Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
/4 + Ус + .2/8 ) я 2 • 5,54412 = 11,08824; 1 /■
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- + о о + о о I1 = l J 7ТЛ
- 166. Приближенно найти длину эллипса, полуоси которого а = 10 и b =
| 2/4
+ Ус + .2/8 ) я 2 • 5,54412 = 11,08824; 1 /■ фг я i ( 3 , 71828 + 29,08692 + 11,08824) = 4 я 1,46311. Получили три верных цифры после запятой. ► 164. Вычислить J (fI _ 1) 1п X dx с точностью до 10" ■4 При х — 0 (ег —1)1п^ —► 0, поэтому интеграл Римана существует. Производная четвертого порядка подынтегральной функции имеет весьма сложный вид и оценить ее труд но; более того, уже первая производная подынтегральной функции неограничена на [0, 1]. В 348 Гл. 4. Определенный интеграл принципе мы можем воспользоваться формулой Симпсона, однако оценку погрешности про извести не сможем. Поэтому поступим следующим образом. Разложим по формуле Тейлора функцию 1 — t x по степеням х : 2 3 4 X X X Xs xG —■ — |-----------h — - -J- . ■ — “Ь • — 2 6 24 120 720 где R(x) = 0 < с < 1. Запишем подынтегральную функцию в виде f ( x ) = (1 — ех)1п х и обозначим через <р{х) функцию . . . / х2 х3 х4 х 5 х'6 w \ 2 6 24 120 720 Очевидно, f (x ) = <р(х) + 72i(ж), где ЙДх) = 1пхй(х). Оценим |i£i(x)| = [О, 1]. Поскольку liiu х 7 In х = 0; ln l = 0, то функция \z\ = |х71пх| достигает абсолютного Х— +0 максимума в некоторой внутренней точке отрезка [0, 1]. Дифференцируя z(x), получаем _ 1 z'(x) — хв + 7x6lu x . Приравнивая нулю z'(x), находим, что в точке х = е 7 функция |z(x)| достигает абсолютного экстремума, равного при х G 1 - 1 max |z(x)| = — -е I 7 7е Так как |й(х)| < j ; ПРИ х € [0, 1], получаем оценку |/(х ) — . Таким образом, 1 1 J { f ( x ) ~<р{х)) dx < J |/(х ) - < ID- *. о о поэтому вместо интеграла функции /(х ) будем вычислять интеграл от функции <р(х). Задан ная точность будет обеспечена, если в процессе вычисления интеграла функции <р(х) погреш ность вычислений не превзойдет 10- 4 . Интегрируя функцию <р(х ) по частям, имеем [ . , / , , , . . , I* [ ( Х Я2 Х3 Х4 хЪ X6' \ , J J J |0 J \ 2 6 24 ^ 120 ^ 720 7! J 0 0 0 1 1 , 1 1 , 1 1 = — + 77Г + — + ТТ7Г + T—Г7 + 4 18 96 600 6 - 6! 7 -7 !’ где x2 . X3 . x4 . X s . X 6 X 7 * ( * ) = - { T + T + 2 4 + m + 720+ 7 \ ) ’ Ф{ х ) Ых о = Ф{1) ' l n l _ Ь о ^ ) l n i = °- С точностью до 10-6 имеем i = 0,250000; \ = 0,055556; — = 0,010417; — = 0,001667; —!— = 0,000231; 4 18 ’ 96 600 ’ 6-6! 1 J (1 — e*) In x dx « 0,250000 + 0,055556 + 0,010417 + 0,001667 + 0,000231 = 0,317871 «0,3179. ► 0 + oo 1 6 5 . Вычислить с точностью до 0,001 интеграл вероятностей I = J е х dx. § 9. Приближенное вычисление определенных интегралов 3*9 ■4 Интеграл сходится, поэтому Ve > 0 3Ai > 0 такое, что при А ^ Ai + оо / е х dx < е. Если мы нашли A i , то можем записать при А ^ Ai А + оо / = J е ~ Х где R — J е х dx. О А Возьмем е = 10 и постараемся определить оптимальное А , т.е. такое, чтобы промежуток [0, Л] имел по возможности небольшую длину. Проще всего поступить следующим образом: + 00 2 + со допустим, мы нашли такое И, что f е~х dx < е; тогда и интеграл J е- * dx < е; А Л + 1 О < + 00 А+1 е~х dx = I е ~ х dx — < £, А + 1 А + оо + о о А + 1 J d x - J е~*2 dx = J где А < $ < А + 1 (по теореме о среднем). Полученное неравенство эквивалентно неравенству Подставляя е = 10 3, получим ( > А п 1000 « х /6-907755 « 2>628 и в качестве А можем взять А = 2,6. Можно получить более тонкую оценку для А. Допустим, найдено такое А, что + о о /] = J е~х dx < е. А , , • Произведя замену х 2 = t ^dx = , получим + о о + о о I1 = l J 7ТЛ< £4 J e~tdt= 2А А* А2 Из условия < е находим Ае^2 > In А + А2 > In откуда А > ^/ln ^ —In А. Так как должно быть Л > 2 при е = 10-3 , под радикалом можем взять In 2 вместо In Л: Л > Vln 1000 - 2 In 2 и у'б,90775 - 1,38628 = х/5,52147 = 2,35. Таким образом, взяв, например, Л = 2,4, можем записать + СО 2,4 0 < [ е- *2 dx — / е - *2 dx < 10~3 J 0 J 0 Наша задача сводится теперь к вычислению с точностью до 10 3 интеграла 350 Гл. 4. Определенный интеграл Мы могли бы поступить здесь, как и в предыдущей задаче 164: аппроксимировать функ- цию е полиномом. Но в связи с тем, что промежуток интегрирования имеет длину 2,4, а степени (2,4)” растут довольно быстро, нам пришлось бы для обеспечения нужной точности взять больше 15 членов разложения в формуле Тейлора. Интеграл 7 будем вычислять по формуле Симпсона. Найдем у ^ функции у = е~х^ . Поскольку у(4> = 4у (3 - 12х2 + 4х4) , то |у(4)(х)| < 4(3 - 12 • 5,76 + 4 • 33,1776), х е [0; 2,4], ^ 1, а функция z — 3 12х2 + 4х4 монотонно возрастает при х > \ Таким образом, |t / 4^(x)J 4 • 66,5904 = 266,3616, 0 ^ х ^ 2,4. Оценивая погрешность R формулы Симпсона R = - ( ± z H ! ± f < ) {n 180 J находим для нашего случая a «S ( < ь, Из условия |Щ < 10" получаем h < ю- 180 < 3,55148/г4. ю - = 0,1 < 0,13. 3,55148 V 3-5 Для получения заданной точности можем взять h = 0,1. Рассмотрим сетку на отрезке [0; 2,4]: ш>, = {х; = 0,1г; г = 0, 1 ,...,2 4 } . Для обеспече ния заданной точности значения подынтегральной функции в узлах сетки будем вычислять с пятью значащими цифрами после запятой. Имеем уо = 1: у24 И 0,00315; уi я 0,99005; уз. « 0,96079; уз я 0,91393; у4 я 0,85214; у5 Я 0,77880; ' у6 « 0,69768; у7 я 0,61263; у8 И 0,52729; уд я 0,44486; у10 я 0,36788; уи Я 0,29820; у12 я 0,23693; у 13 я 0,18452; у и « 0,14086; у15 я 0,10540; y ie я 0,07731; у „ я 0,05558; у18 я 0,03916; у19 я 0,02705; 2/20 и 0,01832; y2i « 0,01216; у22 я 0,00791; у23 я 0,00504; уо + у24 « 1,00315; 12 11 4 « 4.4,42822 = 17,71288; 2 Е У2} 1 = 1 1 = 1 12 11 \ 7 « — I 2/0 + 2/24 + 4 ^ у г, - 1 + 2 у2) ) ? i=i j=i / : 2 • 3,92627 = 7,85254; 28,56857 30 0,8856. Рассмотрим точное значение / = ^ = 0,8862... , а также ошибку R = I — I = 0,0006 = 6-10~4. Полученная точность превысила заданную. ► 166. Приближенно найти длину эллипса, полуоси которого а = 10 и b = 6. ■4 Параметрическими уравнениями эллипса являются х = lOcosl, у = 6sint, ^2Х , а длина его дуги L = 4 J v ^ O cos2 t + 36 sin2 tdt 2 - / V l7 + 8 cos 2x dx. Вычислим интеграл с помощью формулы Симпсона, разделив отрезок [о, | ] на 6 равных частей (А = y j ) . Будем вычислять значения подынтегральной функции в узлах сетки и>н = {ih; г = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 6}: уо = 5, ув = 3, у, = x / l T + l V I я у/23,928 « 4,892; у2 = >/17+ 4 = V21 я 4,583, уз = >/17 я 4,123; у4 = >/ТГ^4 = \/1з я 3,606; у5 = \ / l 7 - 4\/з « х/10,072 я 3,174; У о + У б = 8 ; 4 (yi + уз + ys) Я 48,756; 2 (у2 + у4) я 16,378. Подставляя полученные значения в формулу парабол, находим: 27Г 6,283 • 73,134 |