Математика 3 Барлық мамандықтардың барлық оқу түрінің студенттеріне арналған дәрістер жинағы Алматы 2008
II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер
жүктеу/скачать 0,83 Mb.
|
математика 3
- Бұл бет үшін навигация:
- 5.2 теорема
| II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер
II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз , (5.4) . (5.1) 5.2 теорема (5.4) сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің кез келген дербес шешімі мен (5.4)-ке сәйкес (5.1) біртекті теңдеудің жалпы шешімінің қосындысы болады (5.5) – (5.4)-тің шешімі, – (5.1)-дің шешімі, – (5.4)-тің шешімі кейбір дербес шешімі. Дәлелдеуі. функциясын алайық. Осы функция (5.4)-тің шешімі болатынын көрсетейік. Ол үшін туындыларын есептейміз , . Туындыларды (5.4)-ке орнына қойып , яғни тепе-теңдікке келдік: . функциясы (5.4)-тің жалпы шешімі болатынын көрсетейік. (5.4)-тің кез келген шешімін алайық, онда біртекті теңдеудің жалпы шешімі болады, себебі төмендегі теңдік орындалады . функциясы сызықтық біртекті теңдеудің шешімі болғандықтан, оны түрінде жазуға болады, яғни , демек, (5.5)-тен кейбір дербес шешімді ажыратып алдық. Олай болса, (5.5) – сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Теорема дәлелденді. Еркін тұрақтыларды вариациялау көмегімен табу жолын көрсетейік. – (5.1) сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі болсын. Дербес шешімін табамыз. Жалпы шешімі (5.6) түрінде жазылсын. туындысын есептейміз: . және функцияларын (5.7) теңдігі орындалатындай етіп таңдаймыз. Онда . -ті есептейміз:, оны (7.1)-ге қойсақ, мынаны аламыз: , яғни . (5.8) Сонымен, егер де мен функциялары (5.7) мен (5.8)-ге, дәлірек айтқанда (5.9) жүйесіне қанағаттандырса, онда (5.6) берілген теңдеудің шешімі болады мен сызықтық тәуелсіз функциялар болған соң, жүйенің анықтауы-шы болады, сондықтан (5.9)-дың жалғыз , шешімі табылады. Осыдан , екенін таба-мыз. Табылған мен функцияларын (5.6)-ға қойсақ, (5.4) сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін анықтаймыз. жүктеу/скачать 0,83 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|