Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| § 8. Интеграл Стилтьеса
341 г) Если / непрерывна в точке х = 0, то одновременно выполняются все предыдущие случаи и при этом 1 1 1 J /(*)j /(*)d&(*) = j /(*)dj83(*) = /(0). ► -1 - l -1 1 5 1 . Используя обозначения задачи 150, доказать, что /?2 € 5(/?i)[—1, 1] несмотря на то, что lim 6'п(A , /?i) не существует. ci(II)—*-0 < Интегрируемость функции fa по функции fa следует из случая а) примера 150, причем 1 ( J /?2(x)d/?i(x) = #г(0) = 1. -1 При любом разбиении П сегмента [—1, 1] и произвольном выборе точек £ [ж;, ач+г], « = 0, н — 1, имеем, если 0 £ [х3, xJ+i]: 1 = 0 ^ Следовательно, lim 5 ц (fa, /?i) не существует. ► r-\ Л(П)-0 Этот пример показывает, что условием а £ С[а, Ь], о котором говорится в теореме пункта 8.2, нельзя пренебрегать. о ' 1 5 2 . Показать, что з J xd([x]-x) = о ◄ Интегрирующая функция хь-»[ж] — ж , 0 ^ ж ^ 3 , представлена в виде разности неубыва ющей функции 1 и [i], 0 ^ I ^ 3, и возрастающей функции i ь» л, 0 ^ i ^ 3, следовательно, согласно определению интеграла Стилтьеса по интегрирующей функции ограниченной вари ации, имеем з J х X <1х. Функция х к-, [х], 0 ^ х 3, терпит разрывы первого рода в точках х = 1, х = 2 и х = 3, а функция / : х х, О ^ х ^ З , непрерывна в каждой точке сегмента [0, 3], поэтому, согласно решению примера 151, получаем з J * ф ] = /(1 ) + /(2 ) + /(3 ) = 6. О 3 Поскольку f х dx = то окончательно имеем о J x d ( [ x ] - x ) = 6 - | = | . ► о 153. Пусть p i — точки сегмента [a, fe] такие, что а = р 0 < p i < . . . < р п = Ь. Пред положим, что функция д : [а, 6] —► R не убывает на сегменте [а, 6] и постоянна на каждом интервале ]р;, p,+i[, i — 0, п — 1. Пусть / : [а, Ь] —<-*К, / £ С'[а, 6]. Вычислить ь J f(x)dg(x). 342 Г л. 4. Определенный интеграл ■4 Функция д терпит разрывы первого рода в точках р, , а функция / непрерывна на сегменте [а, 6]. На основании решения примера 151 можно утверждать, что / £ 5(jr)[a, b], причем ь J / ( * ) = f(po)(g(po + 0) - д(ро)) + а + ^ / ( р < ) ( ( г ( р < + °) - a(pi)) + (д(п) - д(р> - о))) + f ( p n)(g(pn ) - д(рп ~ о)) = t = l п— 1 = /(«)(g(pi - °)) + f(b)(g(i>) - з(ь - о))- ► г = 1 жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|