| Дәрістің мақсаты: Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін, Остроградский-Лиувилль формуласы көмегімен дербес шешімді, еркін тұрақтыларды вариациялау әдісі көмегімен сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулердің шешімін, сипаттауыш теңдеу көмегімен сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуды үйрету.
Қандай шарттар орындалғанда функциясы сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі болатынын анықтап алайық.
5.1 теорема Егер пен – аралығында
(5.1)
теңдеуінің сызықтық тәуелсіз шешімдері болса, онда
(5.2)
(5.1)-дің жалпы шешімі болады, мұндағы мен – еркін тұрақтылар.
Дәлелдеуі. 4.1-ші теорема бойынша функциясы (5.1)-дің шешімі болады. Осы функция жалпы шешім болатынын дәлелдеу үшін оның құрамынан кез келген бастапқы шарттарға қанағаттандыратын дербес шешімді ажыратып алу керек. Айталық, және , – кейбір бастапқы шарттар болсын. жүйесін құрамыз, мұндағы мен – белгісіз сандар. – осы жүйенің анықтауышы. мен сызықтық тәуелсіз болғандықтан, болады, сондықтан бұл жүйенің , жалғыз шешімі табылады, онда , яғни (5.2)-ден дербес шешімді ажыратып алдық. Сонымен, (5.2) функциясы (5.1) теңдеуінің жалпы шешімі болады.
Қорытынды. II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу үшін (5.1) теңдеуінің екі сызықтық тәуелсіз дербес шешімін тауып алып, (5.2) түріндегі функцияны жазып алған жеткілікті.
Достарыңызбен бөлісу: |
