Алгебралық иррационал функцияларды интегралдау

95 
 
Шешуі:  Айнымалы  х-ті 
t
x
x



1
2
  формуласы  бойынша 
t -ға  алмастырамыз.  Сонда 


2
2
2
2
1
2
,
1
2
t
tdt
dx
t
t
x





. 
Сондықтан  



 




















C
x
x
C
t
dt
t
t
t
t
tdt
t
x
x
dx
х
х
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
                                                                  2-
мысал. 



















2
3
2
3
3
3
1
3
,
1
1
,
1
1
2
t
dt
t
dx
t
x
x
x
t
x
x
x
dx
 








t
t
dt
t
2
1
3
3
2
. 
Сонда интеграл астындағы бӛлшектің жіктелуі мынадай: 




1
2
1
2
1
2
3
2










t
t
D
Ct
t
B
t
A
t
t
t
. 
Бұдан 




 



 

t
t
D
Ct
t
t
t
B
t
t
t
A
t












2
1
1
1
1
2
2
2
2
.  
Енді  белгісіз  коэффициенттерді  анықтау  үшін  t -ға  дербес  мәндер  береміз.  Яғни 
1

t
  және 
2


t
 десек, сәйкесінше 
B
A
9
4
,
9
1


 бұдан 
9
4
,
9
1


B
A
 болады. 
Ал қалған коэффициенттерді табу үшін теңбе-теңдіктің екі жағындағы 
3
t -тің коэффициенттерін 
және бос мүшелерді салыстырып 
C
 мен  D -ны табамыз: 
3
1
,
3
1
2
0
3














D
C
D
B
A
O
C
B
A
O
t
t
. 
Сонда  





















1
t
t
2
t
t
1
dt
t
3
x
1
x
2
x
dx
2
2
3
 












dt
1
t
t
1
t
2
t
dt
4
3
t
1
dt
3
1
2
 















1
2
1
1
1
2
2
1
2
ln
3
4
1
ln
3
1
2
2
t
t
dt
dt
t
t
t
t
t
 
C
t
arctg
t
t
t
t










3
1
2
3
1
1
ln
2
1
2
ln
3
4
1
ln
3
1
2
. 
Алғашқы айнымалы х-ке қайта кӛшсек, мынау шығады: 

















3
3
3
x
1
x
2
ln
3
4
x
1
x
1
ln
3
1
x
1
x
2
x
dx
 
C
x
27
x
1
x
2
arctg
3
1
1
x
1
x
x
1
x
ln
2
1
6
2
3
3
3
3
2












 

 
8.8. Тригонометриялық функцияларды интегралдау 

96 
 
Қарапайым  түрлендіруден  кейін  жеңіл  кӛзге  түсетін  ауыстырулардың  нәтижесінде 
интегралданатын кейбір тригонометриялық ӛрнектердің интегралдарын қарастырайық. 



вхdx
ax
вхdx
ax
вхdx
ax
sin
sin
,
cos
cos
,
cos
sin
(8.8.1) 
Бұл интегралдар тригонометриядағы 
















sin
sin
2
1
cos
sin
, 
















cos
cos
2
1
cos
cos
, 
















cos
cos
2
1
sin
sin
 
формулалардың кӛмегімен жеңіл интегралданады. 
Мысалы, 







dx
x
x
xdx
x
2
sin
6
sin
2
1
4
sin
2
cos
 








C
x
x
xdx
xdx
4
cos
4
1
6
cos
12
1
2
sin
2
1
6
sin
2
1
. 

xdx
x
n
m
cos
sin
 /
m
 мен 
n
 бүтін сандар/ 
        (8.8.2) 
1) егер 
m
 мен 
n
- нің ең болмағанда біреуі оң тақ сан болса, мысалы 
1
2


k
n
. Онда 
t
x

sin
 
десек, 
dt
xdx

cos
.  
Жалпы жағдайда 



dx
x
x
R
cos
,
sin
 түріндегі интегралдар  
(
R
-рационал  амалдардың  символы)  айнымалы 








x
x
tg
t
,
2
  формуласы  бойынша 
ауыстыру  арқылы  рационалданады.  Демек,  бұл  жағдайда 
2
1
2
,
2
t
dt
dx
arctgt
x



 
және 
2
2
2
1
1
cos
,
1
2
sin
t
t
x
t
t
x





. Сондықтан 
















2
2
2
2
1
2
1
1
,
1
2
cos
,
sin
t
dt
t
t
t
t
R
dx
x
x
R
            (8.8.3) 
Мысалы, 








2
1
2
,
2
cos
3
sin
4
5
t
dt
dx
x
tg
t
x
x
dx
 
 
























C
x
tg
C
t
t
dt
t
t
t
t
dt
t
t
t
t
t
dt
2
2
1
2
1
2
1
8
8
2
1
2
1
1
3
1
2
4
5
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
. 
Осы  жолмен  (универсалдық 
2
x
tg
t

  ауыстырма)  есептегенде  кейде  интеграл  астындағы 
функция ӛте күрделі рационал функцияға ауысады, сол себепті оны басқа жол жоқ болған жағдайда 
пайдалану  керек.  Практикада,  интегралды  есептегенде,  мүмкіндігі  бар  жерде  басқа  әдістер  мен 
ауыстыруларды пайдаланған дұрыс. 
Мысалы, 
егер 
интеграл 
астындағы 
функция 




x
x
R
x
x
R
cos
,
sin
cos
,
sin



 
немесе 




x
x
R
x
x
R
cos
,
sin
cos
,
sin



,  немесе 




x
x
R
x
x
R
cos
,
sin
cos
,
sin




  теңдіктерін  қанағаттандырса, 
онда  айнымалы  х-ті  сәйкесінше 
x
t
cos

  немесе 
x
t
sin

,  немесе 
tgx
t

  формуласы  арқылы 
t -ға 
ауыстыру  арқылы интегралдауға болады. 
 
8.9. Алынбайтын интегралдар 

97 
 
B 
C 
y 
A 
 
 
D 
     0          a    
1
x
2
x
i
x
i
x
1
i
x

1
n
x

bx 
29-сызба 
Біз осыған дейін кез келген рационал функцияның интегралы бар және ол интеграл элементар 
функциялар арқылы ӛрнектелетінін кӛрдік. Бірақ рационал функциялардан басқа элементар 
функциялардың ішінде интегралдары элементар функциялар арқылы ӛрнектелмейтіндері де толып 
жатыр. Мысалы, мына интегралдар: 







,
dx
,
1
x
dx
,
dx
x
x
sin
,
dx
x
x
cos
,
nx
dx
2
x
3


 



dx
x
sin
,
dx
x
sin
,
dx
x
cos
2
2
және  тағы  басқалар  элементар  функциялар  арқылы  ӛрнектелмейді. 
Бұларды  “алынбайтын”,  интегралдар  деп  атайды.  Бірақ,  олар  ешқандай  функциялар  арқылы 
ӛрнектелуі  мүмкін  емес  деп  түсінбеу  керек,  ӛйткені  олар  үзіліссіз  функциялардан  алынатын 
интегралдар. Ендеше, олар басқа текті функциялар, элементар емес функциялар арқылы ӛрнектеледі. 
 
 
№10 дәріс тақырыбы:Анықталған интеграл   
 ([1], 2 бӛлім, [3], [6]) 
Анықталған интеграл  
 Анықталған интеграл. Анықталған интегралдың анықтамасы 
Бізге 
 
в
а,   сегментінде  анықталған  оң  таңбалы 
 
0
x
f
у


  функциясы  берілсін.  Бұл 
функцияның  графигі  29-сызбада  бейнеленген.  Сонда 
 
x
f
у

  қисық  сызығымен,  ОХ-осімен  және 
в
х
а
х


,
 түзулерімен қоршалған фигураны қисық сызықты трапеция деп атайды. Енді осы қисық 
сызықты трапецияның ауданын табайық. Осы мақсатпен 
 
в
а,  сегментін мына нүктелермен  
в
x
x
x
x
х
а
n
n








1
2
1
0
...
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
-бӛлікке  бӛлейік  те,  осы  нүктелерден 
AB
  қисығына  қарай  перпендикулярлар  тұрғызайық. 
Сонда 
ABCD
  фигурасы 
n
-вертикаль  жолақтан  тұратын  болады.  Әрбір  жолақты  шамамен  табаны 
i
i
i
x
x
х




1
,  биіктігі 
  

1
,



i
i
i
i
x
x
x
x
f
-ке  тең  тікбұрышты  тӛртбұрыш  деп  қарауға  болады. 
Осындай  тӛртбұрыштың  ауданы 
 
1
,
0




n
i
x
x
f
i
i
  болғандықтан,  барлық  сатылы  фигураның 

98 
 
ауданы 
 
 
 
1
1
1
1
0
0
...









n
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
S
-ге тең, немесе      
 





1
0
n
i
i
i
n
x
x
f
S
 
 
         (9.1.1) 
болады.  Бұл  қосындыны 
 
b
a,
  аралығында 
)
(x
f
  функциясы  үшін  жазылған  интегралдық  қосынды 
деп атайды. 
Егер 
 
b
a,
  аралығын  басқаша  бӛліктерге  бӛлсек  және   
i
x   нүктелерін  басқаша  таңдасақ,  онда 
осындай қосындының  шексіз түрін жазуға болатыны ӛзінен-ӛзі түсінікті. 
Егер 
0
x
max
i
i


 да осы қосындылардың кез келгені үшін тиянақты шегі бар болса, және бәрі 
бірдей болса, онда сол шек жоғарыдағы қисық сызықты трапецияның ауданына тең болады, яғни 
 










1
0
0
max
0
max
lim
lim
n
i
i
i
n
x
x
f
S
S
i
x
i
i
x
i
 
              (9.1.2) 
Осы сияқты, енді физикадан айнымалы күштің атқаратын жұмысын табу есебін қарастырайық. 
Материалдық  нүкте 
OX
-осі  бойынша  бағытталған   
)
x
(
F
F

  күшінің  әсерінен 
a
-дан 
b
-ға  дейін 
қозғалатын  болсын.  Сонда,  жұмсалған   
A
 
жұмысын  табу  үшін 
 
b
a,
 
кесіндісін  
b
x
x
x
a
n





...
1
0
  бӛліктерге  бӛлеміз.  Енді 


1
i
i
x
,
x

  аралығынан  кез  келген  бір 
i

  нүктесін 
алып




1
0
)
(
N
i
i
i
x
F

 қосындысын құрамыз. Егер 
0
max


i
i
x
 ұмтылғанда 







1
0
0
max
)
(
lim
n
i
i
i
x
x
f
A
i
i

                        (9.1.3) 
шегі бар болса, онда 
A
 санын айнымалы күштің жұмысы деп атайды. 
Жоғарыдағыдай есептерді геометрия, механика, физика т.т. салалардан кӛптеп келтіруге болады. 
Бұл  есептердің  шешуі  интегралдық  қосындылардың  шегін  табуға  келіп  тіреледі.  Сондықтан, 
барлығын қамтитын бір ұғымның анықтамасын берудің реті келіп тұр. 
Анықтама.
 
b
a,
 аралығында 
)
(x
f
y

 функциясы берілсін. 
а) 
 
b
a,
  кесіндісін  кез  келген 
b
x
x
x
a
n





...
1
0
    нүктелерімен 


1
,

i
i
x
x


1
,...,
1
,
0


n
i
 
бӛліктерге бӛлеміз  (оны 
к -бӛліктеуі деп атайық). 
б)  Әрбір 


1
,

i
i
x
x
    бӛліктен  кез  келген 


1
,


i
i
i
x
x

  нүктелерін  алып 
)
(х
f
  функциясының 
к -
бӛліктеуіне сәйкес интегралдық қосынды деп аталатын 









1
0
1
,
)
(
)
(
N
i
i
i
i
i
i
к
x
x
x
x
f
f


 
қосындыны құрамыз. 
в) 
0
max
1
0





i
n
i
x
 ұмтылдырып интегралдық қосындының шегін табамыз. 
Егер  оның  тиянақты  шегі  бар  болса,  онда  оны 
)
(х
f
    функциясының 
 
b
a,
  кесіндісіндегі 
анықталған интегралы деп аталады және келесі түрде белгіленеді: 
 
),
(
lim
)
(
1
0
0
max
1
0
b
a
x
f
dx
x
f
n
i
i
i
b
a
i
x
n
i













         (9.1.4) 
a
 және 
b
 сандары анықталған интегралдың сәйкес тӛменгі және жоғарғы шегі деп аталады. 
Анықтамада  айтылған 
 
b
a,
  кесіндісін  бӛліктеу  тәсілі  де, 
i

  нүктесін  таңдау  тәсілі  шексіз  кӛп 
деп  жоғарыда  айтқанбыз.  Анықтамада  айтылған  қосындының  шегі  осы  тәсілдерден  тәуелсіз  болу 
керек. 
Егер 
)
(x
f
 функциясы 
 
b
a,
 кесіндісінде үзіліссіз болса, онда оның интегралдық қосындысының 
әрқашанда тиянақты шегі бар болады және ол шек жоғарыдағы тәсілдерден тәуелсіз болады. 
Анықталған интегралдың анықтамасын үзіліссіз функциялар үшін француз математигі Коши, ал 
жалпы жағдай үшін неміс математигі Б.Ф.Риман (1826-1866) енгізген. 

99 
 
Сондықтан,  (9.1.4)-тегі  интегралды  Риман  интегралы,  ал  сондағы 
)
(x
f
  функциясын  Риман 
мағынасында интегралданатын функция деп атайды. 
Осыдан,  үзіліссіз  функция  әрқашанда интегралданатын  функция болады.  (9.1.2),  (9.1.3),  (9.1.4) 
теңдіктерінен келесі қорытынды жасауға болады: 
1)
 
0
)
(


x
f
y
  қисығы, 
OX
-осі  және 
a
x

  мен 
b
x

  түзулерімен  шектелген  жазық 
фигура ауданы 
S
)
(x
f
 функциясының 
 
b
a,
 кесіндісіндегі анықталған интегралына тең 


b
a
dx
x
f
S
)
(
. 
2)
 
Материалдық  нүктені 
OX
-осі  бойынша 
)
(x
F
F

  күшімен   
a
-дан 
b
-ға  дейін 
қозғағанда жұмсалатын жұмыс мына формуламен табылады: 


b
a
dx
x
F
A
)
(
. 
Кейбір  жағдайларда,  осы  ұғымдар  анықталған  интегралдың  геометриялық  және  физикалық 
мағынасы деп беріледі. 
Енді жоғарыда берілген анықталған интегралдың анықтамасынан шығатын мынадай қасиеттерді 
келтірейік: 
1)  Анықталған  интеграл  ӛзінің  интегралдау  айнымалысына  тәуелді  емес,  ол  тек  интегралдың 
шектері мен 
 
x
f
 функциясынан тәуелді, яғни 
 
 
 






в
а
в
а
в
а
dz
z
f
dt
t
f
dx
x
f
...
; 
2) Егер интегралдың шектерінің орындарын ауыстырса, онда интеграл таңбасын ӛзгертеді 
 
 




в
а
a
в
dx
x
f
dx
x
f
; 
3) Егер 
в
а

  болса, онда 
 
0


dx
x
f
a
a
. 
 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: