Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

214
Гл. 3. Неопределенный интеграл
М Полагая 1 +
cos2 
х = 1, получим 
sin х  cos x d x
= 
. Тогда
/
sin X COS3 X 
1 
f  
1 
— 
t  
1 
1
,
1 
. . , ,
1 
. 
, л 
, 
2 
ч 
1 
2 
, , ,
l + coSZ x d x = 2 j - r
d t = - l n \ t \ - - t
+ C 
= - l n ( l + c o s x)  - - cos * + C. ►
3 7 . /
:-.dX- -= .
J  л/Т + ё*
X
M Положив 
t
= e 
2
t находим
/ —
7
= = = =
—2
/ —
7
= = = = —
2
ln(l + ^ t
2
+ l ) +
6
' = x - 2 1 n ( l + V ^ T T ) + C '. ►
У v l + e* 
У V<2 + 1
n n ^
(lx
-- + C. ►
2^3/2 ‘
◄ Если ПОЛОЖИТЬ 
I
= sin 1, TO dx = cos t dt и п ри IXI < 1
/ ---- dx 
3 
= /
= tg 
1 
+ C = tg (arcsin 
x )
+ C =  —=
^ ( i - *=•)! 
J
cos * 
^
3 9 . /
у V r 2 -
2
◄ Положим x =
• Если x € ]—
0 0
, —v/2[, то 
1
€ ] — j ,  0[, если же x €]y/2, +oo[, 
to
1
€ ]0, j [. Заметив, что для этих значений х и 
1
sgnctg 
21
= sgn 
1
= s g n x , будем иметь
ч
x 2 dx 
, 
f
dt 
sgn 1 f  sin3 1 + cos2 l ) 2
= —4 sgn ctg 21 / — =— = -----— / i
------ -— — dt —
J
sin3 
21 
2 
J
sin3 1 cos3 1
\[x^~— 2
= sgnt ( C° f ~^ - l n ltg*l) + a
\s m
'! 2 1
 
/
Из равенства sin 21 =
, учитывая, что |tg l| < 1 при |l| < -
7
, находим
у
/2
t S t = - ±  
J 
« + ^ а- 2 ’
I ^-Ьл/д2—
2
V
2
если x > л/
2
, 
если x < — т/
2
-
Таким образом,
I = sgn x ^ ~ \ J ^ ~  
+ s
8
n x hi x +
sjx2 
— 2 ^ + C — 
77 \Jx2 
— 2 + In x +
sjx2 
— 2
+ c .  ►
4 0
. j s f *
2 — x 2 dx.
◄ Полагая x = a s in l, получаем
2
J
\ J a 2 
— 
x 2 dx 
= 
a2 
J
 
cos
2
t d t = ~
J
 
(1
+
cos 
2 1
) 
dt —
= — ( l + i sin 
2 1
^ + C = — arcsin - + ^ - ч / а
2
- x
2
+ C, 
|x| ^ a. ► 
2
V 
2
/
2
а 
2
4 1 7
dx
\ / ( x
2
+ a
2 ) 3 
◄ Положив x = a tg 
1
, имеем при a ^ О 
dx
(  
dx 
_ J_ f
J
y V + a2)3 ~ o2 J
1
Л
cos 1 d l = — sin 1 + "7 = 
=
a
2
a2\ / x 2 + a
2
+ a ►
4 2 - 
/

215
◄ Пусть х = a cos 21. Тогда 
= ctg 1, dx = —2a sin 21 dt и
J \ j a~ ^ ~
= ~
J 
cos
2
^ ^ = ~ 4“ 
+
\ 
s*n 
2
^ + C  = a arcsin — — \ / a 2 — x 2 + C,
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
—a ^ x < 
a.
►
2a — x
dx.
43: f
◄ Полагая x =
2
a sin
2
1
, получаем (см. пример 29)
J
x 
\j
2
~ 
^ x ~  
®“ 2
J
 
s ' n 4
* 
=
“ 2
( ^ 1
— 
2
sin 
21
+ i sin 41^ + C =
= 3a2 arcsin
x 
3a + x
2
a 
2
" \/* (2 a — x ) + C, 
0
^ x < 2a. ►
4 4 .
J
f _
.
J \ / ( x — a)(b — x)
◄ Положив x — a =
(6
— a) sin
2
1
, поЬле простых преобразований получим
/
dx 
\ / ( х  - а)
4 5 .
— 
= 2
/ dl =
21
+ С =
2
arcsin W ^
i + С1, 
а < ж < Ь.
y ' ( x — a)(b — x) 
J
У о — a
◄ Пусть x — a sh t } тогда dx = a c h td l. Следовательно, V a
2
+ x 2 = 
y/a2(
1
+ sh
2
l) = a ch 
1 
и
^ y /a
2
+ x
2
dx = a2 J  ch2l dt = — sh 2t -f 
+ C.
Из равенства sh t = —
= f находим, что е‘ = £ ± y ^ !± fi Поскольку e‘ >
0
, то t — In \x +
у/a? + x 11 — In а. Очевидно, sh 2t =
2
sh Ich t =
2
sh ts/ 1 + sh2t =
2
2-,/ l + 2^ — 2 i^ /a
2
+ x2, 
поэтому окончательно получаем 
a ” 
“ 
a
J
\Ja2 + x
2
dx = I \Ja2 + x
2
+
In |x + \ / a
2
+ x2| + C. ►
4 6 '
/
◄ Подынтегральная функция определена при х < - а и при ж ^ а. Пусть х ^ а. Тогда, 
гагая х — а = 2ash2t, получаем
J
 
у — — dx = 4a 
J
sh2 t d t = ash
21
2
al +
6
'.
Учитывая, что a s h
21
= y/x2 - a2, s h l =
, 1 = Ь ( у ^ М + л / Г ^ ) - 1 п л /
2
а,
окончательно получаем
J 
] f x  + a 
^ 1
— v
/ ® 2
й2 — 
2
aln(V x + a + Vx — a) + C.
Если x < —a, то, полагая x + a = —2ash
2
l, имеем
J y ~ ~ ~ dx — —4a J  sh2l dt = —a sh 
21
+
2
al + C =
— — \ J x 2 + a
2
+ 2 a ln (V —x — a + y/—x + a) + C.

216
Гл. 3. Неопределенный интеграл
47. 
J
\ / (х + а)(х + Ъ
) 
dx.
◄ Предполагая, что t > о и i + а >
0
, х +
6
> О, положим 
х
+
а
= (Ь — a)sh
t.
Тогда
\ / ( х
+ а)(х +
Ь) dx
= ^-~ a^-(ch 4
i
— 1) 
dt
и
J
s / ( x + a ) ( x +b) dx = i b-—
^ 
-  
<) 
+ C.
Поскольку 
t =
1п(т/г +
a
+
y/x
+
b)
— In 
y/b
 — 
a,
sh41 =
\ J( x
+ a) ( x + b) ■ то оконча­
тельно имеем
J \ / ( x + a)(x + b) dx = — ^
b \ / ( x  + a)(z + b) — -—
— ln(V* + a + V х + b) + C.
Если же x + 0 ,
x +
6
<
0 , 
b > 
а,
 
то, полагая x + b =
— (6
— a )sh
2
t, получим
J  \ / ( x + a)(x + b) dx = — ^ ^
У (cli 4t — 
1
) dt = — —— —
2
x + a +
b
\ /{x + a)(x
+
b)
+
■Sh4 t +
^ - t + C = 
16 
4
( Ь - а
) 2
4 
v 
' 
4
Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы: 
4 8 .
j
 
х
2
arccos 
х d x.
◄ Интегрируя по частям, находим
х
3
 
dx
ln
( \ / —х
—~а
л
/ —х
— 
Ь) 
С.
►
[  
2
, 
[  
, ( х * \
X3 
1
[ X3
I х
 
arccos 
х 
dx 
=
J
 
arccos 
x 
d 
I 
— J 
=
— arccos 
x
+ ~ 
J -~j=
=
arccos 
x
 
— i
J
x 2 d
 
^ \ / l — x2^ =
arccos x — — \ / \ — 
x 2 
+ -
J
 
\ / l
— x
2
d(x2) =
arccos x -
i / l - *2' “
- \ / ( l
~ i
2 ) 3
+ £', 
|x| <
1
. ►
4 9 .
j
 ^
arcsin x
d x .
◄ Имеем 
arcsin x
/
aresm x ,
f
 
. 
/
1
 \
1
 
dx 
, „ 
. . 
,
-----
5
— dx = / arcsin x d I ---- =
arcsin x + / — ■
, 
■ 
, 
x 
ф 
0
, 
x <
1
.
x 2 
J
\ x )
x 
J
xyT -
x 2
Последний интеграл вычисляется следующим образом:
/
dx 
_
f
dx 
_ f
 
sg n x d (|x |) 
_
xy/l
- x2 
J
, , 
/ 7 Т Т 2 
Г 
-I
j
Чй)
= — In
1 / ^ \ 2
ГТ + \ / f n ) ~
1
-f- 
О
— In
X
N1 
у V l^ l/
1 + V l 
- X
2
+ c .
Окончательно имеем
/
axesin x t 
arcsin x 
----- —
— rfx -------------+ In
l + V T ^ l
+ c . ►
5 0 . /
arctg \ f x dx

§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
217
/
4  Методом интегрирования по частям находим
x d x  
: arctg \/* — / (
~
0
/—>!-------
6 
J \ 2 ^
2^(1 + *)У
arctg -\fx dx — x arctg V *
- J
2y/x(l + x)
= x arctg sfx - \ f x  + [
= x arctg 
a
/* - V х + arctg sfx + &> 
x ^ ° ' *"
J
1 + *
arcsiii
2
x d x .
◄ Имеем
• 2 j  
. о
arcsin x ax = x arcsin x
J
 
arcsi
— 
f
 
arcsin 
t
. dx = т я resin
2
,r -f 2 
f
 
arcsin X d(y/^~
J л/Т^х* 
J
. C, 
1*1 <
= x arcsin2x +
2
— ж
2
arcsin x — 2x +
5 2 . /
x arcsin2x dx.
M Интегрируя по частям и используя предыдущий пример, находим 
/ ж а г с
81
п
2
ж,ж = ж/ a r c s i n ^
=
(х — 
1) ^ж arcsin2x + 2 
arcsin 
х 
— 2ж^ + С, 
1*1 
^
[ ___ dx_
у
( “ 2
+ *
5 0
 
_________
J
(
а2
+ 
ж
2 ) 2
◄ После очевидных преобразований, интегрируя по частям, получаем
f
dx 
_
1
[  
( ° 2
+ Ж2) - ж
2
, _ 1 
. * , ! / * J (  
1
^ _
J 
(а2 + ж
2 ) 2
a
2
J  
(а
2
+ ж
2 ) 2
^
~ а
3
аГС‘ 8
а + а
2
J
2
<Ч а
2
+ ж2/
-
1
„ с ь ; *
1
_________ L / “_ Ё Е _ = _____E____ - + i a r c t g * + C'- ^
o
3
S а 
2
а
2
(a2 + ж2) 
2
а
2
J  а
2
+ ж
2
2a2 (a2 + ж2)
5 4 .
J
\ Ja
2 
— ж
2 
da:, |ж| ^ a.
◄ Интегрируя по частям, находим
dx =
;2
arcsin
f 
\ J a2 — x 2 
dx
=
ж \ / a 2 — 
x 2
+
f 
dx 
— 
x 
\ Ja2 ~
x 2
+
/
-—
^
У 
У v o
2
—ж
2
У 
v a
2
— ж
2
= x \ J а2 — 
x 2 
— 
J

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: