Мендель Виктор Васильевич
Часть 1. Вспомогательные конструкции и их свойства
жүктеу/скачать 375,5 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Треугольник и секущая, теорема Менелая
Часть 1. Вспомогательные конструкции и их свойстваВ этой части мы рассмотрим некоторые важные конфигурации, в которых участвуют треугольник, окружность, прямая или угол. Треугольник и секущая, теорема МенелаяСекущей будем называть прямую, которая пересекает некоторую геометрическую фигуру: треугольник, окружность, угол и т.п. Иногда удобно брать не только точки пересечения фигуры и секущей, но и некоторые дополнительные точки: например, точку пересечения прямой, на которой лежит сторона треугольника и секущей. Рассмотрим секущую треугольника. К ней относится одна замечательная теорема: теорема Менелая, которая связывает отношения длин отрезков, на которые секущая делит стороны треугольника. Теорема Менелая. Пусть пересечен прямой, не параллельной стороне АC и пересекающей две его стороны АB и ВС соответственно в точках C1 и А1, а прямую АC в точке B1 тогда (1) Справедлива также обратная теорема Менелая. Теорема, обратная теореме Менелая. В треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежат прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда если , то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой. Упражнение 1. Докажите теорему Менелая. (Указание: опустите на секущую перпендикуляры из вершин треугольника и рассмотрите пары получившихся подобных прямоугольных треугольников. Заменив в (1) отношения гипотенуз на отношения соответствующих катетов и выполнив сокращения, получите нужный результат.) Упражнение 2. Докажите теорему, обратную теореме Менелая. (Указание: воспользуйтесь методом «от противного». Предположите, что, например, точка A1 не лежит на секущей. Тогда секущая пересечет сторону BC в некоторой точке A2, для которой выполнена прямая теорема Менелая. Далее самостоятельно получите противоречие.) жүктеу/скачать 375,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|