Методняескне осяовьт. Учебное пособие
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
| II ри мер 2. Анализ теоремы “Сумма смежных углов рав- на 180”’ и dзормулировка утверждений: а) обратного дан- ному; 6) противоположного данному; в) противоположного обратному.
Теорема сформулирована в категоричной форме. а) В имплик ативной форме она будет имет ь форму- лировку: “Если углы смешные, то их сумма равна 180”’. Вид суждения — общеутвердительный, поэтому уточним формулировку: “Если любые два угла с межные, то их сумма равна 180”’. Утверждение, обратное данному утверждению: “Если сумма двух углов равна 180‘, то углы смешные”. Вид суж- дения — общеутвердительный. в) Утверждение, противоположное данном у утверж- дению: “Если углы не смешные, то их сумма не равна 180”’. Вид суждения — общеотрицательный. г) Утверждение, обратное противоположному утверж- дению: “Если сумма двух углов не равна 180‘, то углы не смешные”. Вид суждения — общеутвердительный. В школьном курсе математики знание соотношений между прямыми и обратными теоремами способствует осознанному усвоению учащимися свойств и признаков геометрических ‹]зигур, суть понятий: “необходимое усло- Р•иe”, “достаточное условие”, “необходимое и достаточное условие”, “геометрическое место точек” и т.п. Как и прямые теоремы, обратные теоремы бывают ис- тинпыми или ложными. Обратная теорема к данной ис- тинной не всегда бывает истинной теоремой. Например, в предыдущей примере теорема, обратная данной, не всег- да является истинной, так как существуют такие два угла, сумма которых равна 180', но не смежных между собой (рис. 6): Рнс. 6 Следующий пример: “Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагона.пи равны” — истгінное утверждение. Обратное даннои теореме утверждение: “Ecлrl у четырехугольника диагонали равны, то этот четы— рехугольни к прямоугольный” неверное утверждение, так как в качестве контрольного примера можно привести равнобедренную трапецию. Если истинны прямая и обрати ая теоремы, их назы- вают взиимно odpa тиьtми теоре вами и обозначают сле- Д ЮЩИ М CIIMВОЛОМ' А —> В <=> В —+ А. В школьном курсе математики приводятся г9ормулИ- ровки прямых, обратных теорем и их доказательства, од- нако суть взаимно обратных теорем глубоко не раскрывает- ся. В математике роль взаимно обратных теорем особен- ная. Например, рассмотрим утверждение: “Диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения де- лятся пополам”. Это истинная теорема, но представим ее в импликативной форме: “Если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам”. Возникает следующий закономерный вопрос: “Если диагонали любого четырехугольника пере- секаются и в точке пересечения делятся пополам, то яв- ляется ли он только параллелограммом?”. Ответ связан с доказательством истинности обратной теоремы: “Если диа— гонали любого четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм”. Рассмотрение обратной теоремы связано с доказательством равности противоположны х сторон четырехугольника, у которого диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, получаем на поставлен- ный выше вопрос однозначный ответ: “Если диагонали любого четырехугольника пересекаются и в точке пере- сечения делятся пополам, то он является только паралле- лограммом”. Параллелограмм отличается от всех остальных четы— рехугольников тем, что имеет свойство: “противополож- ные стороны попарно параллельны” — видовое отличие (структурный компонент определения) параллелограмма. Х параллелограмма есть в другие признаки, по которым его можно выделить среди остальных четырехугольников. Утвержденная выше обратная теорема является призна- ком парал лелограм ма. А теорема “У парал лелограмма диагонали пересек аются и в точке пересечении делятся пополам” является своиством. В процессе обучения математике учащи хся важ но учить различать, какая из взаимно обратных теорем опи- сьІвает свойство, а какая — признаки понятия параллело- грамма. Для этого необ ходимо проводи ть систем атичес к ую работу по раск рытию сути взаимно обратных теорем и обучению учащихся: выделять условие и заключение теоремы, при необхо— димости осуществлять перевод из категоричной t]зормы в импликативную форму ; формулировать обратную теорему данной теореме; доказывать истинность обратной теоремы; определять, какая теорема из взаимно обратных тео- рем является свойством, а какая — признаком; применять прямые и обратные теоремы при решении задач. В целом работа с теоремой включает следующие этапы: жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|