x ) = J f{x)p(x)dx, X где Р(х) = J p { t ) dt, а ^ х ^ Ь. а -4 Рассмотрим произвольное разбиение П сегмента [а, Ь] и составим интегральную сумму Стилтьеса функции / по функции Р: 7 1 - 1 7 . - 1 1 * + 1 5п(/, P) = X ]/№ )(^(* .+ i)-^(* .)) = X )/(f.) / £.€[**, *,+i]. i=0 t=0 ^ х г Составим также риманову интегральную сумму интегрируемой на сегменте [а, Ь] функции f p : it—1 Sn{fp) = Д г -' § 8. Интеграл Стилтьеса 343 и рассмотрим разность i+i •Vn(/, Р) - Snifp) = Y ; f ( b ) ( J p ( z ) d x - p ( b ) A x i \ . Согласно первой теореме о среднем, имеем ■г-i+i p( x) dx = Pi Ах,, J где го, = inf {v ( x ) } , M i = sup {р(х)}. Принимая во внимание оценку |/( х ) | < М, а ^ х < Ь, М = const, неравенство |/т,-р(£;)1 < w;, где ш, — колебание функции р на сегменте [жг, x;+i], а также интегрируемость функции р, получаем, что Ve > О ЭЙ > 0: 71 — 1 |.9П(/, Р ) ~ 5 п (/р )| ^ M ^ u j . A x i K е, 1=0 для каждого разбиения П, для которого ^(П) < S. ь Таким образом, 3 lim S„( f , Р) = lim Sn(fp) = f f(z)p(x) dx. Следовательно, d(n)—0 d(n)->0 a b b f € £(.P)[a, Ь] и / f (x ) dP(x) = J f(x)p(x)dx. ► a a ' 2 1 5 6 . Вычислить J xdg(x),rjs,e - 2 { x + 2, если — 2 ^ x ^ —1, 2, если — 1 < x < О, x2 + 3, если 0 0 ^ 2 . ■ 4 Функция д имеет скачки, равные 1, в точках х = —1 и х = 0, а ее производная д1 имеет вид ( 1, если — 2 ^ х < —1, д'(х) = < 0, если - 1 < х < О, I 2а:, если 0 < х < 2. Применяя формулу (1), п. 8.5, получаем £ — I £ J xdg(x) = J х dx + 2 J х2 dx + (— 1) • 1 + 0 • 1 = — ж 2 з + з 1 1 5 7 . Пусть на сегменте [а, 6] оси Ох расположены массы, непрерывно распределенные и сосредоточенные в точках х 3 , j = 1, п. Найти статический момент этих масс относительно начала координат. ■4 Пусть х ь-. Ф (х), а ^ х < b, — количество массы на сегменте (а, х] С [а, 6], причем Ф(а) = 0. Тогда Ф — неубывающая функция. Пусть П — произвольное разбиение сегмента [а, 6] на п частей. Тогда на сегменте [х,, x,+ i] содержится масса Ф(х;+ 1 ) — Ф(х.) = ДФ(х.). В частности, на сегменте [ х о , Si] содержится масса ®(xi) — Ф(а) ^ 0 (в силу предположе ния Ф(а) = 0). Считая в каждом случае массу сосредоточенной на правом конце сегмента [x'i, x, + i], получим приближенное значение статического момента dM всей массы относи тельно начала координат в виде П — 1 dM « АФ( хг) = Sn(x, Ф), 1 = 0 344 Гл. 4. Определенный интеграл где при й(П) —► 0, получим для вычисления искомого статического момента М формулу М = Если х к-» fi(x) — линейная плотность непрерывно распределенной массы, то Ф'(х) = /i(x). В точках х} , j = 1, m, функция Ф разрывна и в каждой из этих точек ее скачок равен массе mj. Применяя формулу (1), п. 8.5, для вычисления интеграла Стилтьеса, находим М = ► Полученная формула показывает, что интеграл Стилтьеса позволяет объединить с помо щью одной интегральной формулы разнородные случаи непрерывно распределенных и сосре доточенных масс. Упражнения для самостоятельной работы 166. Пусть / : х (-* sin х, <р : х i— ► х2 — Зх + 5, 0 ^ х ^ 167. Пусть f •. х х3, 0 ^ х ^ <р : х к, если 1 Вычислить f f ( x ) dip(x). о j . Вычислить f f(x)d о ^ < X ^ <р(0) = 0, к - 1, п. 5 168. Пусть / (р ■. х [х2], 0 ^ х ^ 5. Вычислить f f(x)d о 169. Пусть / : ж t—>• х 2, 0 ^ х ^ 1, < р(х) = 0, если ® € [О, j [ и х € ] j , l ] , < р ( j ) = 1. i Вычислить Jf(x)d(p( x). о 170. Пусть / : х х2, 0 ^ х ^ 1, ip(x) = 1, если х 6 ]0, 1[, <р(0) = <р(1) = 0. Вычислить / / ( х) d г 1 г о, если х - —1, 171. Вычислить J xd где <р(х) = < 1- если — 1 < х < 2 1. -1 , если 2 ^ х < 3. 2 2 2 172. Вычислить f xd (x3 + 1 )d где - 2 - 2 - 2 ip(x) x + 2, если — 2 ^ x ^ —1, 2, если - 1 < x < 0, 3, если 0 ^ x ^ 2. 173. Пусть / — функция ограниченной вариации на сегменте (0, 2тг] и /(2 т ) = /(0 ). Доказать, что каждый из интегралов 2тг 2тг / / ( * ) cosnxdx, J /(x )s in n x dx о о не превосходит v^ ' 2п^ по абсолютной величине. 345 § 9. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9. Приближенное вычисление определенных интегралов 1°. Ф ормула прямоугольников. Если функция у{х) € С ^ [ а , fe]; h = yj—; Xi = а + ih (i = 0 , 1 , . . . , n ) ; у(х{) = yt, t o 0 J y(x) dx = h (y0 + yi + . .. + yn~ i ) + R n, где Rn = ^ V ( S ) , a < b. 2°. Ф ормула трапеций. Если у = у(х) 6 С^2^[а, 6], то при тех же обозначениях имеем ь j у(х) dx = h ( —~+2 Уп + y i + У 2 + ■ ■ ■ + г / п - 1 ^ + R n а где R n = - (ь у" (у), а ^ 1 ) 4 Ь. 3°. Ф ормула парабол (формула Симпсона). Пусть у = у(х) £ С ^ [ а , 6]. Полагая п — 2к, можно получить формулу Симпсона О / у(х) dx = - ((уо + У 2 к) + 4(г/1 + уз + • • • + V 2 k - i ) + 2 (у2 + J/4 + • • • + У 2 к-з)) + Rn, где R n = ~ ^ 0)ftV IV)(C), а ^ b . Примечание. Если имеет место формула ||~ - г||о = Шах|г, - zj| $ Mhn, где z, — приближенное япачечие вeлпчmп, ?,•. гычисленное по некоторой формуле, то говорят, что эта формула в некотором классе функций имеет n-й порядок точности (М > 0 — постоянная, не зависящая от h). Таким образом, формула прямоугольников имеет в классе у £ С^1) [о, 6] первый порядок точности, формула трапеций в классе у £ С^2)[п, 6] имеет второй порядок точности, формула парабол В классе у £ С(4)[а, Ь] имеет четвертый порядок точности. Часто вместо нормы || • ||о берут другие специальные нормы, выбор которых зависит от характера решаемых задач. В дальнейшем отрезок [а, Ь] с выделенными на нем точками ад = а + ih (i — О, 1 ,..., и) будем называть равномерной сеткой с шагом h; точки деления г, называются узлами сетки. 158. Применяя формулу прямоугольников (п = 12), приближенно вычислить I = 21Г J х sin х dx и результат сравнить с точным ответом. о < Рассмотрим равномерную сетку на отрезке [0, 2ж] с шагом h = тогда I, = *f (* = О, 1 , 2 , . . . , 12). По формуле прямоугольников, имеем / , ж \ .ж . .ж ж2 . . гж ж2 I т —v * s.n х dx * - ^ sin г - = - ^ ism у = - - ^ cos ,* 1=0 г=0 (б sin 6х • ж ’36 2 I cos 6х • sin —х ж 36 sin у х - у cos —х ■ cos 6х) sin | . о х sin2 J 346 Гл. 4. Определенный интеграл 1 .V . . . 1 1 г cos — cos Ox sm — х 2 ь_____ & • 2 * S1" а О / 1 1 1 1 • 7Г 1 тг • 1 1 \ * (YCOSj^rsm - - - cos Н ЗШП 7 Г) _ 36 • 2 ТГ sm - - 1 1 = - у Ctg £ = - у (2 + V3) * -6,2961 * 2 JT sm - (взяли ?г » 3,14; ч/З ~ 1,73). Точное значение интеграла I = — 2ж = —6,28 ... . ► 159. О помощью формулы трапеций вычислить интеграл j f - ' r sin" х dx (и = 6 ) и оценить погрешность формулы. Ч Построим на отрезке [о, равномерную сетку с шагом h = уу: {х; = * 75 ; » = 0, 1, 2, 3, 4, 5, б}. По формуле трапеций f | 2 + V3 , 1 12 V ■к ( 2 24 \ т / 2 + чД 1 24 + ^ £ \ / 7+ cosi? ) = + л /3 , 1 / v / t I + л / з , л/15 , ^ , л/13 . \ / 14 — т/З 2 + V2 I V2 a / 2 +V/ + a / 2 + V2 , = — (2 + 4 / 3 + \ / ] 4 -t- v/3 + \/Тб + ч /н + л/Гз + \ / l 4 - ч/З) и .4 1 4 2 Я 149 . о о 490 Я - Ц - - (3,732 + 3,966 -I- 3,873 + 3,742 + 3,606 + 3,503) я ~ 1,4677. 48 4 48 Оценим погрешность формулы тралении; для отого оценим Яп . Очевидно, \R n\ $ max !/"(»,) |. В нашем случае max 1 — у sin2 х <■ _17 ^ 14'7 н ' Таким образом, |Д„| ^ :>в ззУ /fT ^ 0,002. ► 160. С помощью формулы ( чгмпсона вычислить интеграл ' - У г + ЯГ Ч Деля отрезок [0, 1] на четыре равных части (Л = у ), по формуле Симпсона имеем I « £ ((До + Дг) + 4 ( Д 1 + у.,) + 2дг) « ^ (1 + 0,5 + 3,76471 + 2,56 + 1,6) = 0,78539. ► 161. Принимая п — 10 , вычислить константу Каталана 1 G = j ^ £ < i x . Ч Построим равномерную сетку с шагом h = 0,1 {х; = ill; i = 0, 1 ,...,1 0 } и вычислим приближенно G по формуле Симпсона G = ~ ((до + дю) + 4(yi + Дз + уь + Д7 + До) + 2 ( д 2 + Д4 + До + Д а )). Вычисляя соответствующие значения функции с точностью до пяти знаков после запятой, получаем До = 1; Дю = 0,78540; д0 + Дю = 1,78540; Д 1 = 0,99668; д3 = 0,97152; д5 = 0,92730; |