Нестандартные методы решения уравнений
Использование эквивалентности при решении уравнений
жүктеу/скачать 0,68 Mb.
|
| Использование эквивалентности при решении уравнений.
При решении уравнений вида f(f(x)) = x полезна бывает теорема: Если у=f(х) – монотонно возрастающая функция, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x эквивалентны. Приведем несколько примеров использования этой теоремы. 1)Решить уравнение Решение: перепишем уравнение: Рассмотрим функцию f(x)=1+, эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение f(f(x))=x. В соответствии с теоремой заменяем его эквивалентным уравнением f(x)=x или . Пусть . Имеем у2-у-1=0, у1,2=; у1=, у2= - не удовлетворяет условию . , , х=. Ответ: х=. 2)Решить уравнение . Решение: преобразуем уравнение . Данное уравнение имеет вид: f(f(x))=x, где f(x)=, эта функция монотонно возрастает. Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение: х3-2х+1=0, (х-1)(х2+х-1)=0. х1=1 или х2+х-1=0, х2,3= Ответ: х1=1, х2=, х3= 3)Решить уравнение Решение: выполним некоторые преобразования , Это уравнение имеет вид x=f(f(х)), где f(х)= , f(х)- монотонно возрастает. Следовательно, уравнение эквивалентно . Заменим , получим 2у3-у-1=0. у3-у+у3-1=0,у(у2-1)+(у-1)(у2+у+1)=0,(у-1)(у2+1+у2+у+1)=0,(у-1)(2у2+у+1)=0 у=1, уравнение 2у2+у+1=0 не имеет корней. , х=1. Ответ: х=1. 4)Решить уравнение ln(1+lnх)=x-1. Решение: ln(1+lnx)+1=x, Это уравнение имеет вид x=f(f(x) , где f(x)=lnх+1. f(x)=1+lnx – монотонно возрастает при х > 0, следовательно, уравнение эквивалентно уравнению х=lnх+1, х-1=lnх. Решим это уравнение графически: у=х-1 – графиком этой функции является прямая, проходящая через точки с координатами (0;-1), (1;0) Функция у=lnx определена при х>0 . Очевидно, что х=1-корень уравнения, его единственность подтверждается графически. Ответ: х=1. жүктеу/скачать 0,68 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|