Найдем выражения для радиусов вписанной и вневписанных окружностей. Начнем со случая вписанной окружности. « Разрежем» треугольник на три треугольника так, как показано на рисунке. Каждый из них имеет высоту, равную радиусу вписанной окружности. Сумма площадей трех треугольников равна площади большого:
.
Отсюда легко получить формулу для вычисления радиуса вписанной окружности:
.
Радиусы вневписанных окружностей можно получить аналогично. Представим площадь треугольника ABC так:
.
Д алее применим те же рассуждения, что и ранее. В результате получим следующую формулу:
.
Упражнение 19. Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания сторон или продолжений сторон этого треугольника с вневписанной окружностью, пересекаются в одной точке. (Указание: используйте теорему Чевы.)
Расстояние между центрами описанной и вписанной (вневписанной) окружностей
Замечательный математик Леонард Эйлер вывел замечательную формулу, выражающую расстояние между центрами описанной и вписанной (вневписанной) окружностей треугольника. Вот она:
- для вписанной, и - для вневписанной окружности.
Между прочим, из первой формулы следует, что радиус вписанной окружности не менее чем в два раза меньше радиуса описанной окружности. Как мы увидим ниже, равенство выполняется только для равностороннего треугольника.
Частные случаи: прямоугольный, равнобедренный и равносторонний треугольник
Для прямоугольного треугольника имеется очень изящная формула, выражающая радиус вписанной окружности через его стороны:
