8
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ
ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
§ 1. Из истории развития иррациональных неравенств в математике
Автор книги « Сущность математики» А. Фосс утверждает, что откры-
тие
иррациональности
является одной из важнейших причин возникновения
математических теорий. Указано что, «термин «рациональное» (число) про-
исходит от латиноамериканского слова ratio, что в переводе с греческого сло-
ва «логос» означает отношение. В отличие от рациональных чисел, числа,
выражающие отношение несоизмеримых величин были названы еще в древ-
ности иррациональными, т.е. нерациональными (по - гречески «алогос»)»
[22].
Иррациональное число
– это бесконечная непериодическая десятичная
дробь. С
возникновением новых задач знаний о действительных, целых,
натуральных и рациональных чисел было недостаточно, поэтому возникла
острая необходимость введения новой концепции. Впервые это нововведение
коснулось уравнений. Без данной концепции некоторые уравнения не имеют
решения.
В VII веке до нашей эры индийские ученые выяснили, что при обозна-
чении квадратных корней в некоторых величинах возникают затруднения.
Впервые существование подобных чисел описал пифагореец Гиппас, кото-
рый занимался изучением равнобедренного прямоугольного треугольника.
Концепция иррациональных чисел очень важна, так как ее применение внес-
ло существенный вклад в математическую систему.
Д. Стивелл доводит до сведения читателей, что иррациональные числа
употребляются как полноправные объекты алгебры. Впервые стали исполь-
зовать иррациональные числа ученые стран Среднего Востока. В начале XII
в. Омар Хайям, обсуждая «Начала» Евклида и исследуя общую теорию от-
9
ношения Евдокса, расширил
понятие числа до положительного действитель-
ного числа.
Автором отмечается, что значение открытия
иррациональности
в ма-
тематике трудно переоценить. «В математику, едва ли не впервые, вошла
сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном обще-
человеческом опыте. Вслед за иррациональностью числа были открыты мно-
гие другие иррациональности. Так, Теодор из Кирены (V в. до н.э.) смог
установить иррациональность квадратного корня из чисел 3,5,6,…,17, не яв-
ляющихся полным квадратом, Теэтет (410-369 до н.э.) представил первую
классификацию иррациональностей. В древнегреческой математике после
появления иррациональностей возник ряд серьёзных трудностей, связанных
как с теоретико-числовом, так и в геометрическом плане» [19].
Задачи, стоящие перед алгеброй в первом тысячелетии ее развития бы-
ли решены в начале XIX в. Кремер говорит о том, что «были разработаны
правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выра-
жений, выяснен вопрос о разрешимости уравнений в радикалах и построена
строгая теория комплексных чисел» [12]. Исходя из этого казалось, что ре-
шение новых классов алгебраических уравнений и доказательство новых ал-
гебраических тождеств станут гораздо проще. Однако развитие алгебры
пошло другим путем: наука о
буквенном исчислении и уравнениях стала
общей наукой об операциях и их свойствах. Например,
иррациональные
уравнения
и
неравенства
можно рассмотреть как над полем комплексных чи-
сел, так и над полем действительных чисел.
Таким образом, в данном параграфе приведены исторические аспекты
возникновения понятия
иррациональных чисел
и
иррациональных неравенств
в алгебре, показано значение
открытия иррациональности
.