ге—« о о
П —«ОО
Теорема. Любая числовая последовательность имеет верхний и нижний пределы.
6.7. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве.
О п ред елен и е. Последовательность (хп) элементов метрического пространства £ на
зывается сходящейся, если существуют элемент а £ Е и для любого е > 0 натуральное
число т такое, что V п > т справедливо неравенство р ( х п, а) < е.
В этом определении натуральное число m можно заменить положительным действитель
ным числом а, поскольку из неравенства п > а следует п > [а] = т.
Если в Rm задана последовательность с членами х„ = (т 1п, зс2„, . . . , хт „), п € Н* та
кая, что существует lim х,п, i —
1
, т, то эта последовательность сходится и справедливо
X —■ * ОО
равенство
lim хп = ( lim хщ, И т х 2п, ■ ■ ■, lim xmn).
п —*оо
гг—«оо
п —«оо
п —»оо
Аналогично, если в ЯЛ задана последовательность
Ак
»<*)
-«*)
«(*)
„<*>
umn
* € N ,
такая, что 3 lim a\,kq\ р —
1
, я, q =
1
, т, то эта последовательность сходится и справедливо
к
—«оо
равенство
lim а!
(*0
lim а'(*)
(*)
lim Ак =
А;—«оо
л*
к—
«оо
lim а(к] lim а
(к1
к —*о
fc—«оо
lim а
1
к - о о
lim а\пп
fc— * ОО
6 4 .
Доказать, что последовательность (х„) =
^ сходится
к
числу 2.
4 Имеем |х„ —
2
| = 12>~ —
2
| =
Для любого е > О 3 то £ N такое, что ^ < е (си(|
пример 28). Тогда V н > т справедливо неравенство i < е и, следовательно, |®п —
1
| < С,
т. е. lim i n =
2
. ►
Гл. 1. Введение в анализ
'•44
6 5 . Доказать, что:
a)
lim qn —
0
при |?| <
1
; б) lim qn = оо при |?| >
1
.
п - * о о
п —»оо
4 а) Если q = 0, то равенство а) очевидно. Пусть е > 0 — произвольно и
0
< || < 1.
Тогда, пользуясь неравенством Бернулли, получим
м
_ < £
у „ > Л
Отсюда
Ып =
\яп\ <
б) Пусть |g| > 1 н Д >
0
—• произвольно. Тогда из неравенства
1«П = (1 + (Ы - 1))” > 1 + п(|?| - 1) > n(|g| - 1) > Д
находим, что
|д|п > Д
Vn >
Ы ~
1
'
Найти следующие пределы:
6 6
. Urn ( 1 + 4 + Л + ••• + — — V
n-oo V
2
22
т
23
2
П )
< Положим S„ = “ + £ + £ + . . . +
Тогда
О
U
1 , / 3
1 \
/ 5
3 \
5 п - 1 + 1 + - + . . . +
^ 2
г - 1
2?i -
3 \
2n — 1
2n
2n )
2"+!
1 , / 1
1
~ 2 + {2
+
22
+ . . . + ;
— 1 _L 1 - З ^ т
2» — 1
1 - i
2"
Таким образом,
lim S „ = lim f l + i ----
2
^
1
-
= Um ( l +
2
- -
1
- -
=
n—oo
П-.00 Y
1 —
-
2n
J
n—oo \
2
n~2
2” у
= Inn 3 - lim —
- 2 lim
+ lim ~ = 3.
n — oo
n — oo 2 " 2
n — oo 2 n
П
- . 0 0
2 n
Здесь воспользовались тем, что
»
(1
+ l ) n
1
+ „ +
+ . .. +
1
n -
1
< e
для произвольного e >
0
, если в >
1
+ - , т. e. lim rj- =
0
. ►
6 7 . lim ( —
-f . .. н—
.
n-.oo yl •2
2-3
n(n -)-1
) J
◄ Заметим, что
r b + ^
+ - - + ^ T i ) = (1- | ) + ( b D + --- + ( i - d ^ ) = 1~^TT-
Тогда
JiSo ( г л + г з + •••+ ^ T i y ) ~ n'Lmoo 0 *■ ^
t t
) = *•
6 8
. lim (y/2 • \ П ■ \p i . .. %/
2
).
§6. Предел последовательности
◄ Так как л/2 • у/2- \ Л . . . 2^ 2 =
22
+
4
+ +
2
" =
21
-
2
» = —
и при п > 2
U
1
22
»
2
= ^
2
2* ^
= ^
1
+ ^
22
” -
1
^
> ^
1
+ ^
22
” -
1
^ =
=
1
+ » ^
2 2
5Г - l ) + . . . ' + ^
2
^
- l ) "
> п ( 2 ^
- l ) , т .е . О < г 2* —
1
<
1
то
2
2П —*
1
при п —►
оо и предел последовательности равен
2
. ►
Доказать следующие равенства:
6 9 . lim ^— =
0
.
п -* сю « !
< Равенство следует из неравенства
. Л
2”
2 2 2
n!
1
2
3
и из того, что (1 ) " —►
0 при я —
+ оо (см. пример 65). ►
7 0 . lim — =
0
,
а
>
1
.
п—
* оо ап
◄ Пусть т — целое и т ^ к . Тогда
п
_ Я*
^ пт _
(
Я
\ т _ { п \ ’
0
< ^ ^
- ^ " 7 ^ )
_
где Ъ =
у / а
>
1
. Но
О < — =
2
п
Ъп
(1 + ( Ь - 1 ) ) п
1 -+ »(Ь - 1) +
(6 - I ) 2 + . . . + (6 - 1)"
я ( я - 1 ) ( 6 - 1 ) *
при п —►
оо; тогда, применяя теорему о предельном переходе в произведении,
п о л у ч а е м , ЧТО
(рг) —►
0
при я —►
оо, откуда следует требуемое. ►
7 1 . lim
^ 7
=
0
.
П—ОО п:
< Равенство нулю предела следует из очевидного неравенства
о < | — | = М . Н
И . _ Н _ . . . Н <
1
д Г ( _ м _ у ~
I я! I
1
2
" " m m +
1
" ’ я
m! \ т +
1
J
< е,
справедливого при любом £ >
0
и т +
1
> |о |, если я достаточно велико. ►
7 2 .
lim nqn =
0
, если |g| <
1
.
гг—►
оо
◄ Доказательство следует из того, что
|«?"| = г р г =
Ь> 1 (см. пример 70). ►
И
7 3 . lim л/а =
1
.
П —«■ ОО
◄ При а =
1
равенство очевидно. Пусть а >
1
, тогда у/а > 1 и (см. пример 40)
й —
( 1
+ (
\/5
—
1
))" >
1
+ п(
у/а
—
1
) > я(
у/а —
1
),
откуда получаем, что
0
< (/а -
1
< ^ < г при в > f (е >
0
), т. е.
1
/ а ->
1
при я —►
оо.
Если 0 < а < 1, то ~ > 1 и по доказанному y j ^ —^
1
при я —►
оо Но тогда
«
I
в
46
Гл. 1. Введенне в анализ
74.
lim f e
= o, в >
1
.
п —*оо
Н
◄ Так как lim £ = О, Ь > 1 (см. решение примера 70), то — < — < 1 при достаточно
1
ft
большом я . Положим b = ае, где о > 1, а е > 0 — произвольное. Тогда ---- < ---- <
1
аеп
асп
или
1
< и < а2п.
Логарифмируя последнее неравенство, имеем
0
< logan < еп, откуда
0
<
< е при
достаточно большом я. Из последнего неравенства и следует утверждение. ►
75.
lim (Уя =
1
.
П ► ОО
◄ Из очевидного неравенства
я =
(1
+' (
-
1
))" =
1
+ „( t f i -
1
) + w(?t~
y r t -
1)2
+
следует, что | (/n — ] | < < /
<
e
при произвольном
e
>
0
и при всех я >
1
+
2
е~2. ►
76.
lim -^т= =
0
.
n - . o o
у я !
◄ Покажем сначала, что
■ЧтГ-
Применим метод математической индукции. При я =
1
неравенство справедливо. Далее,
если оно справедливо при я , то для я +
1
имеем
(ч +
1
)! = ,.!(« +
1
) > ( | ) " ( „ +
1
) = ( i ± i . ) “+' .
>
•
Последнее неравенство справедливо, так как
— Ч ( Ч ) - Ч ( Ч ) ( Ч )
■('—
)<
< 1
+ , + i! + " ' + S
< 1 + 1
+
5
+
• +
2
^
<
1
1
< 1
+
1
+
2
+ - ■• +
2
^
+ " '
= 1
+ Г З Т = 3-
Существование и равенство нулю предела вытекает из неравенства
о < 4 , < - Д = = £ < г ,
уп!
# г
*
справедливого для любого е >
0
при всех я > j . ►
7 7 . Доказать, что последовательность (*„), где
x „ = ( l + I ) ,
монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность (уп), где
/
1
\»+ !
у-
- (i + - )
,
монотонно убывает и ограничена снизу. Следовательно, они имеют общий предел:
lim
(1
+
1
) П= lim
(1
+ - Г
+1
n — o o \
П /
n — oo
V
П /
= e.
•Я Согласно неравенству примера 40, имеем
£п±
1
_ _
( Ц ^ Г 1
§ 6. Предел последовательности
Xn
(1
+
_______
1
i ) n
у
(п +
1
? )
п
> \
п +
1
/
«
п +
1
У п - 1
(
1
+ = Ы
“ ~ 0
+ = £ г Г '
•
< -
1
1
+
*
2-1
п +
1
_ и
3
+ п2 — п —
1
»
«3
+ и
2
— п
<
1
,
т. е. х„ / , а уп \ . Далее, х п < Уп и 0 < уп — х„ = ( l + £ ) “ “ < ~ > 0 при п —*■ оо;
0
*кУДЙ-
{Уп - х„) — 0 при п — оо.
?
Следовательно, lim х п = lim уп = е. ►
п
—»оо
п —*оо
78.
Доказать, что
(
1
\ •»
т
.
у 'i.i.-t:
1
+ - ) < - ,
n € N.
п /
п
При каких значениях показателя п выражение
^1
+ —^ будет отличаться от числа е меньше
чем на
0,001
?
Я Согласно примеру 77, имеем (l +
—) " +1
> е. Тогда
0 < e - ( i + I ) n < ( i + I ) n+1_ ( i + I ) n < ( i + i r i < i < i < _ L
при « > з о о р . ►
\
п )
V
« /
V
п )
\
п / п
п
п
1000
'
7 9 .
Пусть (рп) — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к +оо, и (п) —•
произвольная последовательность чисел, стремящаяся к —оо. Доказать, что
г;-
Ц,п Л + _ ! _ у Л = Ид, Л +
2
. у “ = е.
и —оо у
р п J
П— ОО у
?п /
Я Пусть (пк) — произвольная последовательность целых чисел, стремящаяся к +
00
-'То
гда из неравенства
| ^1 + ^ — с| < е при п > N(e), е > 0 ,
следует, что
^1
+
— е| < е при n* > N(e), т. е. lira ^1 +
= е.
Если произвольная числовая последовательность (р*), р* > 1, стремится к +оо, то суще
ствует такая последовательность целых чисел (п*), что и* ^ рк < «а + 1 и «* —►
+оо. Так
как левая и правая части очевидного неравенства
(
\ n*
+1
Я
- < ( i + i X
> < ( 1 + i . r ( i + i ) ' " "
' 7
1 + ^+Т
V
Рк/
'
Пк)
V
(
J
\ Р к
1
+ — J
= е.
Если произвольная последовательность чисел (д*), —
9
* > 1, стремится к —оо, то, полагая
Цк — —or*, Получаем
Достарыңызбен бөлісу: |