Х. Досмұхамедов атындағы Атырау му хабаршысы №4 (35), 2014

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
92 
 
Summary 
The  article  deals  with  the  formation  of  the  competence  of  future  teachers  of 
information technology in the education system. It is shown that the preparation of the 
"new  teacher",  capable  of  implementing  the  requirements  of  the  new  standard  of 
education  of  the  Republic  of  Kazakhstan,  the  formation  of  the  research  competence  of 
future teachers in the education system involves the preparation of new content, form of 
organization of educational process in order to create the professional competence of the 
future  IT  teachers;  presupposes  the  existence  of  creative  abilities  of  future  teachers, 
involves  the  acquisition  of  the  necessary  skills,  processes,  analysis,  synthesis, 
comparison, generalization, methodological and theoretical basis of the professional and 
educational activities, the  ability to be creative in solving  educational problems, the full 
implementation of the IT functions through creative teacher self-improvement. 
 
Қабылданған күні: 29.09.2014 ж 
 
 
УДК 372.853   
 
 
 
 
 
 
О.М. Лунгол
 
Кировоградский государственный педагогический университет имени Владимира Винниченко, Украина 
E-mail: shustrik_olya@ukr.net 
 
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В 
ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ 
 
Аннотация 
В статье проанализированы актуальность внедрения элементов теории графов 
в  учебный  процесс  профессионально-технических  учебных  заведений.  Исследованы 
основы  теории  графов  и  выделены  те  понятия  и  свойства,  которые  могут  быть 
использованы  в  обучении  физике  и  профессиональных  спецдисциплин.  Предложено 
использование  элементов  теории  графов  как  методического  приема  наглядности, 
доступности  и  систематизации  учебного  материала  на  уроках  изучения 
электродинамики в сфере профессионально-технического обучения.  
В статье аргументировано, что внедрение элементов теории графов в учебный 
процесс  окажет  положительное  влияние  в  плане  успешного  усвоения  курса 
электродинамики 
и 
развития 
профессиональной 
компетентности 
будущих 
специалистов. 
Ключевые  слова: 
профессионально  -  техническое  образование,  теория  графов, 
электродинамика,  физика,  специалист,  наглядность,  связь,  структурно  -  логическая 
схема, методика обучения.
 
 
Модернизация 
профессионально-технического 
образования 
является 
важным фактором развития производительных сил не только для Украины, но и для 
Европы и всего мира. Ускорение темпов возникновения технологических инноваций 
в  производстве  имеет  особое  влияние  на  реформирование  профессионально-
технического образования. Этот фактор требует усовершенствования традиционной 
образовательной  системы,  базирующейся  не  только  на  поставке  знаний,  умений  и 
навыков, но и на формировании компетенций. Постоянное обновление информации 
и  впечатляющие  темпы  накопления  его  определить,  нужно  же  профессиональных 
учебных  заведений  (ПТУ),  которые  способны  точно  и  быстро  адаптироваться  к 
новым требованиям и учиться на протяжении всей жизни, развивать и творить. 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
93 
 
           Мы  считаем,  что  для  достижения  поставленной  цели  актуальным  является 
внедрение элементов теории графов в учебном процессе (ПТУЗ). Рассмотрим это на 
примере  изучения  раздела  физики  электродинамика.    Он  изучается  в  группах 
учеников разных специальностей: начиная с тех, которые пришли учиться на базе 
базового  общего  среднего  образования  и  проходять  школьный  материал  из 
электродинамики  на  2  курсе,  так  и  для  выпускников  основной  школы,  которые 
изучают электродинамику в профессиональных предметах.  
В  частности,  для  специальности  «Радиомеханик  из  обслуживания  и  ремонта 
радиотелевизионной аппаратуры» при преподавании предметов: «Электротехника», 
«Материаловедение  радиоэлектронных  средств»,  «Електрорадиоизмерение», 
«Производственная  учеба»;  для  специальности  «Электромонтер  станционного 
оборудования 
телефонной 
связи»: 
«Специальная 
технология», 
«Електрорадиоматериаловедение», «Линейные сооружения связи», «Электрические 
измерения»  и  тому  подобное.  По  нашему  мнению  указанные  предметы  будут 
усваиваться эффективнее использования структурно логических схем. 
Целью  этой  статьи  является  анализ  применения  элементов  теории  графов 
на  уроках  электродинамики  в  профессионально-технических  стремительных 
заведениях  с  целью  развития  профессиональной  компетентности  будущих 
специалистов.  Вопросам  адаптации  основ  теории  графов  для  анализа  содержания 
обучения  при  изучении  различного  рода  предметов  в  вузах  и  школе  занимались 
С.И. Архангельский, 
Л.Ю. Березина, 
JI.A. Бессонова, 
М.И. Садовый, 
Д.Х. Рубинштейн,  С.С. Сущенко,  Н.Г. Сорокина,  Д.Н.Фридман,  И.  Гроссман, 
А.П. Гловацкая,  С.А. Дориченко,  В.А. Евстигнеева,  А.М. Сохора,  Ю.Г. Карпов, 
А.Н. Кузнецов,  А.Ф. Ляхов,  К.Я. Хабибуллин  и  другие. В  основу  такого  анализа 
положена  теория  графов  освещена  в  работах  O.Е. Акимова,  В.В. Белова,  Г. 
Басакера, Е.М. Воробьев, Б.Н.Иванова, Н. Кристофидеса, Т. Саати, Е.М. Шаталова и 
др. Введению  элементов  теории  графов  в  учебный  процесс  уже  уделено 
определенное количество внимания. Однако, следует  заметить, что в направлении 
изучения физики, и особенно  - электродинамики, недостаточно освещены вопросы 
методики использования этого направления. 
           В середине XIX века Г. Кирхгоф при составлении полной системы уравнений 
для токов и напряжений в электрической схеме предложил изображать такую схему 
схеме-графом и находить в нем деревья, с помощью которых выделяются линейно 
независимые 
системы 
контуров. Сейчас 
накоплен 
определенный 
опыт 
практического  использования  графов. Например,  Горохов  В.  Г. [5]  предлагает 
представить в виде графа электрическую схему изображенную на рис.1. Граф будет 
3 узла (q = 3) и 5 ветвей (n = 5).Рисунок 1. Электрическая цепь (а) в виде графа (б) 
По  сути,  изображение  электрической  схемы  в  виде  графа  повторяет  графическое 
изображение  схемы,  но  без  элементов,  из  которых  состоит  электрическая 
цепь. Узлы  -  вершины  графа  соединяются  непрерывными  линиями  -  ребрами,  на 
которых  при  необходимости  указывается  положительный  направление тока,  рис. 2 
[4].  

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
94 
 
 
 
Рисунок 1 - Электрическая цепь (а) в виде графа (б) 
 
По  сути,  изображение  электрической  схемы  в  виде  графа  повторяет 
графическое  изображение  схемы,  но  без  элементов,  из  которых  состоит 
электрическая цепь. Узлы - вершины графа соединяются непрерывными линиями  - 
ребрами, на которых при необходимости указывается положительный направление 
тока, рис. 2 [4]. 
 
 
 
Рисунок 2 - Граф сети 
 
Рассмотрим более подробно терминологии, которая относится к теории графов... HH 
Количество  (от  греческого  -  записи)  —  набор  V  вершин  и  E  случайных  и 
упорядоченных пар вершин; Конечно же граф назначить G (V, E).  
Граф может быть представлено как: 
-алгебраические системы; 
-геометрическая структура; 
-Матрица смежности;  
-заболеваемость матрицы.  
Рассмотрим различные способы определения на том же графике. 
1. граф как алгебраические системы служит изображение < {a, b, c, d}, {u, v, w, x}, 
{(u, d), (u, b), (v, b), (c, v), (w, c), (w,), (x, c), (x, d)} раздел настроек.  
2. Геометрическое определение графа; Рис. 3 
 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
95 
 
 
Рисунок 3  
 
3. Изображение графа матрицей смежности: 
 
 
а 
b 
с 
d 
а 
0 
1 
1 
0 
b 
1 
0 
1 
0 
с 
1 
1 
0 
1 
d 
0 
0 
1 
0 
 
Матрицей смежности графа G называется матрица A=||aij||, i=1...,n; j = 1 ..., 
n,  в  которой  элемент    aij  равняется  числу  ребер  (дуг  ли),  которые  соединяют 
вершины 
v
i
 и 
v
j
  (соответственно, что идут из вершины 
v
i
в вершину 
v
j
 ).  
4. Изображение графа матрицей инцидентности.  
Матрицей инцидентности графа G будем называть матрицу B=||bij||, i=1 ., n; j = 1 
..., m, в которой элемент bij  равняется 1, если вершина 
v
i
инцидентна ребру (дуге)
 
e
j
 и равняется 0, если не инцидентная. 
 
 
u  
v  
w  
x  
а  
1 
0 
0 
0 
b  
1 
1 
1 
0 
с  
0 
1 
0 
1 
d  
0 
0 
1 
1 
 
Граф можно задать и с помощью списков. Например:  
способ 1: списком пар вершин, соединенных ребрами(дугами ли);  
способ 2: списком перечня для каждой вершинымножества смежных с ней вершин
.  
Неупорядоченная  пара  вершин  называется  ребром,  упорядоченная  пара  -  дугой. 
Граф,  что  содержит  только  ребра,  называется  неориентируемым;  граф,  который 
содержит  только  дуги,  -  ориентированным  (орграфом  ли).  Принято  говорить,  что 
ребро  (u,  v)  соединяет  вершины  u  и  v,  а  дуга  (u,  v)  начинается  в  вершине  u  и 
заканчивается  в  вершине  v  [7].  Вершины  графа,  что  не  принадлежат  ни  одному 
ребру,  мы  будем  считать  изолированными.  Граф,  который  состоит  только  из 
изолированных вершин, называется нулевым графом. Граф, в котором каждая пара 
вершин  соединена  ребром,  называется  полным.  Степенью  вершины  называется 
число  ребер,  которым  принадлежит  вершина.  Граф,  степени  всех  k  вершин 
которого  одинаковые,  называется  однородным  графом  степени  k.  Дополнением 
данного  графа  называется  граф,  который  состоит  из  всех  ребер  и  их  концов, 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
96 
 
которые необходимо прибавить к исходному графу, чтобы получить полный граф. 
Путем от A к X называется  последовательность ребер, которая ведет от вершины A 
в соответствии с X, при этом каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и 
никакое  ребро  не  встречаетсяболее 
одного  раза. 
Циклом  называется  путь,  в 
котором совпадают исходная и конечная точка. Простым циклом называется цикл, 
который не проходит ни через одну из вершин графа более однажды. Длиной пути, 
проложенного на цикле, называется число ребер этого пути. Две вершины A и B в 
графе  называются  связными (бессвязными),   если  в  нем  существует  (не 
существуют)  путь, который ведет  из A  в B.   Деревом называется     связный граф, 
который не содержит циклов.Дерево, все n  вершин которого имеют номера от 1 к 
n, называют деревом с перенумерованными вершинами [3].Деревья особенно часто 
возникают  на  практике  при  изображении  разных  иерархий.  Деревья  -  очень 
удобный  инструмент  представления  информации  самого  разного  вида.  Деревья 
отличаются от простых графов тем, что при обходе дерева невозможны циклы. Это 
делает  графы  очень  удобной  формой  организации  данных  для  формирования 
разных  алгоритмов.  Граф  без  циклов  называется  лесом.  Вершины  степени  1  в 
дереве  называются  листьями  [7].  Трехмерной  моделью  графы-дерева  служит, 
например, действительное дерево с его замысловато разветвленной кроной; река и 
ее приливы также образуют дерево, но уже плоское   – на поверхности земли [3]. 
Каждый  граф  можно  изобразить  в  евклидов  пространстве  множественным  числом 
точек,  которые  отвечают  вершинам,  что  соединены  линиями,  которые  отвечают 
ребрам  (дугам  ли  -  в  последнем  случае  направление  обычно  указывается 
стрелками),  -  такое  представление  называется  заключением  графа.  Пара  вершин 
может  быть  соединена  двумя  или  больше  ребрами  (или,  соответственно,  дугами 
одного  направления),  такие  ребра  (дуги  ли)  называются  кратными.  Вершины, 
соединенные  ребром  или  дугой,  называются  смежными.  Ребра,  что  имеют  общую 
вершину,  тоже  называются  смежными.  Степенью  вершины  назовем  удвоенное 
количество  петель,  инцидентных  этой  вершине  плюс  количество  остальных 
инцидентных  ей  ребер.  Ребро  (дуга  ли)  и  каждая  из  его  вершин  называются 
инцидентными.  С  помощью  разных  операций  можно  строить  графы  из  более 
простых,  переходить  от  графа  к  более  простому,  разбивать  графы  на  более 
простых и тому подобное. На практике часто встречаются графы, которые строятся 
из некоторого начального графа с помощью исключения одной из его вершин или 
одного  из  его  ребер.  Существуют  и  другие  возможные  превращения  графов, 
которые рассматриваются как операции над графами. 
Последовательность ребер (
v
0
, 
v
1
), (
v
1
, 
v
2
), ..., (
v
i-1
, 
v
i
), (
v
i
, 
v
i+1
), ..., (
v
r-1
, v
r
)  
(
v
0
,  называется маршрутом, который соединяет  вершины
  v
0
  и 
v
r
 . Маршрут 
замкнут, если 
v
0
= 
v
r
. . 
Маршрут называется цепью, если весь эго ребра разные, и простой цепью, 
если  весь  эго  вершины  разные.  Замкнутая  (простой)  цепь  называется  (простым) 
циклом.  Маршрут,  который  содержит  все  вершины  или  ребра  графа  и  такой, 
который  владеет  определенными  свойствами,  называется  обходом  графа.  Длина 
маршрута  (цепи,  простой  цепи)  равняется  количеству  ребер  в  порядке  их 
прохождения.  Длина  кратчайшей  простой  цепи,  которая  соединяет  вершины
  v
i
и 
v
j
 в графе G, называется расстоянием d (
 v
i
, 
v
j
) между 
 v
i
и 
v
j
. 
Ейлеровим  называется  цикл,  который  проходить  по  каждому  ребру  графа 
ровно  один  раз.  Граф,  который  имеет  ейлерив  цикл,  тоже  будем  называть 
ейлеровим.  Критерий  ейлеровости  графа:связный   граф  есть  ейлеровим  тогда  и 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
97 
 
только затем,  когда степени всех его вершин  -  парные числа [7].  Рассмотренные 
основные понятия теории графов можно перевести на складывание электрических 
схем. При этом веткой будем считать участок круга с неизменным током, узлом  - 
место  соединения  двух  и  больше  веток.  Следовательно,  граф  будет  изображать 
круг  или  его  участок  без  информации  об  элементах  круга.  Если  мы  будем 
указывать  в  графе  направление  тока  или  напряжения,  то  будем  называть  его 
направленным.  Если  круги,  что  мы  будем  рассматривать,  не  будут  электрически 
связанными,  и  граф  будем  называть  несвязанным.  Основное  понятие  графа  при 
этом  -  это  путь  графа  -  последовательность  веток,  в  которой  ни  один  узел  не 
повторяется.  Ветки  схемы  упрощаются,  то  есть  независимо  от  элемента  круга 
происходит замена обычной веткой графа (см. рис. 4). 
 
 
Рисунок 4- Изображение веткой графа любого элементаэлектрического круга
 
 
Таким образом, электрическая схема изображена на 
рис. 
5 
а  
может 
приобрести вид, данный на рис. 5 б [9]. 
 
 
                           а                                                                           б  
             
Рисунок 5 - Представление электрической схемы в виде графа 
 
Рядом  со  сроком  граф  в  начале  XX  века  употреблялись  как  синонимы  и 
другие  сроки,  например,  структурно-логическая  схема,  карта,  диаграмма, 
комплекс,  сеть,  лабиринт,  дерево  связей  и  тому  подобное  [7].  Это  позволило 
использовать графы в электродинамике не только для складывания схем, но и для 
облегчения развязывания задач.  
Как известно, развязывание любой задачи из физики состоит из следующих 
этапов: 

Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
98 
 
1. Чтение и осознание условия задачи; 
2. Короткая запись условий задачи; 
3. Перевод записанных значений физических величин в систему "СИ"; 
4. Анализ задачи и создание математической модели решения; 
5. Вычисление; 
6. Анализ и проверка ответа. 
 
        Рисунок 6 - Рисунок к задаче                          Рисунок 7 - Граф к задаче 
 
На  этапе  4  можно  использовать  метод  графов.  Это  упрощает  понимание 
задачи, помогает наглядно представить процесс отыскания неизвестной величины,  
сложить (рис. 6.) последовательность действий решения и создать математическую 
модель решения [8].   Например,  для  задачи  вида:  конденсатор  емкостью  2  мкФ 
присоединен  к  источнику  постоянного  тока  из  ЕРС  3,6В  и  внутренним 
сопротивлением  1  Ом.  Сопротивление  резисторов  4  Ом,  7  Ом  и  3  Ом 
соответственно. Ведите учет заряда на верхней обложке конденсатора. Граф будет 
иметь вид:  
Получаем общую формулу: 
 
Число  уравнений,  необходимых  для  решения  задачи,  рассчитывается  как 
число  вершин  графа,  в  которые  входят  или  из  которых  выходят  не  менее  двух 
ребер.  На  рис.  7  вершины  графа  выделены  двойными  кругами.  За  количеством 
вершин  графа  можно  определить  уровень  сложности  задания.  Но  следует 
заметить,  что  такой  метод  определения  уровня  сложности  задания  как  правило 
нецелесообразно применять при рассмотрении творческих задач [8].При работе с 
текстами  -  учебниками,  пособиями,  конспектами  и  тому  подобное,  мы  советуем 
использовать  методику  построения  денотатного  графа.  Денотатний  граф  (от  лат. 
"Помечаю" и грец. "Пишу") - способ выделения из текста существенных признаков 
ключевого  понятия.  В  электронной  "Энциклопедии  Кирилла  и  Мефодия"  дается 
такое определение слову денотат : "предметное значение имени (знаку), то есть,  
то,  которое  называется  этим  именем,  представителем  чего  оно  есть  в  языке".  В 
"Толковом  словаре  иностранных  слов"  Л.П.  Крисіна  находим:  "Денотат  -  предмет 
как  объект  обозначения  с  помощью  знаков,  в  том  числе  -  языковых  "[1].  Под 
графом,  составленным  по  тексту,  мы  будем  понимать  наглядное  изображение, 
которое  отбивает  одну  из  проблем  текста,  сформулированную  у  вопросительной 
форме; аргументы-цитаты, с помощью которых автор определяет свою позицию по 
r
R
R
R
C
q





3
1
3


Х.Досмұхамедов атындағы Атырау МУ Хабаршысы 
 № 4 (35), 2014 
 
99 
 
отношению  к  этой  проблеме;  используемые  автором  текста  для  влияния  на 
читателя языковые средства; авторскую позицию (ответ на проблемный вопрос).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Предыдущие  направления  применения  графов  можно  использовать  на 
уроках  изучения  электродинамики  в  любых  группах  профессионально-
технического  обучения.  Однако  есть  специфические  направления  и  применения 
графов  в  физике,  имеющих  отношение  только  к  специалистам  определенного 
направления. 
Например,  задача:  нанести  некоторую  печатную  схему  на  плату  таким 
образом,  чтобы  любые  два  проводники  не  пересекались между  собой,  кроме 
данных точек [6]. 
Теория  графов  может  быть  использована  в  учебном  процессе  и  в 
иллюстрации  связей  между  темами  при  изучении  специальных  дисциплин. 
Например,  дисциплину  «Тракторы  и  автомобили»  можно  представить  в  виде 
следующих графов: 

жүктеу/скачать 3,43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: