Список использованных источников

330 

 

2. (

?????? + ??????, ??????) = (??????, ??????) + (??????, ??????), 

3. (

????????????, ??????) = ?????? ∙ (??????, ??????), 

4. (

??????, ??????) > 0 при ?????? ≠ 0 и (??????, ??????) = 0 при ?????? = 0. 

Здесь  следует  отметить,  что  если  ?????? = ?????? + ???????????? ,  то  число ??????̅ = ?????? + ???????????? 

называется  комплексным  сопряженным  к  числу ?????? (по  аксиоме  1,  комплексные 

числа (??????, ??????) и (??????, ??????)

̅̅̅̅̅̅̅ сопряженные).  

Определение:  Комплексное  n-мерное  векторное  пространство,  в  котором 

введена  операция  скалярного  произведения  векторов,  называется  n-мерным 

унитарным (эрмитовым, комплексно евклидовым) векторным пространством 

и обозначается через ??????

n

.[1, стр.157] 

Операция  скалярного  произведения  на  унитарном  пространстве  является 

положительно определенная эрмитова форма  (∙,∙) ∶  ?????? × ?????? → ℂ. 

Из первых трех аксиом скалярного произведения следует: 

(??????, ????????????) = (????????????, ??????)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ??????(??????, ??????)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ??????̅(??????, ??????)

̅̅̅̅̅̅̅ = ??????̅(??????, ??????);                  (1) 

(??????, ?????? + ??????) = (?????? + ??????, ??????)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (??????, ??????) + (??????, ??????)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (??????, ??????)

̅̅̅̅̅̅̅ + (??????, ??????)

̅̅̅̅̅̅̅ = (??????, ??????) + (??????, ??????); (2) 

(∑ ??????

??????

??????

??????

??????

??????=1

, ∑ ??????

??????

??????

??????

??????

??????=1

) = ∑ ??????

??????

??????

??????=1

(??????

??????

, ∑ ??????

??????

??????

??????

??????

??????=1

) = ∑ ??????

??????

??????

??????=1

(∑ ??????

??????

??????

??????

??????

??????=1

, ??????

??????

)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

=

= ∑ ∑ ??????

??????

??????

??????=1

??????

??????=1

??????

??????

(??????

??????

, ??????

??????

)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ∑ ∑ ??????

??????

??????

??????=1

??????

??????=1

??????

??????

̅ (??????

??????

, ??????

??????

)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =

= ∑ ∑ ??????

??????

??????

??????

̅

??????

??????=1

(??????

??????

, ??????

??????

)

??????

??????=1

.                                                                                    (3) 

Если в n-мерном унитарном пространстве ??????

??????

 фиксирован  базис 

??????

1

, ??????

2

, … , ??????

??????

, то 

всевозможные векторы ?????? и ?????? будут иметь в нем разложения  

?????? = ∑ ??????

??????

??????

??????

??????

??????=1

, ?????? = ∑ ??????

??????

??????

??????

??????

??????=1

 

следовательно, формула (3) для векторов ?????? и?????? примет вид  

(??????, ??????) = (∑ ??????

??????

??????

??????

??????

??????=1

, ∑ ??????

??????

??????

??????

??????

??????=1

) = ∑ ∑ ??????

??????

??????

??????

̅

??????

??????=1

(??????

??????

, ??????

??????

).

??????

??????=1

(4) 

Для матриц эта формула будет выглядеть следующим образом: 

(??????, ??????) = ??????

Т

Г??????̅,                                                       (4

′

) 

где ?????? = (??????

1

, ??????

2

, … , ??????

??????

)

T

, ?????? = (??????

1

, ??????

2

, … , ??????

??????

)

T

,  

Г =

(

 

 

(??????

??????

, ??????

??????

) (??????

??????

, ??????

??????

) … (??????

??????

, ??????

??????

)

(??????

??????

, ??????

??????

) (??????

??????

, ??????

??????

) … (??????

??????

, ??????

??????

)

… … …

… … …

…

… … …

(??????

??????

, ??????

??????

) (??????

??????

, ??????

??????

) … (??????

??????

, ??????

??????

)

)

 

 

 – матрица Грама. 

Поскольку  (??????

??????

, ??????

??????

) = (??????

??????

, ??????

??????

)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅  (по  аксиоме  1),  то  матрица  Грама  будет 

удовлетворять условию:  

331 

 

Г = Г̅

Т

= Г

∗

,                                                          (5) 

где ∗ -  транспонирование  матрицы  с  заменой  в  ней  элементов  на  комплексно 

сопряженные. 

МатрицаА

∗

-  сопряженная  матрица  к  матрице 

А. ЕслиА = А

∗

,  то А –  эрмитова 

матрица.  Следовательно,  согласно  условию  (5)  матрица  Г,  то  есть  матрица 

Грама - эрмитова. А

∗

= А

Т

если матрицаА действительная.[1, стр.158] 

Для  унитарных  пространств  длина  (норма,  модуль)  вектора  определяется 

аналогично евклидовому пространству, по формуле:   

|??????| = √(??????, ??????),                                                        (6) 

где  величина  под  знаком  корня  неотрицательна,  в  силу  аксиому  4  скалярного 

произведения. 

В отличии от евклидового пространства, в унитарном пространстве не вводится 

понятие угол между векторами. При этом, остается аналогичным евклидовому 

пространству, определение ортогональности двух векторов.  

Векторы  ??????  и ??????  унитарного  пространства  называют  ортогональными,  если 

выполняется условие (??????, ??????) = 0. 

Вообще,  вся  теория  евклидового  пространства  в  частности  процесс 

ортогонализации  системы  векторов,  понятия  ортонормированного  и 

ортогонального базиса, ортогональной проекции векторов на подпространство, 

ортогональное  дополнение  и  т.д.  лежит  в  основе  унитарного  пространства  с 

теми  же  определениями  и  общей  схемой  рассуждения.  Все  же  не  следует 

забывать,  что  скалярное  произведение  в  унитарном  пространстве  значительно 

отличается  от  скалярного  произведения  в  евклидовом  пространстве  и  при 

применении скалярного произведения быть предельно внимательным. 

В  любом  ортонормированном  базисе  ??????  унитарного  пространства  ??????

??????

,  для 

векторов, ?????? = (??????

1

, ??????

2

, … , ??????

??????

)

T

 и ?????? = (??????

1

, ??????

2

, … , ??????

??????

)

T

,  заданных  координатами  в 

данном базисе, формула (4) обретает вид:  

(??????, ??????) = ??????

T

??????̅ = ??????

∗

?????? = ??????

1

??????

1

̅ + ??????

2

??????

2

̅̅̅ + ⋯ + ??????

??????

??????

??????

̅̅̅.                        (7) 

Для скалярного квадрата формула (4) обретает вид:  

(??????, ??????) = ??????

T

??????̅ = ??????

∗

?????? = ??????

1

??????

1

̅̅̅ + ??????

2

??????

2

̅̅̅ + ⋯ + ??????

??????

??????

??????

̅̅̅

= |??????

1

|

2

+ |??????

2

|

2

+ ⋯ + |??????

??????

|

2

.                                                                        (8) 

Данные формулы очень часто применяются при решении задач в унитарном 

пространстве. 

Квадратная матрица ?????? = ‖??????

????????????

‖

1

??????

над полем ℂ комплексных чисел, строки 

которой образуют ортонормированную систему, то есть: 

??????

??????1

??????

??????1

̅̅̅̅̅ + ⋯ + ??????

????????????

??????

????????????

̅̅̅̅̅ = {

1 при?????? = ??????

0 при ?????? ≠ ??????

, ??????, ?????? = 1, … , ?????? 

называется унитарной матрицей. 

Квадратная  матрица ?????? с  комплексными  элементами  унитарна  тогда  и  только 

тогда, когда выполняется любое из условий: ??????

∗

?????? = ????????????

∗

= ??????, ??????

∗

= ??????

−1

, столбцы 

матрицы ?????? образуют ортонормированную систему. [2] 

Определитель унитарной матрицы равен единице. 

В  унитарном  пространстве  переход  от  одного  ортонормированного  базиса  к 

другому  ортонормированному  базису  осуществляется  с  помощью  унитарной 

332 

 

матрицы.  Также  унитарные  матрицы  являются  матрицами  унитарных 

преобразований в ортонормированном базисе. [3] 

Пример 1. Ортонормировать систему векторов: 

??????

1

= (1, ??????, ??????)

??????

, ??????

2

= (??????, ??????, ??????)

??????

, ??????

3

= (??????, 0, ??????)

??????

, 

считая, что векторы заданы координатами в ортонормированном базисе. 

Решение. Сначала проведем процесс ортогонализации данной системы 

векторов. Положим ??????

1

= ??????

1

,  ??????

2

= ??????

1

??????

1

+ ??????

2

 и найдем 

??????

1

из условия(??????

2

, ??????

1

) = 0. 

Так как: 

(??????

2

, ??????

1

) = (??????

1

, ??????

1

+ ??????

2

, ??????

1

) = ??????

1

(??????

1

, ??????

1

) + (??????

2

, ??????

2

), 

то из условия (??????

2

 , ??????

1

) = 0 находим, что: 

??????

1

=   − 

(??????

2

,??????

1

)

(??????

1

,??????

1

)

=   −

??????∙??????+??????∙??????+??????∙??????

|1|

2

+|??????|

2

+|??????|

2

=

−2−??????

3

. 

Следовательно: 

??????

2

=

−2−??????

3

(

1

??????

??????

) + (

??????

??????

??????

) =

1

3

(

2 + 2??????

1 + ??????

1 + ??????

).  

Аналогично находим: 

??????

3

= ??????

3

− β

1

??????

1

− β

2

??????

2 

, 

где: 

β

1

= −

(??????

3

, ??????

1

)

(??????

1

, ??????

1

)

= −

?????? ∙ 1 + 0 ∙ ?????? + ?????? ∙ ??????

|1|

2

+ |??????|

2

+ |??????|

2

=

−1 − ??????

3

, 

β

2

= −

(??????

3

, ??????

1

)

(??????

1

, ??????

1

)

= −

?????? ∙

−2−2??????

3

+ ?????? ∙

1−??????

3

|

−2+2??????

3

|

2

+ |

1+??????

3

|

2

+ |

1+??????

3

|

2

=

−3 + ??????

4

. 

Поэтому: 

??????

3

=

−1−??????

3

(

1

??????

??????

) +

−3+??????

12

(

−2 + 2??????

1 + ??????

1 + ??????

) + (

??????

0

??????

) =

1

2

(

0

−??????

??????

). 

Система  векторов      ортогональная.  Чтобы  получить  ортонормированную 

систему, нормируем каждый вектор этой системы: 

??????

1

0

=

??????

1

|??????

1

|

=

??????

1

√(??????

1

, ??????

1

)

=

??????

1

√|1|

2

+ |??????|

2

+ |??????|

2

=

1

√3

??????

1

=

1

√3

(1, ??????, ??????)

??????

, 

 

??????

3

0

=

??????

3

|??????

3

|

=

??????

3

√??????

3

, ??????

3

=

??????

3

√|

−??????

2

|

2

+ |

??????

2

|

2

= √2??????

3

=

1

√2

(0, −??????, ??????)

??????

. 

Пример 2. Убедиться, что система векторов: 

??????

1

= (4 + 3??????, 4 + 3??????, 2)

??????

,    

??????

2

= (4 − 3??????, −4 + 3??????, 0)

??????

 

–  ортогональная  и  дополнить  ее  до  ортогонального  базиса  пространства  U

3

, 

считая, что векторыа

1

,

а

2

 заданы координатами в ортонормированном базисе. 

Решение.Векторы а

1

,

а

2

, ортогональны, так как: 

(а

2

, а

2

) = (4 + 3??????)(4 + 3??????) + (4 + 3??????)(4 − 3??????) + 2 ∙ 0 = 0. 

333 

 

К  системе  векторова

2

, а

2

 добавим  вектор 

?????? = (??????

1

, ??????

2

, ??????

3

)

??????

 ,  удовлетворяющий 

условиям: 

(??????, а

1

) = ??????

1

(4 − 3??????) + ??????

2

(4 − 3??????) + 2 ∙ ??????

3

= 0. 

(??????, а

2

) = ??????

1

(4 + 3??????) − ??????

2

(4 + 3??????) = 0.                

Первое  уравнение  этой  системы  умножим  на  4  +  3i,  второе  –  на  

4 – 3i. Тогда получим систему уравнений: 

{

25??????

1

+ 25??????

2

+ 2(4 + 3??????)??????

3

= 0,

25??????

1

− 25??????

2

= 0.                           

 

Из  второго  уравнения  системы  получаем  ??????

1

= ??????

2

.  Если  сложить  первое 

уравнение со вторым, то придем к уравнению: 

50??????

1

+ 2(4 + 3??????)??????

3

= 0, 

из которого находим: 

??????

1

= −

4 + 3??????

25

??????

3

 

Выберем  х

3 

=  25.  В  результате  получим:  Одним  из  ортогональных  базисов 

пространства  U

3

,  содержащим  векторы  а

1

,  а

2

,  является  базис,  состоящий  из 

векторов а

1

, а

2

 и х. 

 

Список использованных источников: 

1.

 

Шевцов Г.С. Линейная алгебра..- М.: Гардарики, 1999.-359с. 

2.

 

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/5732/%D0%A3%D0%9D%D0

%98%D0%A2%D0%90%D0%A0%D0%9D%D0%90%D0%AF 

3.

 

http://slovari.belnovosti.by/content_matenc/unitarnaja-matrica-42883.html 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

334 

 

СЕКЦИЯ № 5. ФИЗИКА И ПРФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ 

 

Нупирова А.М.

1

,Абдрахманова А.О.

2

 

1.

 

Ғылыми жетекшісі, аға оқытушы, жаратылыстану ғылымдарының 

магистрі 

2.

 

Студент 4 курста, физика-математика және жалпы техникалық пәндер 

кафедрасы, мамандықтың«Физика» 

 

ФИЗИКА САБАҒЫНА КЕЙС –СТАДИ ӘДІСІН ҚОЛДАНУДЫҢ 

ТИІМДІЛІГІ 

 

Кейс технологиясы -оқытушының креативті ойлауын дамытып, сабақтың 

мазмұнын  ерекше  құруға  шығармашылық  мүмкіндігін  кеңейтуге  жағдай 

жасайды. 

Кейс  технологиясы  (ағылшынның  сasе—портфель)  оқытуда  жасалынған 

әдістемелік  материалдармен  іске  асырылады.  Кейс–стади  амал-тәсілі  немесе 

оқытудың  нақты  жағдаяттар  әдісі  ХХ  ғасырдың  басында  Америка  Құрама 

Штаттарының Гарвард университетінің бизнес мектебінде пайда болған. Кейс-

стади  амал-тәсілі  термині  алғаш  рет  американдық  ғалым  Коплендтің 

еңбектерінде пайдаланылған. Копленд 1921 жылы оқытудың нақты жағдаяттар 

жинағын шығарып, кейс-стади амал-тәсілін қолдану жолдарын көрсеткен. Қазір 

кейс-стади амал-тәсілін педагогикалық оқыту үрдісіне енгізу әдіс-тәсілдерін: Л. 

Барис,  В.А.  Ясвин,  К.  Кристенсен,  Э.Хансен,  М.В.  Коротков,  М.В.  Кларин, 

А.И.Наумова,  А.М.Зобина,  М.С.Керимбаева,  В.А.Канн-калик,  Н.Д.Никандров, 

Б.Н.Киселева,  И.В.  Липсина,  Г.А.Полонский,  Д.Экинсон,  И.Уилсондар 

қарастыруда[1, 42 б]. 

CASE STUDY әдісі келесі дағдыларды дамытады: 

1.  Аналитикалық  дағдылар.Оларға  келесілерді  жатқызуға  болады: 

деректердің  мәліметтерден  айыру  шеберлігі,  маңызды  және  маңызды  емес 

ақпараттарды  айыра  білу,  талдау,  елестету  және  оларға  қол  жеткізу,  жіберіп 

алған  ақпаратарды  тауып,  оларды  қалпына  келтіру  шеберлігі  және  т.б.  Нақты 

және  логикалық  ойлау  қабілеті.  Бұл  әсіресе,  ақпарат  сапасы  төмен  болған 

жағдайда өте маңызды. 

2.  Тәжірибелік  дағдылар.  Кейсте  көрсетілген  нақты  жағдайларымен 

салыстырғанда мәселенің күрделілігі төмен деңгейі экономикалық теорияларда, 

әдістер  мен  принциптерде  қолданылатын  тәжірибе  дағдыларын  жүйелеуге 

мүмкіндік береді. 

3.  Шығармашылық  дағдылар.Ережеге  сай  жалғыз  CASE-пен  мәселе 

шешілмейді.  Мұнда,  логикалық  жолмен  шешілмейтін,  альтернативті  шешу 

генерациясының шығармашылық дағдылары өте маңызды. 

4. Коммуникативті дағдылар.Олардың ішінен төмендегілерді атап айтуға 

болады:  дискуссияны  жүргізу  шеберлігі,  қоршаған  адамдардың  көзін  жеткізу. 

Көрнекі материалды және басқа медиа заттарды қолдану  – топтарғабірлесу, өз 

335 

 

көзқарасын  қорғау,  оппоненттердің  көзін  жеткізу,  қысқа  да  нұсқа  есеп 

дайындау. 

5. Әлеуметтік дағдылар. Талқылау барысында CASE-те нақты әлеуметтік 

дағдылар  қалыптасады:  адамдардың  өзін  -  өзі  бағалау  тәртібі,  тыңдай  білу, 

дискуссияны қолдау немесе қарама – қарсы көзқарасты дәлелдеу, яғни, өзін өзі 

ұстау және т.б. 

6.  Өзіндік  саралау.Пікірталас  кезінде  келіспеушілік  басқалардың  және 

өзінің  пікірін  жете  түсінуге  және  талдауға  септігін  тигізеді.  Туындаған 

моральдық  және  этикалық  мәселелер  оларды  шешудің  әлеуметтік 

дағдыларынқалыптастыруды талап етеді. 

Кейс әдісін қолдану тек оқытумен ғана шектелмейді, бұл әдіс зерттеу әдісі 

ретінде  де  белсенді  қолданылады.  Сонымен  қатар,  оқудағы  оқу,  білім  және 

ізденіс  мазмұнын  біріктіру  арқылы  oқытушының  кәсіптік  құзыреттілігін 

жоғарылатудың  нақты  тәсілдерінің  бірі.  Бұл  әдістің  тиімділігі,  ол  басқа  оқу 

әдістерімен оңай байланысуы мүмкін. 

Кейс-стади әдісінің категориялық аппараты: 

Әдістің  категориялық  аппаратын  құру  оны  қолдану  тиімділігін  бірталай 

арттыруға көмектеседі, сонымен қатар оқу процесіндегі технолизациялау әдісі 

үшін,  жаңа  мүмкіндіктер  ашады.  Кейс-әдісте  қолданылатын  негізгі  ұғымдар 

«жағдай»  және  «анализ»,  сонымен  қоса  олардан  туатын  –  «жағдайды  талдау» 

ұғымдары болып табылады [2, 12 б]. 

жүктеу/скачать 11,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: