Нестандартные методы решения уравнений
Использование монотонности функций при решении уравнений
жүктеу/скачать 0,68 Mb.
|
| Использование монотонности функций при решении уравнений.
С каждым уравнением связаны конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. Поэтому присутствие функций, а точнее их свойства, не могут не влиять на решения задач такого рода. Просто в одних случаях мы как бы негласно используем свойства функций, в других – явно ссылаемся на них. Порой «гласное» смещение акцентов в сторону свойств функций может оказать существенную пользу в поиске рациональных идей решения. Очень часто мы встречаемся с такими уравнениями, в которых методом подбора легко определить корень, чаще всего один. Казалось бы, все просто, но ведь решить уравнение, это значит не только найти его корень, но и доказать, что он единственный. Столкнувшись с этим, многие начинают решать это уравнение стандартным способом, который может оказаться запутанным и сложным. Но если применить свойства монотонности функций, то можно многие подобные уравнения решать более рационально. Основная идея такова: если f(x) монотонно возрастает, а g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения, причем если х=х0- решение этого уравнения, то при х >х0 (х входит в область определения обеих функций f(x) и g(x)) будет f(x)>g(x) , а при х 1)Решить уравнение:3х+4х=7х. Решение: разделим обе части уравнения на 7х, очевидно, что х=1- корень уравнения и он единственный т.к. левая часть уравнения представляет собой монотонно убывающую функцию. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз. Ответ: х=1. 2)Решить уравнение: Решение: традиционный метод решения такого уравнения хорошо известен. Легко заметить, что х=1 корень. Левая часть уравнения задают возрастающую функцию, правя константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Ответ: х=1. 3)Решить уравнение: Решение: х=1, функция у=возрастает на множестве на этом же множестве у= убывает. Поэтому х=1- единственный корень. Ответ: х=1. 4)Решить уравнение: Решение: функция, расположенная в левой части уравнения, монотонно возрастающая на области орределения., а функция, стоящая в правой части, убывает. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Значение корня легко подбирается х=1. Ответ: х=1. 5) Решить уравнение: 3х-1=5-х. Решение: х=2 единственный корень т.к. у=3х-1-монотонно возрастающая функция, а у=5-х – монотонно убывающая. Ответ: х=2. 6)Решить уравнение: Решение: это уравнение легко «превратить» в рациональное четвертой степени. Поиск корней последнего затруднителен, и учащийся должен обладать высокой степенью изобретательности, чтобы справиться с этой задачей. Выберем путь менее традиционный: несложно обнаружить, что х=3 – корень уравнения. Область определения уравнения Но теперь, в отличии от ранее рассмотренных левая часть уравнения не задает монотонную функцию. Однако на промежутке указанная функция возрастает и х=3 принадлежит этому промежутку. Значит, на промежутке данное уравнение имеет единственный корень. Осталось исследовать поведение функции у= на отрезке при а на отрезке исходное уравнение корней не имеет. Ответ: х=3. 7)Решить уравнение:4 33х+1+4=5 29х. Решение: казалось бы это уравнение нельзя решить тем же способом, что и предыдущие. Но если произвести замену 3х=t, то основываясь на монотонности функций можно решить уравнение относительно t,а потом найти корень исходного уравнения. , t=1 является корнем. Проверим: 12 31+4=36+4=40 ,5 23=40, 40=40 t=1 корень, докажем что он единственный, для этого изменим вид уравнения. 12 3t+4=5 23t/3t Функция у=5 монотонно возрастающая, а у= монотонно убывающая при любом t, следовательно, уравнение относительно t может иметь только один корень t =1, значит, исходное уравнение имеет только один корень х= Ответ: х= Рассмотрим модификацию идеи: если f(x) монотонно возрастает, а g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения, она заключается в следующем: если f(x)- монотонная функция, то из равенства f(x)=f(у) следует, что х=у. Используем эту идею при решении уравнений. 8)Решить уравнение log6-xlog2x=log7-xlog2(2x). Решение: преобразуем уравнение: Рассмотрим функцию f(t)=logt(t+1). Докажем, что при t>1 эта функция монотонно убывает. f(t)-1=logt(t+1)-1=logt-получившаяся функция, очевидно, является убывающей( основание растет, под знаком логарифма функция убывает). Наше уравнение имеет вид: f(6-x)=f(log2х), значит, log2х=6-х. Слева функция возрастающая, справа убывающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: х=4. Ответ: х=4. 9) Решить уравнение Решение: пусть х2-4х-2=t, t>0. | : 2 Пусть , , т.к. функция монотонна (это мы доказывали в предыдущем уравнении) то f(a)=f(t) равносильно a=t, т.е. получаем уравнение . Ответ: . жүктеу/скачать 0,68 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|