Алматы 2017 январь



Pdf көрінісі
бет72/92
Дата03.03.2017
өлшемі28,19 Mb.
#7549
1   ...   68   69   70   71   72   73   74   75   ...   92

Доказательство. Рассмотрим выражение 

 



 




2

2



0

0

, 0;



( )

, 0;


( )

T

T

u t

y

h

a t

dt

u t

y

a t

dt

I y

h

I y



















 



2

0



0

( , 0; )


2

( , 0; )


( , 0;

( )


T

T

u t

y dt

u t

y u t

y a t dt









,                                                (11) 



 

где 


( , 0; )

( , 0;


)

( , 0; )


u t

y

u t

y

h

u t

y





Записав систему (1)  –  (4)  для управлений 



y

h

 и 



y

, затем вычитая друг от друга и деля на 



, получим возмущенную задачу с обозначением 

( , ; )

u t x y

z





2

( , )


( , )

t

x

z t x

z t x

 



,                                                                 (12) 

( , )


0

z t x 

  при 


0

,                                                              (13) 

( , )

0

x



z t x



  при 

0

,                                                          (14) 

( , )


0

x

z t x



  при 

x

L

.                                                          (15) 



Умножим обе части равенства (12) на произвольную пока функцию 

( , )


t x

 и проинтегрируем 

по  всей  области 

0

,   0



t

T

x

L

 


.  Далее  используя  интегрирование  по  частям,  получим 



следующий результат: 



2

0 0


0

( , )


( , )

( , )


T L

t

x

z t x

z t x

t x dxdt



 

 



0



( , ) ( , )

( , 0) ( , 0)

( , )

( , )


( , 0)

( , 0)


T

x

x

x

x

z t L

t L

z t

t

z t L

t L

z t

t

dt









 





 


 



 Физика–математика ғылымдары 

 

437 



                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

2

0 0



( , )

.

T L



x

z

t x dxdt

 



 

Принимая во внимание, что 

(0, )

0,   


( , 0)

0,   


( , )

x

x

z

x

z t

z t L

h





, последнее равенство можно 

записать следующим образом: 



2



0 0

0

( , )



( , )

( , )


L T

t

x

t x

t x z t x dtdx



 


 


 


 

0

( , ) ( , )



L

z T x

T x dx



0

( , )



( , )

( , )


( , 0)

( , 0)


.

T

x

x

h

t L

z t L

t L

z t

t

dt









 

Пусть функция 



( , )

t x

, выбранная нами в самом начале произвольная, удовлетворяет в той же 

области некоторым ограничениям:  

 

2



( , )

( , )


0

t

x

t x

t x



 



( , )



0

T x



( , )

0

x



t L



.                                 (16) 

 

Это  позволит  максимально  упростить  последнее  выражение.    Второе  граничное  условие  нам 



ещё  предстоит  выбрать  для  полного  определения 

( , ).


t x

  С  учётом  сделанных  предположений 

относительно 

( , )


t x

, последнее выражение можно упростить  

0

0

( , )



( , 0)

( , 0)


T

T

x

t L hdt

z t

t

dt



 




Значит выбрав  



( , 0)



2

( , 0; )


( )

x

t

u t

y

a t

 



                                              

(17) 

получаем  



0



0

( , )


2

( , 0)


( , 0; )

( )


T

T

t L hdt

z t

u t

y

a t dt



.                                     (18) 



С учётом выбранного 

( , ; )


( , )

u t x y

z t x



 и равенств (11) и (18) можно заключить: 



 



 

2

0



0

( , )


( , 0; ) .

T

T

I y

h

I y

t L hdt

z t

y dt











 

 



Заметим, что условия (16) и (17)  позволяют найти однозначно функцию 

( , )


t x

 и составляют 

краевую задачу (7) – (10). Переходя к пределу при 

0

 получим, что 



 

( , )


I y

t L



. Зависимость 

решения  краевой  задачи  (1)  –  (4)  от 



y

  определяет  некоторый  аффинный  оператор.  Тогда  этот 

оператор  дифференцируем,  а  значит,  существует  предел  величины 

z

  при 


0.

  Тем  самым  мы 



нашли производную функционала

. Теорема доказана.  

Имея  явное  выражение  для  градиента  функционала,  мы  можем  запустить  итерационный 

процесс  (6).  Для  этого  нужно  выбрать  начальное  приближение 

0

( )


y t

  и  задать  способ  выбора 

коэффициентов 

0

n



 

. А также смотрите [1], [2], [3], [7]для различных других ситуаций.  



 

2  Алгоритм решения задачи 

Общая схема пошагового решения задачи. 



1). Задание начальных параметров:  

 – отклонение 

( , 0; )

u t

y

 от 


( )

a t

 по норме 



H

;  


 



 Физика–математика ғылымдары 

 

438 



                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

L

h

N

 – шаг по 



x



T



M

 

 –  шаг по 



t

 (в численных алгоритмах);  

Задаём функции 

( , )


f t x

( )



x

( )



b t

( )



a t

Выбираем начальное приближение



0

( )


y t



2). Решаем прямую задачу (1) – (4).  



3). Вычисляем значение функционала 

( )


I y

;  


Если 

 


I y

, тогда алгоритм прекращается и результаты выводятся на экран.  



Если 

 


I y

, тогда выполняется пункт 4). 



4). Решаем сопряженную задачу (7) – (10) и находим 

 


( , )

I

y

t L





5). Выбираем постоянное значения для  

;  


6). Строим следующее приближение 

1

( )



n

y

t

 по формуле (6): 



1

( )


( )

( , ).


n

n

n

y

t

y t

L t

 



 

Переходим к пункту  2). 



 

3 Аппроксимация прямой и обратной задач  

Прямая задача (1) – (4) может быть аппроксимирована как, [13], [14]: 

 

 



 

3

1



1

1

1



1

2

2



2

1

2



1

1

1



j

j

j

j

j

j

i

i

i

i

i

i

u

u

u

f

u

u

h

h

h











 








,              (19) 

0

i

i

u

,  



0,1, 2,...,

i

N

,                                                                      (20) 



 

0

1



j

j

j

u

u

b h



,..., 0


j

M

,                                                               (21)  



1

j

j

N

N

j

u

u

y h



,

,..., 0



j

M

.                                                                (22) 



 

Сопряженная задача (7) – (10) может быть аппроксимирована как: 

 

1

1



1

2

2



2

1

2



1

1

1



j

j

j

j

i

i

i

i

h

h

h

















 









1,

2,..., 0


j

M

M



,   (23) 

0

M

i

,  



0,1, 2,...,

i

N

,                                                                    (24) 



1

0

j



j

N

N





,   


,..., 0

j

M

,                                                          (25) 



0



1

0

2



j

j

j

j

h u

a





,  


,..., 0

j

M

.                                                (26) 



 

 

4.  Аппроксимация функционала 

Мы аппроксимируем значения функционала 

 


2



0

(0, ; )


( )

T

I y

u

t y

a t

dt



 обычной формулой 

прямоугольников: 

 


1/ 2



1

2

0



0

M

j

j

j

I y

u

a









.                                                           (27) 

 

 



 



 Физика–математика ғылымдары 

 

439 



                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

5. Выполнение вычислительных экспериментов 

Далее  используется  разработанный  численный  алгоритм  для  решения  исходной  задачи  со 

следующими начальными данными: 

Пусть 


( , )

x t

u t x

e



  –  решение  задачи  (1)  –  (4),

(

1)(



)

( , )


2

p

x t

x t

f t x

e

e





  –  свободный  член 

уравнения  (1),

( )

x

x

e

–  начальная  температура,



( )

2

t



b t

e



  –  левое  граничное  условие, 

( )


t

a t

e



– 

дополнительная  информация,

1

( )


t

y t

e



  –  точное  решение  исходной  задачи,

0

( )



2

y t 

  –  начальное 

приближение.  

Рассматриваются  различные  степени  нелинейности,  а  именно  значения   

1

,  2,  4


2

p



 



.    Мы 


решаем задачу для всех выбранных значений 

p

, выбирая  

1

, а затем и 

10

Во  всех  случаях  мы  используем 



100

и 

100



(число  шагов  по  временной    и 

пространственной  переменной  соответственно),  если  не  оговорено  противное.  Такие  параметры  как 



, также как и количество итераций и отклонение полученного решения от точного по норме 

H

 

даются  в  подписях  к  соответствующим  рисункам.  Наша  цель  проанализировать  как  различные 



степени нелинейности (значение 

p

отвечает за это) влияют на численный алгоритм. Здесь мы имеем 

два противоположных фактора, влияющих на результат. 

Во-первых,  мы  понимаем,  что  большие 

степени  нелинейности  будут  сказываться  негативно.  Численный  алгоритм  будет  иметь  большие 

погрешности  и  поэтому  полученное  решение  будет  не  столь  точным.  Во-вторых,  если  рассмотрим 

уравнение с нечётной степенью нелинейности:

2

2



1

( , )


( , )

( , )


( , )

m

t

x

u t x

u t x

u

t x

f t x



 



.  

Умножим  обе  части  этого  уравнения  на  функцию 

( , )

u t x

  и  после  интегрирования  по  всей 

области 

0

,   0



 

t

T

x

L

 


 

 мы получим:





2

2



2

m

t

x

u u

u u

u

f u



 

 







Используя 

интегрирование 

по 


частям 

и 

преобразование 





t



u u



 

получим                    

2

2

2



2

1

2



m

t

x

u

u

u

f u



 





.Левая часть уравнения содержит норму функции 



u

и поэтому мы 

ожидаем лучшие свойства самого уравнения.  

Эксперимент 1. 

Следующие  три  рисунка  представляют  собой  графики  полученных  численным  способом 

решения для различных значений

p

и

1



. Можно проследить совершенно явно как это сказывается 

на  решении.  Во  всех  описанных  ситуациях  точным  решением  является 

1

( )



t

y t

e



  одно  и  тоже, 

однако, функция, свободный член 

(

1)(


)

( , )


2

p

x t

x t

f t x

e

e





 разный.  

 

-1,0



-0,5

0,0


0,5

1,0


1,5

2,0


2,5

3,0


0,

00

0,



04

0,

08



0,

12

0,



16

0,

20



0,

24

0,



28

0,

32



0,

36

0,



40

0,

44



0,

48

0,



52

0,

56



0,

60

0,



64

0,

68



0,

72

0,



76

0,

80



0,

84

0,



88

0,

92



0,

96

1,



00



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   68   69   70   71   72   73   74   75   ...   92




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет