«Матрицы и действия над ними»
жүктеу/скачать 2,3 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример 7
| Пример 6 Решить дифференциальное уравнение
Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные: То есть, вместо записи обычно пишут . Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей: Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение. Множество функций является общим решением дифференциального уравнения . Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций , , и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению . Подставляем наше решение и найденную производную в исходное уравнение : – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение удовлетворяет уравнению . Пример 7 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.Переписываем производную в нужном виде: Интегрируем уравнение: или Итак, общее решение: . На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: То есть, Стандартная версия оформления: В общее решение подставляем найденное значение константы : – это и есть нужное нам частное решение. – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется. Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение и находим производную: Подставляем и в исходное уравнение : – получено верное равенство. Вывод: частное решение найдено правильно. Пример 8 Решить дифференциальное уравнение Решение распишу очень подробно: Упаковка завершена, убираем логарифмы: Ответ: общий интеграл: Дифференцируем ответ: Умножаем оба слагаемых на : И делим на : Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно. жүктеу/скачать 2,3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|