Н. А. Назарбаева народу Казахстана
жүктеу/скачать 35,33 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1. Состав теории параметрического регулирования макроэкономических систем
- 2.2.2. Методы оценки показателей устойчивости отображений, определяемых моделью
- 3.1. Условия существования решений задач параметрического регулирования
- 3.2. Исследование зависимости решений задач параметрического регулирования от неуправляемых функций
Ключевые слова: математическая модель, структурная устойчивость, устойчивость гладких отображений, параметрическая идентификация, параметрическое регулирование. 1. Состав теории параметрического регулирования макроэкономических систем
На основе нижеперечисленных фактов: - решение непрерывной или дискретной динамической системы [которая может содержать как векторы управляемых параметров - инструментов государственной политики, так и векторы неуправляемых параметров] зависит от векторов начальных условий и параметров (коэффициентов) этой системы; - решение статической системы (например, статической модели малой открытой экономики) зависит от параметров (коэффициентов) этой системы; - для того чтобы по результатам исследований динамической системы судить об описываемом ею объекте, необходимо наличие свойства структурной устойчивости (или грубости) этой системы [1]; - для того чтобы по результатам исследований (статической или динамической) модели судить об описываемом ею объекте, необходимо наличие свойства устойчивости отображений, задаваемого этой моделью [2]; - а также необходимость выполнения условий устойчивости макроэкономической модели (представленной одной из вышеперечисленных динамических или статических систем) при малых
32 возмущениях исходных статистических данных для параметрической идентификации модели (входных параметров) [3] предложен следующий состав (компоненты) теории параметрического регулирования [4, 5]. 1.
Методы формирования набора (библиотеки) моделей макроэкономических системориентированных на описание различных конкретных социально-экономических ситуаций. 2. Методы оценки условий грубости (структурной устойчивости) динамических математических моделей, методы оценки показателей устойчивости и методы оценки устойчивости отображений, задаваемых моделями экономической системы страны из библиотеки (без параметрического регулирования). 3. Методы корректировки структурно неустойчивой динамической математической модели с целью достижения ею свойства структурной устойчивости (методы подавления негрубости). 4. Методы выбора и синтеза законов параметрического регулирования макроэкономической системы на базе ее динамических математических моделей. Методы постановки и решения задач параметрического регулирования в виде соответствующих задач математического программирования на базе статических математических моделей макроэкономической системы. 5. Методы оценки условий грубости (структурной устойчивости) динамических математических моделей.Методы оценки показателей устойчивости и методы оценки устойчивости отображений, задаваемых моделями макроэкономической системы (с параметрическим регулированием). 6. Методы уточнения ограничений на параметрическое регулирование макроэкономической системы в случае структурной неустойчивости ее математической модели с параметрическим регулированием. Уточнение ограничений на параметрическое регулирование макроэкономической системы. 7. Методы исследования влияний неуправляемых функций (неуправляемых факторов) на результаты решения задач вариационного исчисления по синтезу и выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) законов параметрического регулирования. Исследование точек бифуркаций экстремалей задач вариационного исчисления по выбору оптимальных законов параметрического регулирования. Методы исследования влияний изменения неуправляемых факторов на результаты решения задач математического программирования на базе статических математических моделей. 8. Подход выбора рекомендаций по оценке политических правил в рамках применения законовпараметрического регулирования макроэкономической системы на основе анализа зависимостей оптимальных значений критериев соответствующих задач параметрического регулирования от значений неуправляемых факторов. Авторамиразработаны следующие алгоритмические и математические основы компонент теории параметрического регулирования макроэкономических систем. 2 Алгоритмические основы теории параметрического регулирования 2.1. Алгоритм параметрической идентификации большеразмерных макроэкономических моделей
В рамках первой
компоненты «Методы
формирования набора
(библиотеки) макроэкономических моделей национальной экономики» предлагается алгоритм параметрической идентификации большеразмерных дискретных динамических макроэкономических моделей. Этот алгоритм основан на совместном применении двух критериев параметрической идентификации (основного и дополнительного) характеризующих отклонения значений выходных переменных модели от соответствующих наблюдаемых значений (известных статистических данных). В этом случае задача параметрической идентификации дискретной динамической макроэкономической модели состоит в нахождении оценок неизвестных значений ее параметров (к которым относятся неизвестные значения экзогенных функций модели и неизвестные начальные значения ее динамических уравнений), при которых достигается минимальное значение основного критерия. Применение этого алгоритма дает возможность выходить искомым значениям параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с помощью другого критерия и, тем самым, решить задачу параметрической идентификации. Реализация данного алгоритма была, в частности, использована для параметрической идентификации на основе статистических данных эволюции экономики республики Казахстан таких большеразмерных вычислимых моделей общего равновесия (CGE моделей), как CGE модель с сектором знаний, CGE модель отраслей экономики, CGE модель «Центр - регионы», CGE модель с теневым сектором. Как показал опыт применения указанного алгоритма параметрической идентификации, с его помощью можно одновременно оценить до 39112 экзогенных параметров модели (CGE модель «Центр - регионы») [4, 5, 6].
В рамках предлагаемой теории, (в отличие от известной макроэкономической теории [7, 8] впервые для макроэкономического анализа и выработки рекомендаций по экономической политике обоснованно рекомендуется использовать только такие модели макроэкономической системы (национальной экономики), которые обладают свойством структурной устойчивости (и/или допустимыми значениями показателей устойчивости и/или свойством устойчивости отображений, задаваемых с помощью моделей).
Методы исследования грубости (структурной устойчивости) математической модели экономической системы страны базируется на: - фундаментальных результатах теории динамических систем на плоскости; - методах проверки условий принадлежности математических моделей к определенным классам структурно устойчивых систем (Морса-Смейла, Ω-грубым системам, У-системам, системам со слабой структурной устойчивостью). В настоящее время теория параметрического регулирования развития рыночной экономики располагает рядом теорем о структурной устойчивости конкретных математических моделей (модель неоклассической теории оптимального роста, модели экономической системы страны с учетом влияния доли государственных расходов и ставки процента по государственным займам на экономический рост; модели экономической системы страны с учетом влияния международной торговли и валютных обменов на экономический рост и др.), сформулированных и доказанных на базе указанных выше фундаментальных результатов. Наряду с аналитическими возможностями исследования структурной устойчивости конкретных математических моделей (без параметрического регулирования и с параметрическим регулированием) на базе указанных результатов теории динамических систем рассматриваются подходы исследования структурной устойчивости математических моделей национального хозяйства с помощью вычислительных экспериментов на базе разработанных численных алгоритмов оценки рассматриваемого свойства исследуемых математических моделей. Кратко опишем ряд таких алгоритмов. Алгоритм оценки слабой структурной устойчивости математической модели, представленной в виде дискретной динамической системы базируется на теоремеАРобинсона [9], в которой устанавливаются достаточные условия слабой структурной устойчивости потока (или каскада) на некотором компактном подмножестве M гладкого многообразия (например, на его подмногообразии с краем). В частности, если цепочно-рекуррентное множество этого потока (или каскада), лежащее внутри M, окажется пустым, то из указанной теоремы Робинсона следует, что рассматриваемый поток (или каскад), а, следовательно, и соответствующая динамическая система является слабо структурно устойчивой. Наличие такого свойства слабой структурной устойчивости потока (или каскада) означает сохранение качественных свойств фазового портрета динамической системы в M при малом (в некотором смысле изменении правой части этой системы). Для оценки (локализации) цепочно-рекуррентного множества исследуемой динамической системы применялся так называемый алгоритм построения символического образа, позволяющий оценить набор ячеек из разбиения множества N, внутри которого может находиться искомое цепочно-рекуррентное множество. Реализация указанных алгоритмов на базе модели цикла Кондратьева и CGE модели отраслей экономики позволила оценить слабую структурную устойчивость этих моделей в соответственно выбранных областях их фазовых пространств.
Для математической модели, представленной в общем виде с помощью отображения
,
(1) переводящего значения исходных (экзогенных) данных в решения (значения эндогенных переменных), согласно [3] определены следующие понятия: показатель устойчивости этого
33 отображения в точке, абсолютный показатель устойчивости модели в точке и максимальный абсолютный показатель устойчивости модели в области. Эти показатели соответственно характеризуют: степень растяжения (или сжатия) некоторой окрестности исследуемой точки под действием отображения, непрерывность отображения в этой точке и непрерывность отображения во всех точках некоторого множества. Разработаны и реализованы (с использованием метода Монте- Карло) алгоритмы оценок этих показателей устойчивости математической модели. Разработанные алгоритмы применялись, в частности для оценок показателей устойчивости эконометрической модели малой открытой экономики и вычислимой модели общего равновесия отраслей экономики. 2.2.3. Методы оценки устойчивости определяемых моделью дифференцируемых отображений
В этом разделе рассматриваютсячисленные методы (алгоритмы), позволяющие оценить устойчивость рассмотренных выше гладких отображений(1)определяемых с помощью статической или дискретнойдинамической модели. Наличие такого свойства устойчивости свидетельствует о сохранении качественноговида отображений, задаваемых моделью, при малых изменениях модели (и соответствующих отображений). При адекватном описании реальных экономических явлений с помощью математической модели, устойчивость (или неустойчивость) отображения, представленного с помощью модели, может свидетельствовать об устойчивости (или неустойчивости) соответствующих зависимостей возможных значений экономических показателей от внешних (управляемых или неуправляемых) факторов при малых изменениях этих зависимостей. Неустойчивость отображений, задаваемых моделью, может также свидетельствовать о неадекватности исследуемой модели. Предлагаемые численные методы исследования устойчивости указанных отображений (без параметрического регулирования и с параметрическим регулированием) базируются на теоретических результатах об условиях устойчивости гладких отображений [2] для случаев иммерсии, субмерсии и субмерсии со складкой. Приведем соответствующие необходимые теоретические положения. Для оценки устойчивости гладких отображений вида (1) на основе численной оценки выполнения условий соответствующих теорем из [2] авторами разработан и реализован набор численных алгоритмов. Это алгоритмы для: - оценки множества особых точек отображения f (алгоритм 1); - оценки нелокальной инъективности отображения f (алгоритм 2); - оценки трансверсальности 1-струи исследуемого отображения и подмножество состоящего из всех струй коранга 1 в соответствующем пространстве 1-струй; оценки размерности суммы касательного пространства к многообразию особых точек отображения (1) и ядра дифференциала этого отображения в каждой особой точке; оценки инъективности ограничения отображения (1) на множество его особых точек (алгоритмы 3 и 4). Реализация алгоритмов из указанного набора позволяет оценить устойчивость отображения (1) для случаев, когда это отображение относится к классу иммерсий, субмерсий или субмерсий со складкой следующим образом. 1. Если в случае в результате применения алгоритма 1множество особых точек отображения (1) оценивается как пустое и в результате применения алгоритма 2 это отображениеоценивается как взаимно однозначное со своим образом, то (1) оценивается как устойчивая иммерсия. B A dim dim
2. Если в случае в результате применения алгоритма 1множество особых точек отображения (1) оценивается как пустое, то (1) оценивается как устойчиваясубмерсия. B A dim dim
3. Пусть в случае в результате применения алгоритма 1множество особых точек отображения (1) оценивается как непустое. Пусть в результате применения алгоритмов 3 и 4 проверены следующие условия:
dim
- 1-струя исследуемого отображения и подмножество состоящего из всех струй коранга 1 трансверсальны в соответствующем пространстве 1-струй; - сумма касательного пространства к многообразию особых точек отображения (1) и ядра дифференциала этого отображения в каждой особой точке имеет размерность ;
dim - ограничение отображения (1) на множество его особых точек инъективно. Тогда (1) оценивается как устойчиваясубмерсия со складкой.
34
35 3. Математические основы теории параметрического регулирования
В рамках разработки 4 и 7 компонент теории параметрического регулирования сформулированы и доказаны соответствующие теоремы: -об условиях существования решений задач вариационного исчисления по синтезу и выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования; - об условиях непрерывной зависимости от неуправляемых параметров (функций) оптимальных значений критериев рассматриваемых задач параметрического регулирования; - об условиях существования соответственно определенных точек бифуркации экстремалей задач по выбору оптимальных законов параметрического регулирования.
Используя факт, что экономические инструменты можно интерпретировать в виде параметров математических моделей национальной экономики, относящихся классу (дискретных или непрерывных) динамических систем, предложен подход поиска их оптимальных значений с помощью решения задач по синтезу или выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования - специального вида задач вариационного исчисления, которые отличаются от известных. В рамках разработки математической основы компоненты теории параметрического регулирования «Методы выбора и синтеза законов параметрического регулирования развития национальной экономики на базе динамических математических моделей экономической системы страны» в работе впервые сформулированы нижеследующие постановки задач параметрического регулирования, сформулированы и доказаны соответствующие теоремы о достаточных условиях существования решений поставленных задач. Сформулирована постановка задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования на базе дискретной неавтономной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования на базе дискретной неавтономной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Доказательство этой и следующей теоремы опирается на свойства функций, непрерывных на компакте. Сформулирована постановка задачи вариационного исчисления по выбору в среде заданного конечного набора алгоритмов оптимального закона параметрического регулирования на базе дискретной неавтономной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях существования решения задачи вариационного исчисления по выбору в среде заданного конечного набора алгоритмов оптимального закона параметрического регулирования на базе дискретной неавтономной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Сформулирована постановка задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования на базе непрерывной неавтономной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования на базе непрерывной неавтономной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Сформулирована постановка задачи вариационного исчисления по выбору в среде заданного конечного набора алгоритмов оптимального закона параметрического регулирования на базе непрерывной неавтономной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях существования решения задачи вариационного исчисления по выбору в среде заданного конечного набора алгоритмов оптимального закона параметрического регулирования на базе непрерывной неавтономной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Доказательства двух последних теорем основаны на результатах применения выпуклого анализа к решению вариационных задач [10]. Сформулирована постановка задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования на базе стохастической дискретной динамической управляемой системы (с аддитивным шумом) на ограниченном промежутке времени. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования на базе
36 стохастической дискретной динамической управляемой системы (с аддитивным шумом) на ограниченном промежутке времени.
Используя факт зависимости решений неавтономной динамической системы от неуправляемых функций, в рамках разработки математической основы компоненты «Методы исследования влияний изменения неуправляемых параметров (неуправляемых факторов) на результаты решения задач вариационного исчисления синтезу и выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) законов
параметрического регулирования» теории параметрического регулирования макроэкономических систем, впервые сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях непрерывной зависимости оптимальных значений критериев соответствующих (сформулированных на базе модели) задач вариационного исчисления от неуправляемых функций (параметров). Эти теоремы являются математической основой обоснованности применения компоненты теории об исследования влияний изменения неуправляемых факторов на результаты решения задач вариационного исчисления синтезу и выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования. В работе сформулированы и доказаны следующие теоремы. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования на базе неавтономной дискретной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования на базе неавтономной дискретной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования на базе неавтономной непрерывной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования на базе неавтономной непрерывной динамической управляемой системы на ограниченном промежутке времени. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования на базе стохастической дискретной динамической управляемой системы (с аддитивным шумом) на ограниченном промежутке времени. Сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования на базе стохастической дискретной динамической управляемой системы (с аддитивным шумом) на ограниченном промежутке времени. В рамках разработки математической основы той же компоненты теории параметрического регулирования впервые дано определение точки бифуркации экстремалей задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования, как значения экзогенной функции в окрестности которой происходит переход от одного оптимального закона параметрического регулирования к другому закону. Впервые сформулированы и доказаны теоремы о достаточных условиях существования такой точки бифуркации. Оригинальным является алгоритм выработки рекомендаций по выбору оптимальных значений (законов изменения) экономических инструментов на основе анализа зависимости оптимальных значений критерия рассматриваемой задачи параметрического регулирования от значений внешних факторов.
|