№1.(10 сынып, облыстық олимпиада, 2012 ж)

302 

 

(1 + tg1

°

)(1 + tg2

°

) … (1 + tg44

°

) = (tg45

°

+ tg1

°

)(tg45

°

+

tg2

°

) … (tg45

°

+ tg44

°

) =

sin 46

°

cos 45

°

cos 1

°

∗

sin 47

°

cos 45

°

cos 2

°

… 

sin 99

°

cos 45

°

cos 44

°

=

1

(cos 45

°

)

44

=

1

(

√2

2

)

44

=

2

44

2

22

= 2

22

.[4, 187бет] 

 

Тригонметиряны  жақсы  білу,  тригонометриялық  формулаларды  есептер 

шығаруда дұрыс әрі орынды қолдану, қиындығы жоғары есептерді өте тиімді, 

тез шығаруға көмектеседі. 

 

Қолданылған әдебиеттер тізімі: 

1. Әбілқасымова А.Е.,  Кенеш Ә.С. және т.б. Математиканы оқытудың  

 теориясы мен әдістемесі, Алматы, 1998. 

2. Бидосов Ә. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі, Алматы 

2009. 

3. Қаңлыбаев Қ.И. Есеп шығару практикумы. –А., 2011.  

4. Литвиненко В.Н ,МордковичА.Г Практикум порешение задач школьной  

математики. М.,Просвещение,1998. 

 

 

Қасымқанұлы Б.

1

,Назик Л.Н.

2

 

1. Ғылыми жетекші, физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент 

2. Физика-математика және жалпы техникалық пәндер кафедрасы, 

«Математика» мамандығының 4 курс студенті 

 

КӨПМҮШЕЛІКТЕРМЕН ИНТЕРПОЛЯЦИЯЛАУ 

 

Кез-келген  f(x)  функциясын  кесте  ,  график,  немесе  формула  түрінде 

келтіруге  болады.  Егер  f(x)  функциясы  формула  түрінде  берілсе  ,  онда  бұл 

формуланы  кесте  немесе  график  түрінде  келтіру  оңай  болады.  Егер  функция 

таблица  немесе  график  түрінде  түрінде  берілсе  ,  онда  оны  формула  түрінде 

онда  оны  формула  түрінде  келтіру  әлде  қайда  қиын  болады.  Берілген  жаңа, 

әлдеқайда  жеңіл  функциялардың  есептеулерін  айтарлықтай  жеңілдетуін 

елестету  қиын.  Интерполяция  осындай  есептерді  шешуге  мүмкіндік  беретін 

білім саласы болып табылады.  

Функция кесте түрінде берілсін. (1.1 Кесте) 

x 

x

1 

x

2 

x

3 

… 

x

n 

y 

y

1 

y

2 

y

3 

… 

y

n 

Мұндағы: 

x

i

-аргумент; 

y

i

- функция; 

i=1,  2,  3,…,  n    f(x)  функциясының  және  аргументтеріне  тиісті  индексті 

айнымалы. 

303 

 

Сонда  интерполяцияның  мақсаттарының  бірі  функциянын  мәнін  кестеде 

келтірілмеген аргументтер бойынша анықтау болып табылады.  

Егер  f(x)  функциясы  формула  түрінде  болса  ,  онда  оның  мәнін  x-тің  кез-

келген  мәнінде  табуға  болатыны  ақиқат,  соның  ішінде  кестеде  берілмеген 

мәндер бойынша да табуға болады.  

Онда интерполяция мақсатын былай тұжырымдауға болады: 

Аргументтердің  кейбір  мәндері  функцияның  мәндерінде  белгілі, 

аргументтің барлық диапазонындағы мәндері үшін функцияны формула түрінде 

келтіру керек. Бұл формула кестеде берілген бастапқы мәліметтердің дискретті 

мәндерін  қанағаттандыратын  көптеген  түрлі  формулалар  болуы  мүмкін. 

Интерполяция  мақсатын  дұрыс  тұжырымдау  үшін  қосымша  функциялар  түрі 

берілу  қажет  (мысалы:сызықы,  параболалық,  логарифмдік  және  т.б) 

интерполяция ғылыми зерттеулер мен инженерлік іс жүзінде кең қолданылады. 

 Оны пайдаланатын бағыттар: 



 

Модельдеу; 



 

Экспериментті жоспарлау және статистикалық өңдеу; 



 

Кестеде берілген аргументтер арқылы функцияның мәнін анықтау; 



 

Функцияның санағы; 



 

Аргументтердің  белгілі  шекарасындағы  күрделі  емес  мәнін 

күрделі функцияда көрсету; 



 

Жеңілдетілген,  кейбір  функцияларды  бір-біріне  жақындатуға 

арналған  және  тығы  сол  сияқты  басқа  да  жағдайларда  қолдануға 

арналған. 

 

304 

 

 

Сурет 1.1 

Интерполяция  әдістерінің  көптеген  түрлері  бар.  Оларды  қасиеттеріне 

байланысты  былайша  жіктеуге  болады:  интерполяция  түйіндерінің  дәлдігіне 

байланысты, 

интерполяция 

функцияларының 

түріне 

байланысты, 

критерийлерімен математикалық аппараттарда қолданылуына байланысты және 

т.б. 1.1 суретінде осыған ұқсас жіктеулер көрсетілген.  

Әрі  қарай  аталған  жіктеулердің  толық  түрлері  беріледі,    олардың 

артықшылығы  мен  кемшілігі,  қолдану  аймақтары,  ЭВМ-де  компютерлік 

техникалар арқылы есертерді шешу. Және де берілген 1.1 суретіндегі жіктеуіміз 

толық емес екенін атап өткен дұрыс болады. 

Лагранж 

формуласымен 

интерполяциялау

 

 

Мұндағы 



 

x

0

, x

1

,…, x

n

- интерполяция түйіні; 



 

y

0

, y

1

,…,y

n

- осы түйіндегі функцияның мәндері. 

Интерполяция

Нақты 

түйіндерде

Үзік 

сызықты

Көпмүшелі

ктермен

Лагранж

Ньютон

Гаусс

Сызықт

ы емес

Жуық 

түйіндерде

Сызықты 

функциялард

а

Сызықты емес 

функцияларда

Таңдалған 

нүктелер 

әдісі

Ортаңғы 

әдіс

Ең аз 

квадраттар 

әдісі

305 

 

(1.6)  формуласының  интерполяциясы  полиномды  болатынын  көрсетейік. 

x=x

0

болсын , онда бірінші мүшесінен басқасы нөлге теңеледі және алымы мен 

бөлімі қысқарады да, соңында y

n

(x

0

)=y

0

болады. 

x=x

1

болса, екінші мүшесі y

1

 ал қалғаны нөлге теңеледі және т.с.с 

Осылайша келесі теңдіктер шығады: 

y

n

(x

0

)=y

0

, y

n

(x

1

)=y

1

 ,…, y

n

(x

n

)=y

n

 

шыққан  теңдіктер  1.6  формуласының  интерполяциялы  екенін  білдіреді. 

Және Лагранж формуласынын алынған көпмүшелік n-ші дәрежеден аспайтыны 

ақиқат. 

1 - Мысал 

Функция кесте түрінде берілсін. (1.4 кесте) 

 

Айнымалылардың мәні 

x 

1 

2 

4 

6 

y  

2 

9 

41 

97 

Лагранж  интерполяциялау  формуласын  қолдана  отырып  y=f(x) 

функциясын  көпмүшелік  түрінде  келтіру  керек  және  x=3,  x=5  болғандағы 

функцияның мәндерін табу керек. 

1.4 кестесінің мәндерін (1.6) формласына қою арқылы  

 

Осыдан y(x)=3x

2

-2x+1 шығады.  

Осы шыққан формулаға x=3, сонан соң x=5 мәндерін қою арқылы y(3)=22, 

y(5)=66 мәндерін аламыз. 

Лагранж  формуласының  кемшілігі  y(x)-  тің  бір  мәні  қосылса  немесе 

алынса,  есептеу  барысында  алдыңғы  мәндері  жоғалтады.  Ал  артықшылығы  x 

аргументінің    тұрақты  және  айнымалылар  қадамын  өзгерткенде  де  табуға 

болатыны. 

Гаусс формуласымен интерполяциялау. 

y(x)  функциясы  кесте  түрінде  берілсін  және  2n+1  интерполяция  түйіні 

болсын: 

x

-n

, x

-(n-1)

, …, x

-1

, x

0

, x

1

, x

2

,…x

n 

 және h=x

i

-x

i-1

=const тұрақты қадам. 

Көпмүшелік  түрінде  берілген  ,  дәрежесі  2n-нен  аспайтын  функция 

қарастырамыз. Гаусстың формуласының интерполяциясы мынадай: 

 

306 

 

Формулада берілген c

i

 коэффицентін анықтаймыз. 

x=x

0

болғанда y(x

0

)=y

0

=c

0

 

x=x

1

болғанда y(x

1

)=y

1

=c

0

 +c

1

(x

1

-x

0

) немесе 

1 =

??????

1

−??????

0

??????

1

−??????

0

=

∆??????

0

ℎ

??????

 

x=x

-1

болғанда y(x

-1

)=y

-1

=c

0

 +c

1

(x

1

-x

0

)+c

2

(x

-1

-x

0

)(x

-1

-x

1

) немесе 

1 =

??????

1

− ??????

0

− ??????

1

(??????

−1

− ??????

0

)

(??????

−1

− ??????

0

)(??????

−1

− ??????

1

)

=

??????

−1

− ??????

0

−

∆??????

0

ℎ

(??????

−1

− ??????

0

)

(??????

−1

− ??????

0

)(??????

−1

− ??????

1

)

=

∆

2

??????

−1

2! ℎ

2

??????

 

Орындалған есептеулер ақиқат. Осыларды жалғастырсақ: 

 

 

Жаңа айнымалы енгіземіз:  

(1.19) формуласына жаңа айнымалыны және c

i

-дың коэффицентінің мәнін 

қоямыз. 

 

(1.20)  формуласы  Гаусстың  бірінші  интерполяциялық  формуласы  деп 

аталады. Оған орталық айырымдары кіреді. 

Гаусстың  екінші  интерполяциялық  формуласын  Гаусстың  бірінші 

интерполяциялық формуласы сияқты аламыз : 

 

Оған орталық айырымдары кіреді. 

Интерполяциялық 

Гаусс 

формуласын 

f(x) 

функциясының 

интерполяциялауының  орта  бөлігінде  қолданады.  Гаусс  формуласының 

кемшілігі  мүмкіндіктердің  кемшілігі  және  бірдей  қашықтықтағы  h=const 

болғанда ғана қолданылуы. 

Стирлинг формуласымен интерполяциялау. 

Стирлинг формуласы Гаусс формулаларының орташа арифметикасы.  

307 

 

 

 

Стирлинг  формуласын  t≤0.25  болғанда  қолданады.  Ол  аргументтің 

өзгерілу  қадамында  ғана  қолданылады.  Және  бұл  оның  бар  кемшілігі  болып 

табылады.

 

Бессел формуласымен интерполяциялау. 

y(x)  функциясы  кесте  түрінде  берілсін,  2n+2  бірмәнді  интерполяциялық 

түйінде x

-n

,  x

-(n-1)

, …, x

0

,  x

1

, x

2

,…,x

n-1

, x

n+1

  және  h=  x

i

-  x

i-1

  (i=-n,…,n+1)  тұрақты 

қадамымен.  

Бессель  формуласы  2n+2  дәрежелі  көпмүшелік  түрінде  берліледі,оның 

мәні интерполяциялау түйінінде  y(x) функциясымен сәйкес келеді. 

Бессель формуласы мынадай түрде беріледі: 

 

Мұндағы :  

Бессель 

формуласының 

интерполяциясы 

0.25≤t≤0.75 

мәндерінде 

қолданылады.  Бұл  формуланы  x-тің  аргументінің  өзгеруінде  ғана  қолдануға 

болады. 

 

 

Беркімбай Р.Ә.

1

, 

Нәшірбек Ж.Б.

 2

 

1.Ғылыми жетекші, аға оқытушы 

2. Физика-математика және жалпы техникалық пәндер кафедрасы, 

«Математика» мамандығының 1 курс студенті 

308 

 

 

ҚОЛДАНБАЛЫ ЕСЕПТЕР АРҚЫЛЫ ПӘНАРАЛЫҚ 

БАЙЛАНЫСТЫ ЖҮЗЕГЕ АСЫРУ 

 

Математиканың  қолданбалы  бағытын  көрсету  оқушылардың  көзқарасын 

қалыптастырады. Математика сабағында теориялық материал мен есеп шығару 

материалын 

тығыз 

байланыстырып, 

оқушының 

нақты 

да 

жүйелі 

математикалық   дағдысын  қалыптастыру  керек.  Себебі  бұл  дағды 

математиканы  әрі  қарай  меңгеруге,  оны  өмірде,  кәсіпте  қолдануға  қажет 

болады.  Мектепте  оқушылар  көп  жағдайда  абстракциялы  мазмұнды  есептер 

шығарады,  балалар  шартты  есепке  көп  ынта  қоймағандықтан  олардың 

белсенділігі  төмендейді. Сондықтан:  

-ортақ математикалық моделі бар әртүрлі мазмұнды қолданбалы есептерді; 

-абстракциялы, дерексіз есептерді  

тәжірибелік мазмұнмен толықтыру қажет. 

Математиканы  қолданбалы  бағытта  оқыту  дегеніміз  -  математиканы 

оқытуда  техника  мен  оған  жақын  ғылымдарда  оны  қолдану,  халық 

шаруашылығы  мен  тұрмыста  қолдануға  бағыттау,  немесе  оқытуға 

политехникалық бағыт беру, яғни физика, химия, география, сызу, технология 

сабақтарымен  байланыс  орнату;  компьютерлік  сауаттандыру,  математикалық 

ойлау  және  жұмыс  дағысын  қалыптастыру,  оқушыны  есептер  шешуге, 

мысалдар  шығартуға,   оқушы  өз  бетінше  есептей  білу  дағдыларын 

қалыптастыру. 

Математиканың  ерекшелігі  –  оның  қолданылымының  әмбебаптығы. 

Мектепте  математика  курсын  оқытудың  ең  маңызды  мақсаттарының  бірі  - 

математиканың  қолданбалы  мүмкіндіктерін  ашу.  Бұл  мүмкіндікті   ашуда 

қолданбалы  есептердің   маңызы  зор.  Қолданбалы  есептер  деп  математикалық 

әдістермен шығарылатын математикадан тыс құрылған есептерді аталады. 

Қолданбалы есептерге мынандай талаптар қойылады: математикалық және 

математикалық емес проблемалар көрініс табуы, бағдарламаға сай болуы, есеп 

мазмұны нақтылыққа құрылған, шығарылу жолы практикалық  әдіс тәсілдерге 

жақын болуы [1,7]. Көп жағдайларда қолданбалы есептерді шығару барысында 

мұғалімдер  ол  есептердің  математикалық  модулін  құруға,  мысалы  теңдеу 

құруға,  оны  шешуге  ерекше  назар  аударады.  Мұндай  есептерді  шығаруда  ол 

есептердің  бастапқы  берілген  шарттарын  жан-жақты  талқылауға,  онда 

кездесетін  шамалардың   мән  мағынасын  анықтауға,  ол  есепті  шешуге  таңдап 

алынған жолдың дұрыстығын анықтап, талдауға аса назар аудару қажет, себебі 

қолданбалы  есептерді  шығару  барысында  бұл  мәселе  оқушыларда  үлкен 

қиындық  тудырады.  Ол  оқушыларда  кәсіпке  байланысты  қолданбалы 

бағыттағы ойлауды қалыптастыруға үлкен әсерін тигізеді [2,5]. 

Мектептің  математика  курсының  құрамына  математикалық  анализ 

бастамаларын енгізу оның қолданбалылығын және өмірмен байланыстылығын 

күшейтуге  үлкен  әсер  етеді.  Бірақ  ол  мүмкіндіктерді  жүзеге  асырып 

оқушыларды  математикалық  анализ  әдістерін  қолданбалы  есептерді  шығаруға 

309 

 

пайдалануға  дағдыландыру  төмен  жағдайда  болып  отыр.  Оның  бірінші  себебі 

дифференциалдау,  интегралдау  амалдары  мектеп  курсында  кеш  (10-

11сыныптарда)  енгізілген.  Екінші  себебі  математикалық  анализдің  тәсілдерін 

қолданып қолданбалы есептерді шығаруға үйрететін әдістемелік құралдар жоқ, 

мұндай есептер мектеп оқулықтарында өте аз.  

Оқушыларды  кәсіби бағытта дайындауда  қолданбалы  есептерді шығаруға 

төмендегідей әдістемелік нұсқаулар жүргізу керек: 

1.қолданбалы есептер мектеп бағдарламасына эпизодты емес жүйелі түрде 

енгізілу; 

2.қолданбалы 

есептерге 

арналған 

жаттығулар, 

математиканың 

бағдарламалық материалымен сәйкестендірілу. 

Қолданбалы  курстарды  өткізудің  өзіндік   қиындықтары  бар.  Біріншіден 

дайын  оқу  бағдарламасы  жоқ,  екіншіден  әдебиеттер  жеткіліксіз.  Қолданбалы 

курстың  бағдарламасын  әзірлеуде  ғылыми  жағы  мен  қолданбалы  жағы  қатар 

жүрсе ғана оқушыны қызықтыра алады. 

Математикалық  анализдің  элементтерін  оқып  біле  отырып,  оқушылар 

оның  қолданбалы  мүмкіндігін  бағалап  және  меңгеріп,  математикалық 

анализдің  элементтерін кәсіптік есептерді шешуге қолдану дағдысын ашады. 

1-мысал.  Сыйымдылығы 

0

V

,  материалының  қалыңдығы  d  болатын  беті 

ашық науа (резервуар) жасау қажет. Осы науаны жасауға барынша аз материал 

жұмсау  үшін  оның  өлшемдері  (биіктігі,  табанының  радиусы)  қандай  болуы 

керек?  

 

Шешуі:  Жоғарғы  суретте  науаның  көлденең  қимасы  кескінделген.  Іщкі 

цилиндрдің табанының радиусынx, ал биіктігін hдеп белгілейік. Сыйымдылығы 

V

0

науаның  табаны  мен  қабырғасына  жұмсалатын  материал  барынша  аз  болу 

үшін  ішкі  цилиндрдің  табанының  радиусы  мен  биіктігінің  қандай  қатынаста 

болу керек екенін табайық. 

Науаның  табаны  мен  қабырғасына  кететін  материалдың  көлемі 

h

x

d

h

d

x

V

2

2

)

(

)

(













 формуласымен анықталады. Осы функцияның ең кіші 

мәнін  анықтау  қажет.  Сонда  V  көлемінің  тәуелсіз  х  пен  h  айнымалыларының 

функциясы болатынын аңғару қиын емес. 

310 

 

Ал  есептің  шарты  бойынша 

h

x

V

2

0





,  бұдан   

2

0

x

V

h





.  Осы  h-тың  мәнін 

көлем  формуласындағы  орнына  қойсақ,  онда  х-ке  тәуелді  болатын  функция 

аламыз: 

2

2

0

0

2

2

)

(

)

(

x

d

V

x

d

V

d

x

d

x

V











. 

Енді  осы  функцияның  экстремумын  іздейміз.  Ол  үшін  оның  туындысын 

табамыз: 

3

0

3

3

2

0

2

0

2

)

)(

(

2

2

2

)

(

2

)

(

x

V

x

d

x

d

x

d

V

x

d

V

d

x

d

x

V





















.  

Бұл  туынды  бір  ғана 

3

0



V

x 

 нүктесінде  нольге  айналады.  Ендеше  осы 

нүкте осы есептің шешуі болады. 

3

0



V

h 

 

Сонымен  ішкі  цилиндрдің  табанының  радиусы  мен  биіктігі  өзара  тең 

болғанда ғана сыйымдылығы белгілі науаны жасауға ең аз материал жұмсалады 

2-мысал.  Кәсіпорын  4  түрлі  шикізат  жұмсап  4  түрлі  өнім  шығарады. 

Шикізат шығынның мөлшері А матрицасының элементтері болады.  

 

шикізат түрі 



























8

6

5

4

2

3

2

7

6

5

2

1

5

4

3

2

A

 өнім түрі 

 

Егер өнім түрін шығару жоспары сәйкес ( 60 ; 50; 30;  40 ) бірлік болса , 

онда осы жоспарды орындауға кеткен әр шикізат мөлшерін тап.  

Шешуі.  Өнім шығару жоспарының векторын 

)

40

;

35

;

50

;

60

(







q

құрамыз.    

Сонда есептің шешімі координаталары жұмсалған әр шикізаттың шығыны 

болатын 

в

шығындар  векторы  болады;  ол 

q

 векторы  мен  А  матрицасының 

көбейтіндісі .  





990

;

835

;

550

;

575

8

6

5

4

2

3

2

7

6

5

2

1

5

4

3

2

.

)

40

;

35

;

50

;

60

(

































A

q

в

 

Экономиканың негізгі мақсаты - өндірісті жақсарту, адам еңбегін үнемдеу 

болғандықтан 

сызықтық 

алгебра 

элементтерін 

қолданып 

халық 

шаруашылығының есептерін тиімді моделдер құру арқылы шешуге болады. 

жүктеу/скачать 11,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: