II Первичное усвоение
При решении задач, если применяется интеграл вида
..
он называется определенным
формула Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл можно вычислять
1) методом замены переменной
2) по частям
III Осознание и осмысление
Решение примеров
Вычислить определенные интегралы.
1)
2)
3)
Применим формулу интегрирования по частям, полагая .
Тогда .
4)
Сделаем замену переменной то .
.
.
.
5)Вычислить определенный интеграл
Решение:
6)Вычислить определенный интеграл
Решение:
Замена переменной в интеграле
7)Вычислить определенный интеграл
Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.
Сначала готовим наш интеграл к замене:
Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: .
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :
Находим новые переделы интегрирования.Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования , .
Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль:
Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:
Продолжаем решение.
8)Вычислить определенный интеграл (самостоятельно)
Проведем замену переменной: ,
Новые переделы интегрирования:
Достарыңызбен бөлісу: |
