Нестандартные методы решения уравнений
жүктеу/скачать 0,68 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Решение уравнений с использованием множества значений.
| 2-х-х2>0,
, х=0, х=1 -1 Итак, ОДЗ этого уравнения является двух элементное множество. Проверим, являются ли эти значения корнями уравнения: х=0 , += -1 =-1, , х=0 - не является корнем уравнения. х =1 +=0 -1=0, 0=0х=1- корень уравнения. Ответ: х=1. 3) Сколько корней имеет уравнение. Решение: Данное уравнение не определено не при каких действительных х. Ответ: уравнение не имеет корней. 4) Решить уравнение: Решение: область определения уравнения: Это уравнение равносильно следующей системе: (х-4)(х-2)=(12-3х)2, 12-3х. 12-3х, х. Учитывая область определения уравнения, единственно возможным корнем может быть только х=4, проверим: х=4- корень уравнения. Ответ: х=4. 5)Решить уравнение: Решение: Попытки решить уравнение, производя последовательное возведение в квадрат и единение радикала, ведут здесь к уравнению четвертой степени и заводят в тупик. Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл. 5-х, х, 7-х, х, нет решения. 2х-15. х,5. Видим, что нет таких действительных х при которых было бы определено данное уравнение. Ответ: нет корней. Решение уравнений с использованием множества значений. При решении некоторых уравнений нахождение множества значений существенно облегчает задачу решения уравнений. Этот метод довольно часто встречается у ребят с развитой культурой мышления. Легко усваивается, они пытаются часто применять его при решении других уравнений. 1)Решить уравнение: Решение: найдем область определения данного уравнения: Оценим правую и левую части уравнений: т.е., а . Левая часть уравнения больше правой, значит, данное уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. 2)Решить уравнение:. Решение: имеем стандартное иррациональное уравнение. Тем не менее, не будем спешить возводить в квадрат. Для начала найдем ОДЗ уравнения: значит т.к. то левая часть уравнения больше 2 , а правая равна 1. Следовательно, данное уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. 3)Решить уравнение: 2cosx=cosx+. Решение: вновь оценим правую и левую части уравнения. Т.к. , то левая часть уравнения . Правая часть уравнения должна быть положительна, т.к. 2t>0, значит cosx>0. Используя неравенство Коши . Тогда, если корень данного уравнения существует, то только в том случае, если правая и левая части уравнений равны 2. х=2Пк, к Ответ: х=2Пк, кZ. 4) Решить уравнение: Решение: а Решение этого уравнения равносильно системе: Из первого уравнения системы получаем х=0, проверим является ли х=0 решением второго уравнения системы: х=0 корень уравнения. Ответ: х=0. 5) Решить уравнение: Решение этого уравнения аналогично предыдущему: очевидно х2 и log т.к. основание логарифма 3>1, а 1-(3х-1)21, уравнение равносильно системе: х=0- корень уравнения. Ответ: х=о. 6) Найти целые корни уравнения: (6-х)(х-2)(х+3)(х+9)=24х2 Решение: это уравнение предлагалось на едином экзамене, рассмотрим решение этого уравнения двумя способами: с помощью оценки левой и правой частей уравнения, и второй способ- с помощью преобразований. Первый способ, мне так кажется, более прост и экономичен по времени его решения. а) правя часть данного уравнения не отрицательна, значит (6-х)(х-2)(х+3)(х+9), решим это неравенство методом интервалов: - + - + - -9 -3 2 6 х Целые решения этого уравнения следует искать среди делителей свободного члена, равного 6 (-2) 3 9= -324. Перечислим все целые значения являющиеся решением неравенства: -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,2,3,4,5,6. Очевидно, что 6,2,-3,-9 не являются корнями уравнения, (т.к. при этих значениях левая часть уравнения равна нулю, а правая нет) числа –7,5,-8 не являются делителями числа –324. Проверим, являются ли решениями числа –-6,-4,3,4. х=-6, 12⋅ (-8)⋅ (-3) ⋅3 =864, 24 ⋅ 36=864, 864=864. х=-4, 10⋅ (-6) ⋅(-1) ⋅5=300, 24⋅ 16=384, 300. х=3, 3 ⋅ 1 6 ⋅12 =216, 24⋅ 9=216, 216=216. х=4, 2 ⋅ 2⋅ 7 ⋅ 13=364, 24⋅ 16=384, 364. Итак, х=-6, х=3 целые корни уравнения. Ответ: х=-6; х=3. б) решим это же уравнение другим способом: (6-х)(х-2)(х+3)(х+9)=24х2, выполним некоторые преобразования: (6х+18-х2-3х)(х2 +7х-18)=24х2 (-х2+3х+18)(х2+7х-18)=24х2 очевидно, что х=о не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х2 -х2(х--3)(х-+7)=24х2, (х--3)(х-+7)=-24, Пусть тогда (t-3)(t+7)=-24, t2+4t-21=-24, t2+4t+3=0, t1=-1 ,t2=-3. / х х2+х-18=0 ,х1,2= - не являются целыми решениями уравнения. /х х2+3х-18=0, х3=-6, х4=3. Ответ: х=-6;х=3. 7)Решить уравнение: Решение: метод возведения в квадрат при решении этого уравнения приводит к рациональному уравнению восьмой степени, корни которого найти не легко. Заметим, что левая часть уравнения существует при любых действительных значениях переменной х, а правая не отрицательна при условии Заметим, что , в то время как Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части уравнения равны 3. Значит х=0- единственный корень уравнения . Ответ: х=0. 8)Решить уравнение Решение: попытки найти корни, возводя обе части уравнения в квадрат, обречены на неудачу. Выпишем условие существования функции, стоящей в левой части уравнения Решение этого неравенства, также представляется проблематичным. Проверим не отрицательность правой части –1-2х2>0 это неравенство решений не имеет, но тогда исходное уравнение не имеет корней, т.к. левая часть его неотрицательная функция. Ответ: нет корней. 9) Решить уравнение Решение: если для многих предыдущих уравнений можно было найти традиционный путь – решение с помощью привычных школьных рассуждений, правда, затратив при этом гораздо больше времени. А это уравнение лишает нас такого выбора. Обычно подобные задачи условно называют нестандартными. Уже «внешний вид» подобного уравнения подсказывает, что для решения надо придумать что-то нетрадиционное. Оценим правую часть уравнения: , оценим левую часть уравнения: , , . Исходное уравнение имеет корни лишь в том случае, если cosy=1, тогда cosy =1 значит х=0, у=0. Ответ: (0;0). жүктеу/скачать 0,68 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|