Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері

100 
 
 
 



в
а
в
а
dx
x
dx
x
f

; 
5-қасиет. Кез келген 
с
в
а ,
,
-сандары үшін 
 
 
 





в
а
c
a
в
с
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
; 


в
c
а


 
теңдік орындалады, егер осы үш интеграл да бар болса, 
 
6-қасиет.  Егер 
m
  және  M   функциясының 
 
b
a,
  кесіндідегі  ең  кіші  және  ең  үлкен  мәндері 
болса, онда 





b
a
a
b
M
dx
x
f
a
b
m
)
(
)
(
)
(
. 
Дәлелдеуі. Берілген шарт бойынша кез келген  
 
b
a
x
,

үшін 
M
x
f
m


)
(
. 
Онда, 4 қасиетті пайдаланғанда 





b
a
b
a
b
a
Mdx
dx
x
f
dx
m
)
(
 
болады, осыдан жоғарыдағы теңсіздіктің орындалатынын кӛреміз.  
7-қасиет. (орташа мән туралы теорема). Егер 
 
x
f
 функциясы 
 
в
а,  аралығында үзіліссіз болса, 
онда осы аралықта с –нүктесі табылып, мынадай теңдік орындалады: 
   
 

  



в
а
c
f
а
в
dx
x
f
 
(9.2.1) 
 
9.3. Жоғарғы шегі айнымалы интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы 
Бізге 
 
в
а,   аралығында  үзіліссіз 
 
x
f
  функциясы  берілсін.  Егер 
   
в
a
x
a
t
;
;


  болса,  онда 
интеграл 
 

x
a
dt
t
f
  жоғарғы  шегі  айны-малы  интеграл  деп  аталады.  Сонда 
a
-тұрақты  болғандықтан, 
бұл интеграл айнымалы 
x
-тің функциясы болады, демек 
 
 


x
a
dt
t
f
х
Ф
 
1-Теорема.Егер 
 
x
f
  үзіліссіз,  ал 
 
 


x
a
dt
t
f
х
Ф
  болса,  онда 
   
x
f
х
Ф


,  яғни 
 
х
Ф
 
функциясы 
 
x
f
-тің алғашқы функциясы болады. 
2-Теорема.Егер 
 
x
F
 берілген үзіліссіз 
 
x
f
 функциясы үшін алғашқы функция болса, онда  
   
 
 
 



в
а
a
F
в
F
dx
x
f
 
 
(9.3.1) 
болады және бұл теңдікті Ньютон-Лейбниц формуласы деп атайды. 
1-мысал.  
4
7
2
1
1
1
4
1
4
1
2
3
2
4
1
2






















x
x
dx
x
x
dx
х
х
. 
2-мысал. 
.
6
2
1
arcsin
2
arcsin
4
1
0
1
0
2






x
x
dx
 
 

101 
 
9.4. Анықталған интегралды бӛліктеп интегралдау 
Бізге 
 
в
а,  аралығында үзіліссіз және туындылары бар 
 
 
x
x
u
u




,
 функциялары берілсін. 
Онда 
 



ud
du
u
d


. 
Осы теңдікті 
 
в
а,  аралығында интегралдасақ  




в
а
в
а
в
a
ud
du
u



 болады. 
Бұдан  




в
а
в
a
в
a
du
u
ud



 
                       (9.4.1) 
теңдігі  шығады.  Осы  формуланы  анықталған  интегралдың  бӛліктеп  интегралдау  формуласы  деп 
атайды. 
Мысал. 














2
0
2
0
x
cos
x
x
cos
,
dx
du
xdx
sin
d
,
x
u
xdx
sin
x
 




2
x
sin
x
cos
x
xdx
cos
2
0
2
0
2
0






. 
 
9.5. Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру 
Бізге анықталған интеграл 
 

в
а
dx
x
f
 
және 
 
 



;
,


t
t
х
  функциясы  берілсін  және  ол  ӛзінің  туындысы 
)
(t


–мен  бірге 
 


;
 
аралығында үзіліссіз болсын. Сонымен бірге: 
1)  Айнымалы 
 


;
t
  аралығында  ӛзгергенде,  айнымалы 
x
 
в
a;
  аралығында  ӛзгерсін  және 
 
 
в
а






,
; 
2) Күрделі 
 
 
t
F

 функциясы 
 


;
 аралығында анықталған және үзіліссіз болсын; 
Сонда мына формула орындалады: 
   
 
 
 
 




в
а
dt
t
t
f
dx
x
f




   
(9.5.1) 
Мысал. 

















2
t
,
3
1
t
,
3
x
1
t
,
0
1
t
,
0
x
tdt
2
dx
,
1
t
x
,
x
1
t
dx
x
1
x
2
3
0
 
 










2
1
2
1
2
4
2
dt
t
t
2
tdt
2
t
1
t
 
15
11
7
3
7
5
31
2
3
1
5
1
2
3
8
5
32
2
3
1
5
2
2
1
3
5














 

















t
t
. 
9.6. Анықталған интегралдың қолданылуы 
1.  Анықталған  интеграл  арқылы  аудан  табу.  Бізге 
 
в
а;   сегментінде  анықталған  үзіліссіз 
 
x
f
y

  функциясы  берілсін.  Егер 
 
0

x
f
  болса,  онда  осы  функцияның  графигімен,  ОХ-осімен 
және 
в
x
a
x


,
 түзулермен шенелген қисық сызықты трапецияның ауданы мына 

102 
 
 


в
а
dx
x
f
S
 
 
 (9.6.1) 
формуламен табылатынын (6.11.1) біз білеміз. 
Егер 
 
x
f
y

  функциясы 
 
в
а;   аралығында  таңбасын  ӛзгертетін  болса,  онда  осы  қисықпен 
шектелген аудан мына формуламен табылады: 
   
 


в
а
dx
x
f
S
  
 
(9.6.2) 
Ал 
 
x
f
y

, 
 
x
y


,  (
   
x
x
f


)-қисықтармен    және 
в
x
a
x


,
  түзулермен  шенелген 
фигураның ауданы мына формуламен табылады: 
   
   





в
а
dx
х
x
f
S

   
 
(9.6.3) 
Егер функция параметрлік теңдеумен 
 
 








t
,
t
y
,
t
x
  берілген  болса,  онда  онымен 
шенелген фигураның ауданы мына формуламен табылады: 
   
   








dt
t
t
S
 
 
(9.6.4) 
Мысал. 
OX
осімен  және 




t
y
t
t
x
cos
1
2
,
sin
2




  циклоиданың  бір  аркасымен  шенелген 
фигураның ауданын табу керек. 
Шешуі: 

 




















2
0
2
2
0
2
0
2
cos
cos
2
1
4
cos
1
4
cos
1
2
cos
1
2
dt
t
t
dt
t
dt
t
t
S




















2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
cos
1
2
sin
8
4
cos
4
cos
8
4
dt
t
t
t
tdt
tdt
dt






12
4
8
2
sin
2
2
4
2
0
2
0







t
t
. 
Енді полярлық координаттар жүйесінде қисық мынадай теңдеумен берілсін: 
   
 








,
f
. 
Онда осы қисықпен және 






,
 радиус векторлармен шенелген сектордың ауданы мына 
формуламен табылады: 
   






d
S
2
2
1
  
 
(9.6.5) 
2. Айналу денесінің көлемі.
 
b
a,
 сегментінде үзіліссіз 
)
(x
f
y

 функциясының графигі 
OX
осін 
айналған болсын (29-сызба). Осы айналудан пайда болған дененің кӛлемін табу керек болсын.  



b
z
dx
x
f
V
)
(
2

                             (9.6.6) 
болады. 
Мысал. 
1
2
2
2
2


b
y
a
x
 эллипстің 
OX
 осін айналғандағы дененің кӛлемін табу керек болсын. 
Шешуі.  Эллипс  симметриялы  болғандықтан  айналу  дененің  кӛлемінің  жартысын  (9.6.6) 
формуласымен табамыз: 
















a
a
a
a
dx
x
a
b
dx
b
dx
a
x
b
dx
y
V
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
0
2
1
2
1




 
2
2
3
3
2
0
2
3
2
2
3
2
3
3
ab
a
a
b
a
b
a
x
b
x
b
a
















 

103 
 
Осыдан 
2
3
4
ab
V


    болады. 
Анықталған  интегралдың  кӛмегімен  физикалық  есептерді  де  шығаруға  болады.  Мысалы, 
материялық  қисық  пен  материялық  фигуралардың  ауырлық  центрлерін,  статикалық  және 
инерциялық моменттерін табуға болады. 
№11 дәріс тақырыбы:Кездейсоқ оқиғалар 
 ([4], 17-64 беттер, [2] 2 бӛлім, [1] 4 бӛлім, қосымша әдебиеттер) 
Элементар оқиғаның дискретті кеңістігі. Алгебралық оқиға. Классикалық 
ықтималдық 
 
Анықтама.  Кез  келген  соңғы  немесе  жұп  жиынды  элементар  оқиғаны  кеңістік 
деп атайды. 

 арқылы белгілейді. 

  элементар  кеңістігін  элементар  оқиғалары  деп  атайды  және 

,
,
2
1


  арқылы 
белгілейді, яғни 



,
,
2
1




.  
Анықтама.  Элементар  оқиғалар  жиынының  кезкелген  жиыншасын  оқиға 
деп атайды.  
Мысал.  Ойын  сүйегі  лақтырылады. 
i

-  «
i
  санының  түсуі», 
6
,
,
2
,
1


i
  деп 
белгілейік.Онда  элементар  оқиғалар  кеңістігі 


6
2
1
,
,
,






  тең  болады. 

A
  «жұп 
сан түсу» оқиғасы деп белгілейік, онда 


6
4
2




,
,
A
. 
Анықтама. Егер 
A
 оқиғасы 

 элементар оқиғалар кеңістігімен тура келсе, онда 
А оқиғасын ақиқат деп атайды. 
Анықтама. Егер екі оқиғаның біреуі екіншісінің пайда болуына болса, онда екі 
оқиға қарама-қарсы деп аталады.  
Мысалы. Ойын сүйегі лақтырылады. 


6
2
1
,
,
,






,


6
4
2
,
,




A
, 


5
3
1
,
,




A
 
оқиғаларын қарастырайық.   
A
 оқиғасына 
A
 қарам-қайшы оқиға болады    
Жалпы  сынау  нәтижесінде  бірнеше  элементар  (нәтижелер,  жағдайлар)  пайда 
болуы  мүмкін  болса  және  олардың  біреуінің  пайда  болу  мүмкіндігінің  екіншісіне 
қарағанда,  артықшылығы  бар  деп  айта  алмайтын  болса,  басқаша  айтқанда,  сынау 
нәтижесінің  симметриялы  қасиет  болса,  мұндай  элементар  оқиғалар  тең  мүмкіндікті 
делінеді. Мысалы, тиынды лақтырғанда А оқиғаның (сан түсуі) және В оқиғаның (герб 
түсуі) мүмкіндіктері тең, ӛйткені, біртекті материалдан жасалған тиынның түрі дұрыс 
цилиндрден  тұрады  және  оны  бір  рет  лақтырғанда  тиынның  қай  жағы  (сан  немесе 
герб) жоғар қарап түссе де оқиға болады.  
Анықтама: А және В оқиғасының қосындысы деп кем дегенде біреуінің пайда 
болуын айтады. (А+В немесе 
B
A 
 арқылы белгіленеді). 
Анықтама: А және В оқиғаларының бірге пайда болуын олардың кӛбесйтіндісі 
деп атайды. (АВ немесе 
B
A 
 арқылы белгілейміз). 
Анықтама: А оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар санының 
m
 сынаудың тең 
мүмкіндікті  барлық  элементар  оқиғалары  санына 
n
  қатынасын  А  оқиғасының 
ықтималдығы деп атайды.  

104 
 
n
m
)
A
(
P

 
 
 
 
 
 
(1). 
(1)
 
формуланы ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды. 
Мысал: Туристер он бес ер баладан және бес қыз баладан топ құрайды. Жеребе 
тастау  арқылы  құрамында  тӛрт  баладан  тұратын  шаруашылық  командасын  құрады. 
Осы команданың құрамында екі ер бала және екі қыз бала болу ықтималдығы қандай? 
Шешуі.  Тәжірбие  жиырма  баланың  ішінде  тӛрт  баланы  таңдап  алудан  тұрады. 
Таңдау  жеребе  бойынша  жүргізілгендіктен  тәжірбие  нәтижелері  тең  ықтималды. 
Тәжірбие  нәтижелерінің  саны 
4
20
C
n

,  ӛйткені  таңдама  тӛрт  элементтен  тұрады  және 
олардың орналасуы таңдамада ескертілмейді. А оқиғасы таңдалғандардың құрамында 
екі  ер  бала  мен  екі  қыз  барлығын  білдірсін.  Екі  жігітті  15-тің  ішінен 
2
15
C
  тәсілмен 
таңдауға болады және осындай әрбір таңдамадан кейін екі қызды 
2
5
C
 әдіспен таңдауға 
болады.  Кӛбейтінді  ережесі  бойынша  А  оқиғасына  тәжірбиенің 
2
5
2
15
C
C
  нәтижелері 
қолайлы. Іздеген ықтималдық (1) формула бойынша есептеледі.  
 
217
,
0
4
20
2
5
2
15


C
C
C
A
p
 
Ықтималдықтың қарапайым қасиеттері. 
1) Оқиғаның кез келген ықтималдығы нӛл мен бір аралығында анықталған: 
1
)
(
0


A
P
 
2) 
1
)
(


P
. 
3) Мүмкін емес оқиға ықтималдығы нӛлге тең: P(Ø)=0 
 
Бақылау сұрақтары 
1. Элементар оқиға кеңістігінің анықтамасы. 
2. Кездейсоқ оқиғаның анықтамасы. 
3. Оқиға түрлері. 
4. Оқиғаларға анықтама қолдану. 
5. Классикалық ықтималдық. 
 
Ықтималдықтың аксимотикалық анықтамасы 
 

 элементар оқиғалар кеңістігін қарастырайық.  
Анықтама:  L  кездейсоқ  оқиғалар  жүйесін  алгебралық  оқиға  деп  атайды,  егер 
мынандай шарттар орындалса: 1)
L


; 2) если 
L
A

, 
L
B

,онда
L
AB

, 
L
B
A


, 
A
\
L
B

. 
Басқаша айтқанда, L  алгебралық оқиға, егер кезкелген екі оқиғамен бірге ол олардың 
қосындысын,  кӛбейтіндісін  және  айырымын,  сонымен  қатар 

  жиынында  сақтайды. 
Осы  шарттардан  кейін 

  құры  жиында  L-ға  тиісті  болады.  Шынымен-ақ, 





 
және 
L


, онда 
L


болады. 

105 
 
Мысал. Ойын сүйегі лақтырылады, сонда 


6
2
1
,
,
,






. 

 кеңістігінің барлық 
ішкі жиындарын қарастырайық:  
      
 
 
 



,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
3
2
1
6
5
3
1
2
1
6
2
1















 
(1) жиын алгебралық  оқиға болады.   
Анықтама:  Р(А)  сандық  функциясы,  L  алгебарлық  оқиғада  анықталған 
ықтималдық деп аталады, егер келесі аксиомалар орындалса: 
1. Р(А) > 0 кез келген 
L
A

. 
2.Р(

) = 1. 
3.Р(А+В)=Р(А)+Р(В),  Ажәне Вүйлесімсіз. 
4.Кез келген 


n
A
A
A



2
1
 оқиға L-дан алынған, 




n
n
A
1

 болса,онда 
 
0
lim



n
n
A
P
 теңдігі тура. 
 
Анықтама:  (

,  L,  Р)  үштігі  ықтималдық  кеңістігі  деп  аталады.  Мұндағы  L  – 
алгебралық оқиға, Р1-4 аксиомаларын қанағаттандырады.  
Олай болса, қазіргі теория ықтималдығында математикалық модельдің кез келген 
кездейсоқ пайда болуы ықтималдық кеңістігінде жұмыс жасайды.  
Мысал. Екі тиынды лақтырайық. 
1 модель. 


3
2
1
,
,





 ықтималдық кеңістігі мына түрде болсын, бұл жердегі 
1

- 
«тиын  сан  жағымен  түсті», 
2

-  «тиын  герб  жағымен  түсті»,   
3

  -  «тиын  әртүрлі 
жағымен  түсті». 
A
  -  «тиын  әртүрлі  жағымен  түсуі»  оқиғасын  қарастырайық,  яғни 
 
3


A
. Сонда классикалық ықтималдық формуласы бойынша  
 
3
1

A
P
.  
2 модель. Ықтималдық кеңістігі мына түрде болсын 


4
3
2
1
,
,
,






, бұл жердегі 
1

-  «тиынның  сан  жағымен  түсуі», 
2

-  «тиынның  герб  жағымен  түсуі»,   
3

  - 
«варианттар  табылды:  сан,  герб» 
4

  -  «варианттар  табылды:  герб,  сан».  Сонда 


4
3
,



A
. Классикалық ықтималдық формуласы бойынша 
 
2
1
4
2


A
P
. 
Ықтималдық аксиомасынан 
1. 
 
0


P
 
2. 
 
 
A
P
A
P


1
 
3. Кез келген  
A
 және 
B
 оқиғасы үшін мына теңдік орындалады  
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ). 
5.Кез келген А және В оқиғасы үшін мына теңдік орындалады 
 

    
B
P
A
P
B
A
P



. 

106 
 
6.Егер 


,
,
,
,
2
1
n
A
A
A
 жұппен үйлесімсіз және 
L
A
A
n
n




1

 болса, онда  
 
 




1
n
n
A
P
A
P
. 
7.Егер 














n
n
A
A
A
A
A
A
2
1
2
1
 және












n
n
n
n
A
A
A
A
1
1


,  
онда 
 
 
n
n
A
P
A
P



lim
. 
 
 
Бақылау сұрақтары 
1. Алгебралық оқиғаның анықтамасы. 
2. Ықтималдықтар анықтамасы. 
3. Ықтималдық қасиеттері. 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: