| 4.5 анықтама Вронский анықтауышы (вронскиан) деп
(4.10)
функциясы аталады.
4.2 теорема Егер мен функциялары -да сызықтық тәуелді болса, онда олардың вронскианы нөлге тең болады.
Дәлелдеуі. мен сызықтық тәуелді болған соң, болады, сондықтан , болады да, анықтауыштардың қаси-еттері бойынша . Теорема дәлелденді.
4.3 теорема Егер (4.7) теңдеуінің шешімдері мен -да сызықтық тәуелсіз болса, онда олардың вронскианы -да нөлге тең болмайды.
Дәлелдеуі. болатындай нүктесі бар болсын деп ұйға-райық, яғни болсын. жүйесін құрамыз, мұндағы мен – белгісіз сандар. Теңдеулер жүйесі біртекті болғандықтан, оның анықтауышы демек, жүйенің мен -ге қарағанда нөлдік емес шешімі бар болады. функциясын қарастырамыз, мұндағы мен – құрылған жүйенің нөлге тең емес шешімі, сонымен бірге функциясы және бастапқы шарттарына қанағаттандырады. Бірақ осы шарттарға функциясы да қанағаттандырады және де осы функция (4.7)-ге қанағаттандырады. Дифференциалдық теңдеудің шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема бойынша бұл шешімдер беттеседі, яғни аралығында , яғни мен сызықтық тәуелді болды. Қайшылыққа келдік. Сонымен, біздің ұйғаруымыз дұрыс емес. Егер пен – (4.7)-нің -ғы шешімі болса, онда
1) егер мен сызықтық тәуелсіз болса, онда , ;
2) егер мен сызықтық тәуелді болса, онда , .
№ 5 дәріс Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер.
Сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің шешімі. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер
Мазмұны: Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Еркін тұрақтыларды вариациялау әдісі. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімі.
Достарыңызбен бөлісу: |
