Мендель Виктор Васильевич
жүктеу/скачать 375,5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- У пражнение 26.
| Упражнение 25. Докажите, что какая бы не была взята секущая, будут получаться подобные треугольники ACD.
Вторая конструкция. Две окружности пересекаются в точках A и B. CD – отрезок общей касательной к этим окружностям. У пражнение 26. Исследуйте свойства треугольника ACD. (Смотри чертеж.) У пражнение 27. Выразите стороны треугольника ACD через радиусы окружностей и длину хорды AB. Задачи для самостоятельного решения1. Две окружности внешне касаются в точке А, ВС - их общая внешняя касательная. Доказать, что . 2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой l, которая пересекает окружности соответственно в точках С, D, Е и М. Доказать, что сумма углов DBE и САМ равна 180°. 3. Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямые l1 и l2 параллельны, причем l1 проходит через точку А и пересекает окружности в точках Е и К, а l2 проходит через точку В и пересекает окружности в точках М и Р. Доказать, что четырехугольник ЕКМР - параллелограмм. 4. Из точки М проведены к окружности с центром в точке О касательные МА и МВ. Прямая l касается окружности в точке С и пересекает МА и МВ соответственно в точках D и Е. Доказать, что: а) периметр треугольника MDE не зависит от Выбора точки С; б) угол DOE не зависит от выбора точки С. 5. Точки А, В, С и D делят окружность на части, отношение которых 1 : 3 : 5 : 6. Найти углы между касательными к окружности, проведенными в точках А, В, С и D. 6. Две равные окружности внешне касаются друг друга и третьей окружности, радиус которой равен 8 см. Отрезок, соединяющий точки касания двух равных окружностей с третьей, равен 12 см. Найти радиусы равных окружностей. 7. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного шестиугольника: а для другой вписанного квадрата. Найти расстояние между центрами окружностей. 8. Две окружности радиусами, и R касаются внешним образом. Найти длину их общей внешней касательной. 9. Две окружности радиусами r и R касаются внешним образом. Прямая 1 пересекает окружности в точках А, В, С и D так, что АВ = ВС = CD. Найти AD. 10. Две окружности, радиусы которых относятся как 1 : 3, касаются внешним образом, длина их общей внешней касательной см. Найти периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей. 11. Из внешней точки к окружности проведены секущая длиной 48 см и касательная, длина которой составляет от внутреннего отрезка секущей. Найти радиус окружности, если известно, что секущая удалена от центра на расстояние 24 см. 12. Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей составляет с линией центров угол а. Найти отношение радиусов. 13. Из точки А, расположенной вне круга с центром О, проведены секущие АВС и АМК (В и М - ближайшие к А точки окружности, лежащие на секущих). Найти ВС, если известно, что и секущая АМК проходит через центр окружности. 14. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены отрезки АС и AD, каждый из которых, являясь хордой одной окружности, касается другой окружности. Доказать, что АС2 . BD = AD2 . BС. 15. АВ и CD - взаимно перпендикулярные пересекающиеся хорды окружности радиуса R. Доказать, что АС2 + BD2 = 4R2. 16. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки М, взятой на диаметре окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд есть для данной окружности постоянная величина. 17. Две окружности внешне касаются в точке С, АВ - их общая внешняя касательная. Найти радиусы, если АС = 8 см, ВС = 6 см. 18. Окружности радиусами R и касаются внешним образом. Из центра меньшей окружности под углом 30° к линии центров проведен отрезок длиной 2R. Найти длины тех частей отрезка, которые лежат вне окружностей. 19. Окружности радиусами а и b имеют внутреннее касание (а < b), причем центр большей окружности лежит вне меньшей окружности. Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности и образует с общей касательной к окружностям угол . Найти АВ. 20. В правильном треугольнике АВС на сторонах АВ и АС взяты точки М и К так, что АМ : МВ = 2 : 1, АК : КС = 1 : 2. Доказать, что отрезок КМ равен радиусу окружности, описанной около треугольника АВС. 21. Около треугольника АВС (АВ = ВС) описана окружность. Биссектрисы углов А и С при продолжении пересекают окружность в точках К и Р, а друг друга в точке Е. Доказать, что четырехугольник ВКЕР - ромб. 22. AD и СЕ - биссектрисы треугольника АВС. Окружность, описанная около треугольника BDE, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Доказать, что ABC = 60°. 23. Доказать, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного треугольника. 24. Прямая l касается окружности, описанной около треугольника АВС, в точке С. Доказать, что квадрат высоты СН треугольника АВС равен произведению расстояний точек А и В от прямой l. 25. Найти углы треугольника, если известно, что центры его вписанной и описанной окружностей симметричны относительно одной из сторон треугольника. 26. Основание равнобедренного треугольника 2а, высота h. К окружности, вписанной в треугольник, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между боковыми сторонами треугольника. 27. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 24 и 36 см. Найти катеты. 28. В прямоугольном треугольнике один катет равен 48 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 3,92 см. Найти длину вписанной окружности. 29. В прямоугольном треугольнике с катетами 18 и 24 см найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей. 30. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, в 1,5 раза меньше радиуса описанной окружности. Найти угол при основании. 31. Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами а и b и углом между ними. 32. В равнобедренном треугольнике основание равно b, угол при основании а. К окружности, вписанной в треугольник, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между боковыми сторонами треугольника. 33. В равнобедренном треугольнике отношение радиусов вписанной и описанной окружностей равно k. Найти углы треугольника. 34. Доказать, что для любого прямоугольного треугольника справедливо неравенство 0.4< < 0.5, где r - радиус вписанной окружности, а h - высота, опущенная на гипотенузу. 35. Доказать, что окружность, описанная около треугольника, равна окружности, проходящей через две его вершины и ортоцентр. 36. В окружность вписан правильный треугольник АВС. На дуге ВС взята произвольная точка М и проведены хорды АМ, ВМ и СМ. Доказать, что АМ =ВМ+СМ. 37. Доказать, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин вписанного в нее правильного треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности. 38. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). На дуге АВ взята произвольная точка К и соединена хордами с вершинами треугольника. Доказать, что АК.KC = AB2 – KB2. 39. В остроугольном треугольнике со сторонами а, b и с из центра описанной окружности опущены перпендикуляры на стороны. Длины этих перпендикуляров равны соответственно т, п и р. Доказать, что . 40. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных на стороны треугольника, или на продолжения сторон из произвольной точки описанной около треугольника окружности, лежат на одной прямой. 41. Доказать, что если а и b - стороны треугольника, l - биссектриса угла между ними и а', b' - отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону, то l2=ab - а' b' . 42. Доказать, что радиус описанной около треугольника окружности, проведенный в одну из вершин треугольника, перпендикулярен прямой, соединяющей основания высот, проведенных из двух других вершин треугольника. 43. Около треугольника АВС описана окружность. Через точку В проведена касательная к окружности до пересечения с продолжением стороны СА за точку А в точке D. Найти периметр треугольника АВС, если АВ+AD =АС, CD =3, BAC = 60о. 44. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник АВС. Хорда BD пересекает АС в точке Е так, что АЕ : СЕ = 2 : 3. Найти CD. 45. В трапеции ABCD биссектриса угла А пересекает основание ВС (или его продолжение) в точке Е. В треугольник АВЕ вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке М и стороны ВЕ в точке Р. Найти угол BAD, если известно, что АВ : МР = 2. 46. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной окружности на отрезки, отношение которых равно k (k > 1). Найти углы треугольника. 47. Найти угол при основании равнобедренного треугольника, если известно, что его ортоцентр лежит на вписанной окружности. 48. Отрезки AD, ВМ и СР - медианы треугольника АВС. Окружность, описанная около треугольника DMC, проходит через центроид треугольника АВС. Доказать, что ABM= , а BAD = PCA. 49. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки 15 и 20 см. Найти радиус полуокружности. 50. Окружность проходит через вершину А прямоугольного треугольника АВС, касса-ется катета ВС и имеет центр на гипотенузе АВ. Найти ее радиус, если АВ = с, ВС = а. 51. На катете ВС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке D так, что AD : DB = 3 : 1. Найти стороны треугольника АВС, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 3 см. 52. Стороны треугольника равны а и b, угол между ними 1200. Найти радиус окружности, проходящей через две вершины третьей стороны и центр вписанной в данный треугольник окружности. 53. Окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС и касается стороны ВС в точке В. Сторона АС делится окружностью на части АМ и МС так, что АМ = МС + ВС. Найти ВС, если АС = 4 см. 54. На стороне АВ треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону ВС в точке D. Найти АС, если известно, что CD = 2 см и жүктеу/скачать 375,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|