Доказательство. Рассмотрим выражение
2
2
0
0
, 0;
( )
, 0;
( )
T
T
u t
y
h
a t
dt
u t
y
a t
dt
I y
h
I y
2
0
0
( , 0; )
2
( , 0; )
( , 0;
( )
T
T
u t
y dt
u t
y u t
y a t dt
, (11)
где
( , 0; )
( , 0;
)
( , 0; )
u t
y
u t
y
h
u t
y
.
Записав систему (1) – (4) для управлений
y
h
и
y
, затем вычитая друг от друга и деля на
, получим возмущенную задачу с обозначением
( , ; )
u t x y
z
:
2
( , )
( , )
t
x
z t x
z t x
, (12)
( , )
0
z t x
при
0
t
, (13)
( , )
0
x
z t x
при
0
x
, (14)
( , )
0
x
z t x
при
x
L
. (15)
Умножим обе части равенства (12) на произвольную пока функцию
( , )
t x
и проинтегрируем
по всей области
0
, 0
t
T
x
L
. Далее используя интегрирование по частям, получим
следующий результат:
2
0 0
0
( , )
( , )
( , )
T L
t
x
z t x
z t x
t x dxdt
0
( , ) ( , )
( , 0) ( , 0)
( , )
( , )
( , 0)
( , 0)
T
x
x
x
x
z t L
t L
z t
t
z t L
t L
z t
t
dt
●
Физика–математика ғылымдары
437
№1 2017 Вестник КазНИТУ
2
0 0
( , )
.
T L
x
z
t x dxdt
Принимая во внимание, что
(0, )
0,
( , 0)
0,
( , )
x
x
z
x
z t
z t L
h
, последнее равенство можно
записать следующим образом:
2
0 0
0
( , )
( , )
( , )
L T
t
x
t x
t x z t x dtdx
0
( , ) ( , )
L
z T x
T x dx
0
( , )
( , )
( , )
( , 0)
( , 0)
.
T
x
x
h
t L
z t L
t L
z t
t
dt
Пусть функция
( , )
t x
, выбранная нами в самом начале произвольная, удовлетворяет в той же
области некоторым ограничениям:
2
( , )
( , )
0
t
x
t x
t x
,
( , )
0
T x
,
( , )
0
x
t L
. (16)
Это позволит максимально упростить последнее выражение. Второе граничное условие нам
ещё предстоит выбрать для полного определения
( , ).
t x
С учётом сделанных предположений
относительно
( , )
t x
, последнее выражение можно упростить
0
0
( , )
( , 0)
( , 0)
T
T
x
t L hdt
z t
t
dt
.
Значит выбрав
( , 0)
2
( , 0; )
( )
x
t
u t
y
a t
(17)
получаем
0
0
( , )
2
( , 0)
( , 0; )
( )
T
T
t L hdt
z t
u t
y
a t dt
. (18)
С учётом выбранного
( , ; )
( , )
u t x y
z t x
и равенств (11) и (18) можно заключить:
2
0
0
( , )
( , 0; ) .
T
T
I y
h
I y
t L hdt
z t
y dt
Заметим, что условия (16) и (17) позволяют найти однозначно функцию
( , )
t x
и составляют
краевую задачу (7) – (10). Переходя к пределу при
0
получим, что
( , )
I y
t L
. Зависимость
решения краевой задачи (1) – (4) от
y
определяет некоторый аффинный оператор. Тогда этот
оператор дифференцируем, а значит, существует предел величины
z
при
0.
Тем самым мы
нашли производную функционала
I
. Теорема доказана.
Имея явное выражение для градиента функционала, мы можем запустить итерационный
процесс (6). Для этого нужно выбрать начальное приближение
0
( )
y t
и задать способ выбора
коэффициентов
0
n
. А также смотрите [1], [2], [3], [7]для различных других ситуаций.
2 Алгоритм решения задачи
Общая схема пошагового решения задачи.
1). Задание начальных параметров:
– отклонение
( , 0; )
u t
y
от
( )
a t
по норме
H
;
●
Физика–математика ғылымдары
438
№1 2017 Вестник КазНИТУ
L
h
N
– шаг по
x
,
T
M
– шаг по
t
(в численных алгоритмах);
Задаём функции
( , )
f t x
,
( )
x
,
( )
b t
,
( )
a t
;
Выбираем начальное приближение
0
( )
y t
.
2). Решаем прямую задачу (1) – (4).
3). Вычисляем значение функционала
( )
I y
;
Если
I y
, тогда алгоритм прекращается и результаты выводятся на экран.
Если
I y
, тогда выполняется пункт 4).
4). Решаем сопряженную задачу (7) – (10) и находим
( , )
I
y
t L
.
5). Выбираем постоянное значения для
;
6). Строим следующее приближение
1
( )
n
y
t
по формуле (6):
1
( )
( )
( , ).
n
n
n
y
t
y t
L t
Переходим к пункту 2).
3 Аппроксимация прямой и обратной задач
Прямая задача (1) – (4) может быть аппроксимирована как, [13], [14]:
3
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
j
j
j
j
j
j
i
i
i
i
i
i
u
u
u
f
u
u
h
h
h
, (19)
0
i
i
u
,
0,1, 2,...,
i
N
, (20)
0
1
j
j
j
u
u
b h
,
,..., 0
j
M
, (21)
1
j
j
N
N
j
u
u
y h
,
,..., 0
j
M
. (22)
Сопряженная задача (7) – (10) может быть аппроксимирована как:
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
j
j
j
j
i
i
i
i
h
h
h
,
1,
2,..., 0
j
M
M
, (23)
0
M
i
,
0,1, 2,...,
i
N
, (24)
1
0
j
j
N
N
,
,..., 0
j
M
, (25)
0
1
0
2
j
j
j
j
h u
a
,
,..., 0
j
M
. (26)
4. Аппроксимация функционала
Мы аппроксимируем значения функционала
2
0
(0, ; )
( )
T
I y
u
t y
a t
dt
обычной формулой
прямоугольников:
1/ 2
1
2
0
0
M
j
j
j
I y
u
a
. (27)
●
Физика–математика ғылымдары
439
№1 2017 Вестник КазНИТУ
5. Выполнение вычислительных экспериментов
Далее используется разработанный численный алгоритм для решения исходной задачи со
следующими начальными данными:
Пусть
( , )
x t
u t x
e
– решение задачи (1) – (4),
(
1)(
)
( , )
2
p
x t
x t
f t x
e
e
– свободный член
уравнения (1),
( )
x
x
e
– начальная температура,
( )
2
t
b t
e
– левое граничное условие,
( )
t
a t
e
–
дополнительная информация,
1
( )
t
y t
e
– точное решение исходной задачи,
0
( )
2
y t
– начальное
приближение.
Рассматриваются различные степени нелинейности, а именно значения
1
, 2, 4
2
p
. Мы
решаем задачу для всех выбранных значений
p
, выбирая
1
T
, а затем и
10
T
.
Во всех случаях мы используем
100
N
и
100
M
(число шагов по временной и
пространственной переменной соответственно), если не оговорено противное. Такие параметры как
,
, также как и количество итераций и отклонение полученного решения от точного по норме
H
даются в подписях к соответствующим рисункам. Наша цель проанализировать как различные
степени нелинейности (значение
p
отвечает за это) влияют на численный алгоритм. Здесь мы имеем
два противоположных фактора, влияющих на результат.
Во-первых, мы понимаем, что большие
степени нелинейности будут сказываться негативно. Численный алгоритм будет иметь большие
погрешности и поэтому полученное решение будет не столь точным. Во-вторых, если рассмотрим
уравнение с нечётной степенью нелинейности:
2
2
1
( , )
( , )
( , )
( , )
m
t
x
u t x
u t x
u
t x
f t x
.
Умножим обе части этого уравнения на функцию
( , )
u t x
и после интегрирования по всей
области
0
, 0
t
T
x
L
мы получим:
2
2
2
m
t
x
u u
u u
u
f u
.
Используя
интегрирование
по
частям
и
преобразование
t
u u
получим
2
2
2
2
1
2
m
t
x
u
u
u
f u
.Левая часть уравнения содержит норму функции
u
и поэтому мы
ожидаем лучшие свойства самого уравнения.
Эксперимент 1.
Следующие три рисунка представляют собой графики полученных численным способом
решения для различных значений
p
и
1
T
. Можно проследить совершенно явно как это сказывается
на решении. Во всех описанных ситуациях точным решением является
1
( )
t
y t
e
одно и тоже,
однако, функция, свободный член
(
1)(
)
( , )
2
p
x t
x t
f t x
e
e
разный.
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,
00
0,
04
0,
08
0,
12
0,
16
0,
20
0,
24
0,
28
0,
32
0,
36
0,
40
0,
44
0,
48
0,
52
0,
56
0,
60
0,
64
0,
68
0,
72
0,
76
0,
80
0,
84
0,
88
0,
92
0,
96
1,
00
Достарыңызбен бөлісу: |