Методняескне осяовьт. Учебное пособие
Обучение доказательствам теорем
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
Обучение доказательствам теоремПод теоремой принято счи тать математическое ут- верждение, истинность которого устанавливается с помо- щью доказательства в рамках данной теории. С точки зрени я логики теорем а п редставл яет собой высказывание, часто в форме импликации. В школьном курсе математики встречаются теоремы—тождества и те- оремы-формулы (выраженные языком математичес ких символов), теоремы-существования (отсутствуют условие и заключение, но утверждаете я существование объекта, обладающего определенным и свойствами). Среди теорем, предста вляемых в виде импликации, выдел яют такие частные виды, как следствие (доказывается с помощью одной теоремы), лемма (важна как ступень к доказатель- ству другой теоремы), необходимое и достаточное условие (истинно и прямое, и обратное утверждение, dзорма — эк- виваленция). Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В курсе геометрии в основном рассматриваются теоремы, которые можно представить в виде импликации. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико—математического анализа. Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы вклю- чает (4): Лог ичес кий анали з, ноторый пред усматривает рас- крытие зогической структуры предложения (выделение простых высказываний, из ко торы х сконетруировано данное), вида суждения и способа его конструирования (выделение логических связок, с помощью которых оно образовано, и их последовательности). Наиболее часто ис- пользуемые логические связки: не, и, или, если... , то... , тогда и только тогда, существует и т. д. Структура теоремы включает разъяснительную часть, множество объектов, на которых рассматривается теорема, условие, заключение, логические связки. Заключение и условие могут состоять из одного простого высказывани я, тогда утверждение на— зывают прос inьtм, если же условие или заключение состоят из нескольких простых высказываний, то утверждение называют сложи ым. Ма mrкom u weкmr а налпа, который раскрывает мате- матическое содержание выделенных элементов структуры. Анализ формулировки теоремы (А => В) проводится для дальнейшего доказательства. С этой точки зрения по- лезно сформулировать утверждения: обратное данному утверждению (условие и заключение исходного утверждения меняют местами): В — А; противоположное данному утверждению (к условию и зак.пючению применяют отрицание): ’А — “В, обратное противоположному или противоположное об- ратному утверждению: “В —— > “А. Таким образом, предложения называются: А ——> В и В ——> Я а.заижно обрп mnьі ж u. А —> В н “А ——> “В взиимио nротивоположиьtми. “В — “А обра тн ым противо пояож н ом у (или про- тивоположным обри тиом у). Пары пред ложений: прямое и обратііое противопо- ложному (А ——> В <——> “В —> “А), обратное и противополож— ное (В —> А +=> “А ——+ “В) одновременно истинньт или лож- ны. Поэтому если прямое (обратное) предложение является теоремой, то теоремой является и обратное противополож- ному (противоположное) предложение. В отдельных слу- чаях все четыре предложения могут оказаться теоремами. Если имеет место теорема А — В, то говорят, что усло- вие В является необходи.я ьІм для условия Я, а А — дос ma- niuчныж условием для В. Если имеет место теорема А —> В и В —> А, то говорят, что каждое из предложений А и В явля- ется неоdходимым и дос таточньlм условием для другого. П ример 1. Рассмотрим утверждение: “Если сумма цгІdэр числа п делится на 9, то само число делится на 9”. Это ут- верждение справедлгіво для любого натурального числа. Условие теоремы А (сумма цифр числа п делится на 9), за— ключение В (п делится на 9). Теперь поменяем местами условие с заключением и получим обратное утверждение данному утверждени ю: “Если число п делитс я на 9, то сумма цифр этого числа делится на 9”, т.е.: В (п делится на 9), А (сумма циdзр чис- ла п делится на 9). Противоположное утверждение данному утверждению: “Если сумма циг{эр числа п не делится на 9, то само число не делится на 9”, противоположное утверждение обратно- му утверждению: “Если число п не делится на 9, то сумма цифр этого числа не делится на 9”. Теоремы школьного курса формулируются в основном в импликативной (если..., то...) или категоричной форме. Для выделени я структуры (условия, заключения и т. п.) целесообразно формулировать теорему в импликативной форме. Утверждение из вышерассмотренного примера сформулировано в импликативной форме. Таким образом, выполнение ЛМА предполагает: установление формы формулировки; перевод формулировки, если необходимо, в импли- кативную форму; запись структуры теоремы, т. е. вычленение разъясни- тельной части, условия, заключения с выделением прос- тых высказываний и содержания структурных элементов; определение вида (простой или сложный); формулирование утверждения, обратного данном у, противоположного данном у и обратного противоположно- му (определение их истинности или ложности). жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|