Байланысты: Поурочные планы по элементам высшей математики
Пример 9 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.
Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
Интегрируем уравнение:
Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:
(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)
Итак, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Более привычное оформление:
Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение:
Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.
Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:
Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :
Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :
Используем основное логарифмическое тождество :
Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.
Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :
И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.
