Кейбір алгебралық функцияларды интегралдау

91 
 
Бұл  интегралдың  (8.5.3)  –тен  айырмашылығы  интеграл  астындағы  бӛлшектің  алымында 
сызықты  екімүше  бар.  Бӛлшектің  бӛлімінің  туындысы 


в
ах

2
  болғандықтан,  ол  интегралды 
есептеу үшін бӛлшектің алымын 


в
ах

2
 бӛлініп шығатындай етіп түрлендіреміз. 
Демек, 









 








а
Mв
N
в
ax
a
M
N
а
Мв
в
ax
a
M
N
Mx
2
2
2
2
2
2
. 
Сонда 













 








с
вх
ax
dx
а
Mв
N
dx
с
вх
ах
в
ах
а
М
с
вх
ax
Ndx
Mx
2
2
2
2
2
2








 




с
вх
ax
dx
а
Mв
N
с
вх
ax
а
М
2
2
2
ln
2
. 
Мұның нәтижесінде (8.5.3) интегралына келдік. 
Сонымен  (8.5.3)  және  (8.5.4)  интеграл 


с
вх
ах


2
  квадрат  үшмүшеден  толық  квадрат  бӛліп 
шығару нәтижесінде мына таблицалық екі интегралдың біреуіне келеді: 


2
2
a
u
du
 немесе 


2
2
a
u
du
. 
4)    


dx
с
вх
ax
N
Mx





2
 
 
                                       (8.5.5) 


















dx
с
вх
ax
N
в
ax
2
с
вх
ax
dx
)
N
Mx
(
n
2
а
2
Mв
a
2
M
n
2


















 





 






n
2
2
n
n
2
а
4
в
ас
4
a
2
в
x
dx
а
1
a
2
Mв
N
)
с
вх
ax
(
dx
в
ax
2
a
2
M






dt
dx
сонда
т
а
в
ас
t
a
в
x
,
4
4
,
2
2
 

 

 













n
2
1
n
2
n
2
m
t
dt
а
2
Nв
Na
2
с
вх
ax
d
с
вх
ax
a
2
M
 















n
2
1
n
n
1
2
m
t
dt
а
2
Mв
Na
2
с
вх
ax
a
n
1
2
M
. 
Соңғы интеграл ракурренттік формула бойынша алынады. Дәл осылай мына түрдегі 
5)     



dx
с
вх
ах
А
2
  
                                       (8.5.6)         және      
dx
с
вх
ax
N
Mx




2
 
 
                                       (8.5.7) 
интегралдар да квадрат үшмүшеден екімүшенің толық квадратын бӛліп шығару нәтижесінде ((8.5.3) 
және (8.5.4)) таблицалық мына интегралдардың біреуіне келеді: 






C
m
u
u
m
u
du
2
2
ln
,  немесе 




C
m
u
u
m
du
arcsin
2
. 
6)  






с
вх
ax
p
x
du
n
2
 
 
                         (8.5.8) 
түріндегі  интеграл  айнымалы 
x
-тен 
t
р
х
1


  формула  бойынша  жаңа  айнымалы 
t -ға  кӛшкенде 
(8.5.7) –ші интегралға келтіріледі. 
Енді осы талданған интегралдарға мысалдар келтірейік. 

92 
 
мысал. 























3
7
4
2
3
5
6
,
4
2
9
4
9
4
5
6
2
2
х
х
ендеше
x
x
x
dx
x
x
x
 


















9
x
4
x
dx
7
9
x
4
x
dx
4
x
2
3
dx
9
х
4
х
4
х
2
3
2
2
2
3
7
 


С
5
2
х
arctg
5
7
9
x
4
x
ln
3
5
2
x
dx
7
9
x
4
x
ln
3
2
2
2













 
5-мысал. 

























dx
2
х
6
х
20
6
х
2
2
20
)
6
x
2
(
2
8
х
4
,
6
х
2
)
2
х
6
x
(
2
x
6
х
dx
8
х
4
2
2
2


























11
3
3
20
2
6
4
11
3
20
2
6
6
2
2
2
2
2
2
x
x
d
x
x
x
dx
x
x
dx
x
C
x
x
x
x
x









2
6
3
ln
20
2
6
4
2
2
. 
 
 Рационал функцияларды интегралдау 
Интегралдарды  табуда  (есептеуде)  негізінен  осыған  дейінгі  баяндалған  әдістер  қолданылады. 
Кейбір  функциялар  оңай  интегралданса,  ал  кейбіреулері  алдынала  түрлендірулерді  қажет  ететінін 
кӛрдік.  Сондықтан,  енді  біз  функциялардың  кейбір  кластарына  толығырақ  тоқталып,  олардан 
анықталмаған интеграл алу үшін қолданылатын есептеу амалдарына кӛңіл бӛлеміз. 
Егер бүтін рационал функция (кӛпмүше) 
 
n
n
n
n
n
a
x
a
x
a
x
a
x
P







1
1
1
0
...
 берілсе, оны бірден 
интегралдауға болады. Демек, 
 













dx
a
xdx
a
x
a
dx
x
a
dx
x
P
n
n
n
n
n
1
1
1
0
...
 
C
x
a
x
2
a
...
x
n
a
x
1
n
a
n
2
1
n
n
1
1
n
0









    болады. 
Ал егер алымы да, бӛлімі де кӛпмүшелер болатын бӛлшек рационал функция 
 
 


0
в
,
0
а
,
в
х
в
...
х
в
х
в
a
x
a
...
x
a
x
a
x
Q
x
P
0
0
т
1
т
1
т
1
т
0
n
1
n
1
n
1
n
0
m
n















 
берілсе оны бірден интегралдау барлық жағдайда мүмкін бола бермейді. Егер 
m
n

 болса, онда ол 
бұрыс бӛлшек, ал 
m
n

 болса, онда дұрыс рационал бӛлшек деп аталады. 
Әрбір бұрыс рационал бӛлшектің алымын бӛліміне бӛліп бүтін бӛлігін бӛліп шығарсақ, дұрыс 
бӛлшек қалады. Мысалы, 
1
х
х
1
х
2
х
3
х
1
х
х
1
х
2
х
4
х
2
2
2
2
3
4












. 
Бізге  кез  келген  дәрежесі  2-ден  үлкен  кӛпмүшенің  сызықтық  екімүшелік  пен  квадрат 
үшмүшеліктердің кӛбейтіндісіне жіктелетіні алгебрадан белгілі. 
Демек,
  
 
 


 

...
q
x
p
x
q
x
p
x
c
x
...
c
x
c
x
x
Q
2
r
2
2
2
1
r
1
1
2
s
k
s
2
k
2
1
k
1
m












m
r
...
r
r
2
k
...
k
k
,
q
x
p
x
...
e
2
1
s
2
1
r
e
e
2
e










. 
Онда  дұрыс  рационал  бӛлшектер  былайша  элементар  (жай)  бӛлшектердің  қосындысына 
жіктелетіні де бізге алгебрадан белгілі: 
 
 














2
1
k
1
k
2
1
2
1
1
m
n
c
x
B
c
x
A
...
c
x
A
c
x
A
x
Q
x
P
1
1
 

93 
 





 
















s
s
2
2
k
3
k
2
3
2
3
1
k
2
k
2
2
2
c
x
D
...
c
x
D
c
x
D
...
c
x
B
...
c
x
B


















...
q
x
p
x
Nr
x
Mr
...
q
x
p
x
N
x
M
q
x
p
x
N
x
M
1
r
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1




e
2
r
e
e
2
e
e
r
e
e
2
2
2
e
e
2
1
1
q
x
p
x
Fr
x
Er
...
q
x
p
x
F
x
E
q
x
p
x
F
x
E












 
Мұндағы 
,
M
,...,
M
,
M
,
D
,...,
D
,
D
,
B
,...,
B
,
B
,
A
,...,
A
,
A
1
s
2
1
r
2
1
k
2
1
k
2
1
k
2
1
 
e
r
r
F
N
N
N
,..,
,...,
,
1
2
1
- нақты сандар, ал квадрат үшмүшелердің дискриминанттары нӛлден кіші. 
Бұл теоремадан: 
1) әрбір қайталанбайтын 


с
х

 кӛбейткішке жіктелуде бір ғана 
с
х
А

 бӛлшегі; 
2)  әрбір 


к
с
х

  кӛбейткішке  жіктелуде  мынадай 


с
х
А
1






к
к
3
3
2
2
с
х
А
...
с
х
А
с
х
А






, 
к - 
жай бӛлшектердің қосындысы; 
3) әрбір 


q
px
х


2
 кӛбейткішке 
q
px
x
N
Mx



2
 бӛлшегі; 
4)  әрбір 


r
q
px
х


2
  кӛбейткішке  мынадай 




r
r
r
q
px
x
N
x
M
q
px
x
N
x
M
q
px
x
N
x
M












2
2
2
2
2
2
1
1
...
, 
r -
жай бӛлшектердің қосындысы сәйкес келетінін байқаймыз. 
Сонымен,  дұрыс  рационал  бӛлшек  мына  тӛрт  қарапайым  (элементар)  бӛлшектердің 
қосындысына жіктеледі: 




2
,
,
0
4
,
,
,
,
2
2
2











s
k
p
q
q
px
x
F
Ex
q
px
x
D
Сх
а
х
В
а
х
А
s
к
 
Ал  біз  осыған  дейін  (6.5-ті  қара)  бұл  қарапайым  бӛлшектерді  интегралдау  нәтижесі  рационал 
функция,  логарифм  және  арктангенстер  арқылы  ғана  ӛрнектелетінін  кӛрдік.  Олай  болса,  біз  кез 
келген  рационал  функцияның  интегралы  бар  және  ол  интеграл  элементар  функциялар  арқылы 
ӛрнектеледі деген қорытындыға келеміз. 
Енді осы рационал бӛлшектерді интегралдауға мысалдар. 
1-мысал. 





dx
x
x
x
x
x
2
3
2
2
3
2
. 
Рационал  бӛлшектің  бӛлімінің  үш  нақты  түбірі  бар,  ендеше 



2
1
2
2
3





x
x
x
x
x
x
  деп 
жазуға болады. Сонда, берілген бӛлшектің жәй бӛлшектерге жіктелуі мына түрде болады: 



2
1
2
1
3
2
2









х
С
х
В
х
А
х
х
х
х
х
. 
Мұндағы коэффициенттер А,В,С әзірше белгісіз және оларды анықтау қажет. Ол үшін теңдіктің 
екі жағын да ортақ бӛлімге келтіріп алымдарын теңестіреміз. Сонда 







1
2
2
1
3
2
2









х
Сх
х
Вх
х
х
А
х
х
,  
немесе 




А
х
С
В
А
х
С
В
А
х
х
2
2
3
2
2
2









 
теңбе-теңдігі шығады. 
Бұл  теңбе-теңдіктің  сол  жағы  мен  оң  жағындағы  х-тің  бірдей  дәрежесінің  алдындағы 
коэффициенттерді теңестірсек, мынадай теңдеулер жүйесі шығады: 

94 
 














.
2
3
,
2
1
,
2
0
1
2
А
С
В
А
С
В
А
х
х
х
 
Енді  осы  теңдеулер  жүйесін  шешсек 
6
13
,
3
4
,
2
3




С
В
А
  болып  шығады.  Осы  мәндерді 
орнына қойсақ 




 

2
6
13
1
3
4
2
3
2
1
3
2
2










х
х
х
х
х
х
х
х
 теңдігі шығады. 
Сонда 
 

  




















dx
2
x
6
13
1
x
3
4
x
2
3
dx
2
х
1
х
х
3
х
х
2
2
 









2
x
dx
6
13
1
x
dx
3
4
x
dx
2
3
C
2
x
ln
6
13
1
x
ln
3
4
x
ln
2
3






  болып шығады. 
 

жүктеу/скачать 3,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: