Нестандартные методы решения уравнений
Использование неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел при решении уравнений
жүктеу/скачать 0,68 Mb.
|
| Использование неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел при решении уравнений.
При решении некоторых уравнений удобно пользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел , где аi> 0; (1)равенство достигается при условии а1=а2=….=ап . (2) 1)Решить уравнение 2х+4х+2564=3 16х. Решение: попытки решить такое уравнение стандартным путем чаще всего заканчиваются неудачей, использование неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим существенно облегчает задачу. Оценим левую часть уравнения: Левая часть уравнения не меньше 3 16х, а правая равна 3 16х. Равенство возможно только при условии 2х=4х=232, х=2. Ответ: х=2. 2)Решить уравнение . Решение: оценим правую часть уравнения. Рассмотрим функцию у=13+6х-3х2, графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, наибольшее значение достигается при вершине параболы. Найдем координаты вершины параболы: х0=1, у0=13+6-3=16, значит 13+6х-3х2<16, тогда . Оценим левую часть уравнения, используя неравенство (1) . Значит, исходное уравнение имеет корни в том случае, если левая и правая части уравнений одновременно равны 4. , х=1. Проверим правую часть уравнения ,х=1- корень исходного уравнения. Ответ: х=1. 3)Решить уравнение . Решение: оценим левую часть уравнения , что равно правой части уравнения. При этом равенство достигается, когда и х6=х2, что одно и то же. Последнее уравнение имеет , очевидно корни х=0 и х=1, х=-1. Ответ: х=0; х=1; х=-1. 4)Решить уравнение . Решение: дважды применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом ( во второй раз в показателе степени), получаем цепочку равенств и неравенств = жүктеу/скачать 0,68 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|