Нестандартные методы решения уравнений
Использование четности функции при решении уравнений
жүктеу/скачать 0,68 Mb.
|
| Использование четности функции при решении уравнений.
1)Может ли при каком–нибудь значении а уравнение 2х8-3ах6+4х4-ах2=5 иметь пять корней? Решение: рассмотрим функцию f(х)=2х8-3ах6+4х4-ах-5. Она определена при всех действительных х, является четной, т.к.f(x)=f(-x) и область определения симметрична относительно нуля. График функции f(х) симметричен относительно оси ординат, то есть для любого х из области определения, -х из области определения и только х=0 симметричен сам себе. Тогда, если исходное уравнение имеет нечетное число корней (пять), то х=0 – корень уравнения. Проверкой убеждаемся, что х=0 не является корнем уравнения - 0=5. Значит, исходное уравнение не может иметь пять корней не при каких а. Ответ: не при каких действительных а уравнение 2х8-3ах6+4х4-ах2=5 не может иметь пять корней. 2)Докажите, что уравнение 3х+3-х=ах4+2х2+2 имеет нечетное число корней. Решение: рассмотрим функцию f(х)=3х+3-х-ах4-2х2-2. Она определена при всех действительных х, является четной. Согласно предыдущей задаче, если имеет нечетное число корней, то х=0 корень исходного уравнения. Проверим: 30+30=2, 0+0+2=2, 2=2. х=0 является корнем уравнения, значит, исходное уравнение имеет нечетное число корней. Ответ: уравнение 3х+3-х =ах4+2х2+2 имеет нечетное число корней. 3)Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение. Решение: рассмотрим функцию f(х)=, определена при всех действительных х, четная, т.к. f(-х)=f(х) и область определения симметрична относительно нуля. График функции f(х) симметричен относительно оси ординат, х=0 симметричен сам себе. Таким образом, х=0 может являться либо единственным решением, либо одним из нескольких. Найдем f(0). f(0)=40-20а+4=5-а. f(0)=0, если а=5. Дабы исключить значения а, при которых уравнение f(х)=0 имеет два и более решений, сделаем проверку. Если а=5, то f(х)=0.. Решая это уравнение с помощью замены , получим , х=0 или х=2;х=-2. То есть уравнение f(х)=0 имеет три решения, где х=0 – одно из них. Ответ: нет таких действительных а. 4)Установите число корней уравнения в зависимости от параметра а. Решение: оценим левую часть уравнения Правая часть уравнения а2 >0.Корни исходного уравнения существуют при условии Рассмотрим функцию f(х)=, она определена при хR, является четной . При х функция, расположенная в левой части исходного уравнения является монотонно убывающей а, справа константа , значит данное уравнение на этом промежутке имеет единственный корень. Если х=0, то 1000-02=а2, а2=1, а=1 или а=-1.Пользуясь четностью функции исходное уравнение имеет один корень при а = , два корня при , нет корней при Ответ: если а =-один корень; если - два корня; если а<-1,a>1-нет корней. жүктеу/скачать 0,68 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|