«Матрицы и действия над ними»
III Осознание и осмысление
жүктеу/скачать 2,3 Mb.
|
| III Осознание и осмысление
Пример 1: Найдем общее решение. Разделяем переменные: Интегрируем: Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них: Выражаем функцию в явном виде, используя . Общее решение: Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»: . Способ второй: Подставляем найденное значение константы в общее решение. Ответ: частное решение: Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие: , да, начальное условие выполнено. Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение дифференциальному уравнению. Сначала находим производную: Подставим полученное частное решение и найденную производную в исходное уравнение : Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Пример 2: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Ответ: общий интеграл: Примечание: тут можно получить и общее решение: Пример 3: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные: Интегрируем: Общий интеграл: Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение и : Ответ: Частный интеграл: Пример 4: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Левую часть интегрируем по частям: В интеграле правой части проведем замену: Таким образом: (здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно) Обратная замена: Ответ: общий интеграл: Пример 5: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Примечание: Интеграл можно было также найти методом выделения полного квадрата. Ответ: общее решение: Пример 1 жүктеу/скачать 2,3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|