Развитие образовательной среды в школе
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
жүктеу/скачать 11,58 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Калжанов М.У. 1 , Едрисова А.С. 2
- Список использованных источников
- Асканбаева Г.Б. 1 , Жалгасов Ж.Н. 2
- РЕШЕНИЕ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КООРДИНАТ
- Список использованной литературы
- Асканбаева Ғ.Б. 1 , Мунайтпас Г.Е. 2
Пайдаланған әдебиеттер тізімі: 1.
«Математика және физика» ғылыми әдістемелік журнал. 2015ж. 5-ші басылым. 292
2. «Математикалық ұғымдарды оқыту негіздері» әдістемесі. Ә. Кенеш.Алматы-1999. 3.
«Математика және логика» ғылыми әдістемелік журнал. 2014 ж. 4-ші басылым. 4.
«Атамұра» 2011. 5.
Интернет www.wikipedia.kz
1 , Едрисова А.С. 2 1. Научный руководитель, кандидат физико-математических наук, доцент 2. Студент 4 курс, кафедра физико-математических и общетехнических дисциплин, специальность «Математика» ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ КЛАСТЕРНОГО АНАЛИЗА В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ В математической статистике существует множество различных методов для описания, систематизации и анализа данных. Один из таких методов это кластерный анализ. В век стремительного развития технологий, компьютеры стали неотложной частью человеческой деятельности. Они так же играют большую роль в математической статистике. Некоторые методы описательной статистики так же подразумевают собой использование самых новейших и современных компьютеров для решения ряда задач. К таким методам математической статистики относится и кластерный анализ, который направлен на сжатие большого массива информации и систематизацию объектов по их схожим признакам [1, стр.1]. Кластеризацией люди занимались с древнейших времен, до того момента когда появились первые компьютеры. Люди не осознавая того, что занимаются кластеризацией, группировали растения на съедобные и несъедобные, животных, по признаку опасности и так далее. Это было важно для сохранения жизни. Уже тогда начались зарождаться предпосылки к кластерному анализу. Р.Р. Сокэл считал, что кластеризация это высший уровень интеллектуальной деятельности [2, стр. 7-19]. По мере развития современного мира, растет и количество поступаемой информации. Объем этой информации может до таких размеров, которые люди не способны сами систематизировать и анализировать. Систематизация в подобных случаях бывает проблематичной. Так же информация поступает с невероятно высокой скоростью. Нередко, люди попросту на физическом уровне не могут рассматривать информацию в темпе их поступления. При данных обстоятельствах кластерный анализ подходит для выполнения данной задачи, потому что готов в достаточной мере, моментально осуществлять сортировку объектов, принимая во внимание все без исключения нужные характеристики, описанные в этом методе. 293
Вышеуказанные позиции определили актуальность и позволили уточнить проблему исследования, заключающуюся в поиске путей для сокращения и сжимания массивных информаций, применяемых в обучении и образовании. Кластерный анализ – это способ группировки многомерных объектов, основанный на представлении результатов отдельных наблюдений точками подходящего геометрического пространства с последующим выделением групп как «сгустков» этих точек. В переводе с английского языка «кластер» означает «скопление» или «сгусток» [ 3, стр.4]. С помощью кластерного анализа можно проводить разбиение объекту по нескольким признакам. Чтобы провести анализ данных применяют «меры сходства» [4, стр. 176]. Мера сходства - это вычисление расстояние между объектами. Самая популярная мера сходства это евклидово расстояние. Оно вычисляется по формуле: ?????? = √∑(?????? ???????????? − ?????? ???????????? ) 2
В случае использования дихотомических (имеющих всего два значения) качественных признаков широко используется расстояние Хемминга ?????? ???????????? = ∑ |?????? ???????????? − ?????? ???????????? | ??????
??????=1
равное числу несовпадений значений соответствующих признаков для рассматриваемых i-того и j-того объектов. Методы кластерного анализа можно разделить на два вида: иерархические и неиерархические. Каждая из этих групп, включает в себя множество различных подходов и алгоритмов. Наиболее популярный и часто используемый метод: метод ближнего соседа. В методе ближнего соседа или по-другому одиночной связи, расстояние между кластерами определяется расстоянием между близкими объектами в разных кластерах. Пример кластерного анализа. Метод ближнего соседа. Рассматривается малая группа учеников из 8 человек. У которых ?????? 1 −это характеристика оценок по предмету алгебра, ?????? 2 − это характеристика оценок учащихся по предмету геометрия. Данные приведены в таблице 1. Таб. 1
1 Аетова А. 2 Айсина М. 3 Аманбаев А. 4 Ахметова А. 5 Белова В. 6 Васильева И. 7 Галуза В. 8 Зиннатуллина А. ??????
1
3 5 4 4 5 3 4 4 ??????
2
3 4 4 4 4 3 4 4 Найдем расстояние между объектами. Воспользуемся этой формулой: ?????? = √∑(?????? ???????????? − ?????? ???????????? ) 2
Получим слеюдующую матрицу расстояний, представленную в таблице 2. Таб. 2
1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 2,23 1,4 1,4 2,23 0 1,4 1,4 294
0 1 1 0 2,23 1 1 3 0 0 1 1,4 0 0 4 0 1 1,4 0 0 5 0 2,23 1 1 6 0 1,4 1,4 7 0 0 8 0 Шаг 1. На первом шаге объект представляет собой отдельный кластер: |1|,|2|,|3|,|4|,|5|,|6|,|7| и |8|. Согласно критерию кластеризации, объединение проходит среди кластеров, расстояние между ближайших представителей которых наименьшее: кластеры |3,4,5| и| 7,8|. Расстояние на котором произошло объединение – 1. Необходимо произвести перерасчет матрицы расстояний с учетом нового кластера. Новые данные представлены в таблице 3. Таб. 3
1 2,3,4,5 6,7,8 1 0 2,23 0 2 0 2,23 3,4,5 1,4 6,7,8 0 Шаг 2. Кластеры на данном шаге |1|,|2,3,4,5| и | 6,7,8|. Согласно новой матрицы расстояний, кластеры |2,3,4,5| и | 6,7,8| наиболее близки. Расстояние объединения – 1,4. Проведенный перерасчет матрицы расстояний с учетом нового кластера представлен в таблице 4. Таб. 4
1 2,3,4,5,6,7,8 1 0 2,23 2,3,4,5,6,7,8 0
Шаг 3. Расстояние между кластерами – 2,23. Образование кластеров закончено. Результат кластеризации методом ближнего соседа представлен в виде дендограммы: 295
Дендограмма получена использованием статистического пакета Statistica. Разобраться в значении кластеров помогают кластерные профили, которые представляют собой средние значения переменных, которые включены в анализ, распределенные по кластерной принадлежности. Средние значения оценок учащихся по кластерам представлены в таблице 5. Таб.5
Кластер 2 Алгебра
4,3 3 Геометрия 4 3
Вывод: При использовании метода ближнего соседа, получено два кластера. В первый кластер вошли 6 человека ( Зиннатуллина А., Галуза В., Ахметова А., Аманбаев А., Белова В., Айсина М.). Во второй 2 человека (Васильева И., Аетова А.). В первый кластер вошли ученики, у которых средний бал по предмету больше 4. Во второй кластер вошли учащиеся, у которых средний бал по предмету равен 3.
1.
Интернет ресурсы: https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая статистика 2.
основные направления. В кн: Классификация и кластер /Под ред. Дж.Вэн Райзина М: Мир, 1980. 3.
4.
Мандель И.Д. Кластерный анализ. М.: Финансы и статистика, 1988
296
1 , Жалгасов Ж.Н. 2 1. Научный руководитель, старший преподаватель 2. Студент 4 курса, кафедра физико-математических и общетехнических дисциплин, специальность «Математика» РЕШЕНИЕ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КООРДИНАТ
В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат. Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку - аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ее методом. Выделим следующие цели изучения метода координат в курсе геометрии: -развить умение применять алгебраический аппарат при решении геометрических задач, на основе этого показать тесную связь алгебры и геометрии -развивать вычислительную и графическую культуру -показать эффективный способ решения задач и доказательства теорем. Чтобы успешно применять координатный метод, надо уметь перевести условие задачи на координатный язык, затем выполнить необходимые алгебраические преобразования, решить систему уравнений и осуществить обратный переход, т. е. геометрически истолковать полученный результат. Решение задачи не требует выполнения вспомогательных построений и естественным образом сводится к применению правил алгебры. Однако в школьной практике координатный метод применяется довольно редко. Метод имеет и слабые стороны. Решение задачи часто усложняется тем, что простому геометрическому факту не всегда соответствует простая координатная формула, алгебраические преобразования бывают громоздкими и полученные алгебраические зависимости иногда трудно поддаются гео- метрическому истолкованию. В связи с этим следует отметить, что при решении задачи координатным методом большое значение играет удачный выбор системы координат. Начало и оси координат следует присоединить к данной фигуре наиболее естественным образом. Обычно в качестве осей координат выбираются прямые, заданные в условии задачи, и оси симметрии фигуры, если они имеются.[1] Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать
297
алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.[2] Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными. В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.[3] Чтобы решать задачи как алгебраические, так и геометрические методом координат необходимо выполнение 3 этапов: 1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык; 2)преобразование аналитического выражения; 3)обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.[4] Для примера рассмотрим алгебраическую и геометрическую задачи и проиллюстрируем выполнение данных 3 этапов при их решении координатным методом.
№1. Сколько решений имеет система уравнений. { ?????? 2 + ?????? 2 = 1
?????? = ?????? 2
Решение: 1 этап: на геометрическом языке в данной задаче требуется найти, сколько точек пересечения имеют фигуры, заданные данными уравнениями. Первое из них является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, а второе — уравнением параболы. 2 этап: построение окружности и параболы; нахождение точек их пересечения. 3 этап: количество точек пересечения окружности и параболы является ответом на поставленный вопрос.
№2. Найдите множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны. Решение: Обозначим данные точки через ??????и??????. Выберем систему координат так, чтобы ось ???????????? совпадала с прямой ???????????? , а началом координат служила точка ?????? Предположим далее, что ???????????? = ??????, тогда в выбранной системе координат ??????(0,0) и ??????(??????, 0)Точка ??????(??????, ??????)принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда ???????????? = ???????????? , или, что то же самое, ???????????? 2 = ???????????? 2 . Используя формулу расстояния от одной точки координатной плоскости до другой, получаем???????????? 2 = ?????? 2 + ?????? 2 , ???????????? 2 = (?????? − ??????) 2 + ??????
2 . Тогда ?????? 2 + ??????
2 = (?????? − ??????) 2 + ??????
2 Равенство ?????? 2 +
298
?????? 2 = (?????? − ??????) 2 + ??????
2 и является алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом заканчивается первый этап ее решения (перевод задачи на координатный язык).
На втором этапе осуществляется преобразование полученного выражения, в результате которого получаем соотношение ?????? = ??????
2 . На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения на геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси ???????????? и отстоящей от точки ?????? на расстояние ?????? = ?????? 2
серединного перпендикуляра к отрезку ????????????. Решение олимпиадных задач методом координат развивает логическое мышление и интеллект. Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач.
1. Гельфанд, И. М. Метод координат [Текст]- М. Наука, 1973г. -87с. И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова – М. Дрофа, 1998г. – 416с. 2. Понтрягин, Л. С. Знакомство с высшей математикой. Метод координат [Текст] – М. Наука, 1987г.
– 128с.
3. Метод
координат / А. Савин //
Квант -1977г.
- №9
4. Автономова, Т. В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя [Текст]/ Б. И. Аргунов – М. Просвещение, 1988г. – 127с.
Асканбаева Ғ.Б. 1 , Мунайтпас Г.Е. 2 1. Ғылыми жетекші, ағаоқытушы 2.
Физика-математика және жалпы техникалық пәндер кафедрасы, «Математика» мамандығының 4 курс студенті ТРИНОГОМЕТРИЯНЫҢ ҚИЫНДЫҒЫ ЖОҒАРЫ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДЕ ҚОЛДАНЫЛУЫ Қоғамның қойып отырған басты талабы жоғары мәдениетті, білімді, кәсіптік бағдарланған қоғам мүшелерін даярлау болып табылады. Саналы түрде өз бағытын таңдап алған оқушылардың білім, біліктерін жетілдіру мен дағдысын қалыптастыру педагогиканың қазіргі негізгі мәселесі. Оқушылар математика пәні мазмұнының өз өміріндегі, болашақ кәсіптік бағытындағы нақтылы практикалық қолданысымен таныспайтындықтары математиканы өмірден аулақ ғылым деп есептеуге негіз болып отыр.Математиканы оқытуда қарастырылатын қандай да бiр нақты жағдаяттың математикалық моделiн құру және тұжырымдау нақты процестер мен құбылыстарды зерделеуде 299
пайдаланылады. Жаратылыстану - математикалық бағыттағы мектептер мен сыныптарға арналған математика курсы әлемнiң бiртұтас бейнесiн қалыптастыруға, жалпы ғылыми және интеллектуалдық бiлiктердi меңгертуге мүмкiндiк бередi. Тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді оқып-үйрену үшiн математиканы оқыту барысында қарастырылатын теориялық мәселелердi зерттеу мен есептерді шығарту әдістерінің маңызы зор. Әдістерді игерту арқылы оқушылардың математикаға деген қызығушылығын арттыруға, теориялық материалды меңгертуге мүмкіндік береді. Математиканы оқыту барысында тригонометрияныңқиындығы жоғары
есептерді шығару
математикалық білімді өмірімен ұштастыруға, алған білімдерін тәжірибемен байланысты іс-әрекеттермен қолдана білуге, математиканың басқа пәндермен байланысын қарастыруға көмектеседі. Есептердің мазмұнында теориялық немесе практикалық маңызы бар сұрақ туатын қандай да бір болмасын жәй баяндалады. Есептер мақсаты оқушыларды алған білімдерін практикада қолдануға үйрету және әрі қарай дамыту болып табылады. Осы мақсатқа жету үшін тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шешу және оларды шығарудың әдіс - тәсілдерін үйрету, есеп шығару дағдыларын қалыптастыру қажет. Есеп шығару барысында математикалық ұғымдардың мағынасы ашылып, нақтыланады, оның ескерілмей жатқан жаңа бір қырлары байқалады. Күнделікті өмірде, өндірісте кездесетін практикалық мазмұнды қарапайым есептерді шығару ерекше білімді қажет етпейді. Мектеп қабырғасында шығаруға тиісті есептер арнаулы талаптарға, мектепте оқыту мүдделеріне жауап берулері керек. Мұндай есептерді пайдалануда есептің мазмұнына, алынған жауабына мұғалімнің берген түсініктемесі оқушының өмірлік, практикалық ойлауын қалыптастырудың негізгі құралы болып табылады. Алайда есептің мазмұнын немесе жауабын түсіндіру уақыт алады және мұғалімнің есепке қажетті кейбір математикалық ұғымдарды, анықтамаларды уақтылы
дәл беріп
отыру тәжірибесі жетіспей жатады. Тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шешуде теория мен практиканы ұштастыруда есептердің атқаратын рөлі зор. Сабақта шығарылатын есептердің әрбірі өтілген тақырып мазмұнын аша алуы, ол тақырыпты қайталауға, оны қолдануға мүмкіндік беруі керек. Мұның бәрі мұғалімнен берілетін есептерге мұқият талдау жасауды талап етеді. [1, 18 бет] Оқыту барысында басты мәселе – мектеп математикасының негізгі ұғымдарын, әдістерін бөліп алу барлық оқушылармен дайындықтың міндетті деңгейіне жетудің маңызды құралы болып табылады. Оқу үрдісін теориялық материалды оқып үйренгенде де, есептер шығарғанда да, жұмыстардың ауызша және жазбаша түрлерінде де тиімді үйлестіруді бағдарлау қажет. Оқушыларды іргелі білім жинақтаған, жан-жақты дамыған тұлға ретінде дайындау түрлі бағыттар арқылы жүргізіледі, яғни оқу жоспарларының мазмұнын жетілдіру, оқу - әдістемелікті қамтамасыздандыруды жүзеге асыру, оқушылардың біліктілігі мен іскерлігін көтеру және т.б. Орта мектепте математикадан тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шешу әдістерін оқушыларға саналы да, сапалы да меңгерту мәселесі, яғни «Тригонометрияның қиындығы
300
жоғары есептерде қолданылуы» атты зерттеу тақырыбының өзектілігінанықтайды.[2, 54бет] «Тригонометрия» термині гректің «тригон» - үш бұрыш және «метрио» - өлшеймін, «үшбұрышты өлшеу» деген сөзінен шыққан. Бұрыштарды өлшеуге деген қажеттілік қашықтықты өлшеуге деген қажеттілік сияқты ертеде-ақ пайда болған. Тригонометрияның дамуының бір себебі уақытты анықтау, ашық теңіздегі кеменің немесе сахарадағы керуеннің орнын анықтау қажеттілігінен туған. Үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының арасындағы тәуелділікті зерттей отырып, ежелгі математиктер үшбұрыштың әр түрлі элементтерін есептеу тәсілдерін тапты. Ежелгі Вавилондықтардың тригонометриядан білімі болғандығын олардың Күннің және Айдың тұтылуын болжау фактілері дәлелдейді. Ежелгі вавилондықтардың қыштан жасалған кесте-жазуларының (б.э.дейінгі 2 мың жыл) бірінде дөңгелектің белгілі диаметрі және сегменттің биіктігі бойынша хорданың ұзындығын табуға арналған есептің шығарылу жолдары көрсетілген, ол синус пен косинустың арасындағы байланысты тағайындауға сәйкес келеді. Ежелгі грек ғалымдары тік бұрышты үшбұрыштарды шешу әдістерін білді. Астроном әрі математик Гиппарх (б.э.дейінгі II ғ.) хордалар кестесін-тұнғыш тригонометриялық кестені құрастырды. Тригонометриялық кестені құрастырудағы елеулі табыстардың бірі К.Птолемейдің (II ғ.) «Альмагест» атты шығармасы болды. Бұл еңбекте астрономия және оған жақын ғылымдар жөніндегі сол кезге дейін белгілі болған әр түрлі мәліметтер жинақталды және жалпыланды. Мұнда хорданың 0 0 -ден 180 0 -ге дейінгі жарты градус арқылы есептелетін алты ондық жүйеде құрылған кестесі келтірілген. Шын мәнінде ходалар кестесі 0 0 –тан 90 0 – қа
дейінгі синустардың кестелері болып табылады. Птолемей қазіргі өрнектелуі мына түрдегі: . 1
sin 2 2 sin
cos cos
sin ) sin( ,
). 2 cos
1 ( 2 1 sin
2
формулаларды қорытып шығарды. Тригонометрия жөніндегі бұл мәліметтер негізінен практикалық астрономия есептерін шешу үшін және бара алмайтын қашықтықтарды анықтау үшін қолданылады. Теңбе–теңдікті дәлелдеу үшін теңдікке қатысы бар тригонометриялық функциялардың анықталу облысын, өрнектердің мүмкін мәндерінің жиынын табу керек. Осы шарттарды қанағаттандыратын теңбе-теңдіктерді дәлелдегенде көбінесе оның екі бөлігін де теңбе - тең түрлендіреді де, оларды үшінші бір өрнекке келтіреді. Кейбір жағдайларда теңбе - теңдіктердің бір жағы екінші жағынан күрделі болып келеді. Мұндай жағдайда сол күрделі жағын түрлендіріп, барынша қарапайым түрге келтіреді. Бұдан соң екі жағындағы өрнектердің айырмасын нольге айналдырады. Теңбе – тең түрлендіру кезінде жасалатын әртүрлі амалдармен, белгілі өрнектерді теңдіктердің екі жағынан алу не қосу кезінде теңбе – теңдіктің анықталу облысы ешбір өзгеріске түспеуі керек. Түрлендіру кезінде мәндестік бұзылса, дәлелдеу барысы дұрыс болмайды. Теңбе-теңдіктерді дәлелдеу кезінде келтіру формуласына және
301
тригонометриялық функциялардың периодтылығымен жұптылығы сияқты қасиеттерді, функцияның нольдерін үнемі ескеріп отыру керек. Егер теңдіктегі аргументтер немесе тригонометриялық өрнектердің коэффициенттері қосымша шарттарды қанағаттандыратын жағдайда ғана теңдіктер дұрыс орындалатын болса, мұндай теңдіктерді шартты теңдіктер деп атайды. Мысалы, егер 2 3 ) cos(
cos cos
болса, онда 3 -ке тең болатынын дәлелдеңдер. Мұндағы
0 , 0 . Немесе , сандары c x b x a sin cos теңдеуінің әртүрлі шешімдері болса, онда 2 2
2 2 cos b a c теңдігінің дұрыстығын дәлелдеңдер деген сияқты теңдіктерді шартты теңдіктер деп атаймыз.[3, 24 бет] Математикадан әр жылдарда облыстық олимпиадалардағы тригонометрия тақырыбы бойынша кездескен есептерді қарастырайық.
жүктеу/скачать 11,58 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|