●
Физика–математика ғылымдары
417
№1 2017 Вестник КазНИТУ
[13] Н.С.Камзанов, Р.А.Козбагаров. Определение величины сопротивления грунта резанию и ширины
режущих граней многопрофильными ножами отвала землеройно-строительных машин. //Вестник
КазНИТУим.К.Сатпаева. 2015. № 4. c. 308-315.
[14] Ветров Ю.А. Расчеты сил резания и копания грунтов. / Монография. Киев: Изв. КГУ. 1965. – 231 c.
Кайым Т.Т., Грибанов В.Ф., Каимов А.Т., Каимов С.Т.
, Абилдабекова Д.Д.
Инновациялық алынбалы кескіш пышақты бульдозер қайырмасымен топырақтың (ұсақ тау
жыныстары, шымтезек) жоғары сенімді, тиімді бұзылу стохастикалық процесстерің математикалық
моделі
Аңдатпа. Торфтық және шашыранды кен орындарында жұмыс тиімділігін арттыру үшін авторлармен
жер-құрылыс машиналар саласында алынбалы кескіш пышақты бульдозер қайырмасының атқарушы
механизмінің инновациялық түрі құрылды. Қоршаған орта жағдайын, оның геометриялық, құрылымдық,
кинематикалық және динамикалық параметрлерін ескере отырып, механизмнің математикалық үлгісі құрылды.
Бұл жерде кездейсоқ қателіктердің ауытқу шамасын параметрлердің "мінсіз" есептеу моделін және жүйелі
қателер байланысты дәлдікпен өлшеу, жүргізуге есепке алу, пайдалану негізінде рекурренттік айқындау
рәсімдерін оңтайлы Калман коэффиценті қолдану көзделеді. Құрылымдық, кинематикалық және динамикалық
параметрлерін инновациялық атқарушы механизмнің жұмыс органының үйінді алмалы-салмалы пышақпен
кесудің негізінде жүргізіледі және негізгі қағидаттарынын іске асыру, оның бейімделу әрекетіне учаскесінің
топырақ алқабын қалыптастыру, оның оңтайлы қабатының қалыңдығын қалыптастырады. Әзірленген
бульдозердік инновациялық атқарушы механизмнің жұмыс органына Қазақстан Республикасының патенті
алынды.
Түйін сөздер: бульдозер қайырмасы, атқарушы механизм, математикалық модель, кескіш пышақ.
Kaiym T.Т., Gribanov V.F.. Kaimov A.T
, Kaimov S.T., Abildabekova D.D.
Mathematical modelling of stochastic processes the highly effective and reliable cutting of a placer and a
peat soils by innovative dozer blade with removable knife
Abstract. To improve the efficiency of the development of placer mineral deposits and peat with the use of
earth-moving and construction machines, the authors have developed an innovative actuator of the working body of the
blade dozer with removable cutting knife. Developed a mathematical model to determine its geometrical, structural-
kinematic and dynamic parameters given the stochastic processes for its interaction with a development environment. It
is envisaged to produce the account of random error variances of the parameters from the "ideal" design models and
systematic errors associated with the measurement accuracy, based on the use of a recurrent procedure for determining
the optimal weighting factor Kalman. Choice of structural, kinematic and dynamic parameters of innovation of the
blade with a removable cutting knife is based on the implementation of the principle of adaptation to resistance force of
the destroyed area of the soil, the formation of its optimal layer thickness. Mathematical methods are the foundation for
creating innovative, the dozer blade with removable knife. Developed innovative buldozer obtained a patent of the
Republic of Kazakhstan.
Key words: the dozer blade, actuator, mathematical model, cutting knife.
УДК 537.311+519.68
1
Б.А. Мукушев,
2
Г.С. Нурбакова,
2
Н.Т. Исимов,
1
И.С. Мусатаева,
1
Б.С. Желдыбаева
(
1
Шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті, Семей қаласы, Қазақстан Республикасы
2
Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетіі,
Алматы, Қазақстан Республикасы)
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ
ТОКОВ С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА MATHCAD
Аннотация. В статье изложены результаты гармонического анализа периодических несинусоидальных
токов. Уравнения этих токов разложены в ряд Фурье с помощью пакета Mathcad. Раскрыты особенности
разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций. Представлены графические, численные и аналитические
решения гармонического анализа периодических несинусоидальных сигналов, полученных на основе
компьютерных экспериментов. Предложен метод расчета суммы членов ряда Фурье для периодических
несинусоидальных сигналов, состоящих из нескольких процедур.
●
Физика–математика ғылымдары
418
№1 2017 Вестник КазНИТУ
Ключевые слова. Гармонический анализ, периодический несинусоидальный ток, пакет Mathcad, четные
и нечетные функции, метод расчета суммы членов ряда Фурье.
Введение. В электрических цепях, которые служат для передачи информации, электрические
сигналы (напряжения и токи) несинусоидальны. Методы расчета синусоидальных режимов для таких
цепей неприменимы. При расчетах линейныхцепей синусоидального тока используют представление
периодической функции f(t) в виде гармоник кратных частот [1,2].
Гармонический анализ периодических несинусоидальных токов основан на преобразованиях
Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей этот вид тока, суммой простых
гармонических колебаний, образующих частотный спектр этого тока. Знаменитый французский
ученый Ж. Б. Фурье (1768–1830г.г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции
можно представить в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с
разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или
напряжение в электрической цепи.
1. Теоретические вопросыразложения в ряд Фурье периодического несинусоидального тока
На рисунке 1 приведены принципиальная схема однополупериодного выпрямителя
переменного гармонического тока и график напряжения на выходе выпрямителя (Рис.2).
Рис. 1. Схема однополупериодного
выпрямителя переменного гармонического тока
Рис. 2. Периодическое несинусоидальное
напряжение
Рассмотрим вначале представление периодического электрического несинусоидального
сигнала, отвечающего условию x(t) = x(t+ nT) где: T – период несинусоидального сигнала,
n – натуральное число n=1,2,3,….
Если периодическая несинусоидальная функция отвечает условиям Дрихле, онаможет быть
представлена тригонометрическим рядом Фурье [2,4]:
f(t) = +
(1)
(1) уравнение можно писать в таком виде:
f(t) = +
(2)
где:
- модуль амплитудn гармоник,
- фазы n гармоник,
- круговая частота.
- коэффициенты косинусоидальных составляющих;
- коэффициенты синусоидальных составляющих;
●
Физика–математика ғылымдары
419
№1 2017 Вестник КазНИТУ
- среднее значение тока за период (постоянная составляющая).
Отдельные слагаемые рядов называют гармониками . Число nявляется номером гармоники.
Совокупность величин A
n
в ряде (2) называют спектром амплитуд, а совокупность величин
- спектром фаз.
Если функция f(t), описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (1)
будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если f(t) - нечетная функция, то сумма
будет содержать только синусоидальные составляющие.
2. Исследование периодических несинусоидальных токов с помощью пакета Mathcad
Рассмотрим периодические несинусоидальные токи, которые описываются нечетным
(Пример 1) и четным (Пример 2) видом функции.
Пример 1. На рисунке 3 представлено график напряжения в зависимости от времени, которое
подаются на горизонтально отклоняющие пластины осциллографа. На рисунке 4 программа в
Mathcad, необходимая для создания этого графика.
Рис. 3. График напряжения в зависимости
от времени
Рис. 4. Программа в Mathcad
Требуется выполнить следующие задания:
1. Нужно найти напряжение (t) в виде суммы первых двух и семи членов ряда Фурье;
2. Суммы этих членов ряда нужно представить в графическом виде.
Решение задания:
1. Представим
метод
расчета
суммы
членов
ряда
Фурье
для
периодических
несинусоидальных сигналов, состоящих из нескольких процедур.
Вначале следует найти коэффициенты ряда Фурье для периодического напряжения, что было
приведен на рис. 4. Для этого нужно создать специальные процедуры с помощью пакета Mathcad
[5,6]. Первой процедурой вычисляются коэффициенты косинусоидальных составляющих, а второй –
у синусоидальных.
Третьей процедурой непосредственно вычисляется ряд Фурье. В эту процедуру входят
созданные ранее процедуры вычисления коэффициентов разложения ряда.
●
Физика–математика ғылымдары
420
№1 2017 Вестник КазНИТУ
Ряды Фурье вычисляются в символьном виде. По этому, вкачестве точки, в которой
вычисляется ряд, указывается символьное название переменной, а в качестве оператора вычисления
значения – стрелку. Внизу представлено напряжение (t) в виде суммы первых двух и семи членов
ряда Фурье
2. На рисунке 5 показаны результаты аппроксимации линейной функции (t)=t рядом Фурье на
интервале (-, ). Аппроксимация выполняется рядами из двух (тонкая линия) и семи (утолщенная
линия) слагаемых. Отметим, что при увеличении число слагаемых в ряде Фурье повышается точность
аппроксимации.
Рис. 5. Графические решения линейной функции (t)=t
Пример 2. К электрической цепиприложено периодическое несинусоидальное напряжение,
форма которого приведена на рис. 6. Параметры элементов схемы имеют следующие значения:
0
= 314 В; , = 100 рад/с.
Требуется выполнить следующие задания:
1. Найти графическое и численное решение (аппроксимацию) напряжения (t) ввиде суммы
первых двухи четырехчленов ряда Фурье;
Рис. 6. График периодического напряжения в зависимости от времени
●
Физика–математика ғылымдары
421
№1 2017 Вестник КазНИТУ
Решение заданий:
1. Для разложения функции напряжения источника в ряд Фурье напишем программу в среде
Mathcad.
Поскольку функция (t) является четной, разложение в ряд Фурье содержит только косинусы:
(t) =
В таком случае у нас получается следующий ряд
(t) =
)
Этот ряд соответствует таблице, приведенной на рис.7. Используя данные таблицы,последнее
уравнение можем написать в таком виде:
(t) = 399,797cos100t -133,266 cos300t
На рисунке 7 в виде графика представлено графическая аппроксимация суммы первых двух
членов (утолщенная линия).
В таблице после выражения s(t
m
) = представлены численные значения всех начальных
100 точек (N
p
:= 100) уравнения (t) =f(t) =
+
. Табличные
значения являются численным решением аппроксимации суммы первых двух членов ряда Фурье.
2. Используя метод расчета суммы членов ряда Фурье для периодического напряжения,
представленного на рисунке 3, находим суммы первой четырех членов ряда:
(t) =
Рис.7. Графическое и численное аппроксимациисуммы первых двух членов ряда Фурье (Nf: = 4).
●
Физика–математика ғылымдары
422
№1 2017 Вестник КазНИТУ
Рис. 8. Графическое и численное аппроксимации суммы первых четырех членов ряда Фурье.
ӘДЕБИЕТТЕР
[1] Иванов М. Т.,
Сергиенко А. Б.,
Ушаков В. Н.
Теоретические
основы
радиотехники:
Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 2002. - 306 с.
[2] Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1998.- 463 с.
[3] Воробьев Н.Н. Теория рядов. 4 издание, перераб. и доп. - М.: Наука, 1979. - 408 с.
[4] Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л.:
Изд-во Ленингр. ун-та, 1983.- 188 с.
[5] Очков В. MathCAD 14 для студентов, инженеров и конструкторов. – Санкт-Петербург. – 2007.- 370 с.
[6] Кирьянов Д. Mathcad 14 вподлинке. Санкт-Петербург. – 2007.- 682 с.
Мукушев Б.А., Нурбакова Г.С., Исимов Н.Т., Мусатаева И.С., Желдыбаева Б.С.
Периодты синусоидальды токты MATHCAD пакеті көмегімен Фурье қатарына жіктеу
Аңдатпа. Мақалада периодты синусоидалды емес токтың гармониялық анализінің нәтижелері
баяндалған. Мұндай токтардың теңдеулері Mathcad пакеті көмегімен Фурье қатарына жіктелген. Жұп және тақ
функцияларды Фурье қатарына жіктеу әдістерінің ерекшеліктері ашылған. Компьютерлік эксперименттер
көмегімен алынған периодты синусоидалды емес сигналдардың гармониялық анализінің графиктік, сандық
және аналитикалық шешімдері берілген. Периодты синусоидалды емес сигналдарды Фурье қатарына жіктеген
кездегі алынған мүшелердің қосындысын есептеуге арналған әдіс қарастырылған.
Түйін сөздер. Гармониялық анализ, периодты синусоидалды ток, Mathcad пакеті, жұп және тақ
функциялар, Фурье қатарының мүшелерінің қосындыларын есептеу әдісі.
Mukushev B.A., Nurbakova G.S., Isimov N.T.,Musataeva I.S., Zheldybayeva B.S.
Fourier series of periodic non-sinusoidal currents using MATHCAD package
Annotation. The article presents the results of harmonic analysis of periodic non-sinusoidal currents. The
equations of these currents expanded in a Fourier series with Mathcad package. The features of the Fourier series of
even and odd functions. Is a graphical, numerical and analytical solutions of the harmonic analysis of periodic non-
sinusoidal signals. These results were obtained on the basis of computer experiments. A method for calculating the sum
of the Fourier series of members for the periodic non-sinusoidal signals.
Keywords. Harmonic analysis, periodic non-sinusoidal current, package of Mathcad, even and odd functions,
method of calculating the sum of the Fourier series.
●
Физика–математика ғылымдары
423
№1 2017 Вестник КазНИТУ
УДК. 372.853.(075.8)
С. Н. Нұрқасымова, Р. А. Аканова
(Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті,
Казахстан Республикасы, Астана қаласы)
КИНЕМАТИКА БӨЛІМІНІҢ ЕСЕПТЕРІН ШЫҒАРУДА ФИЗИКАЛЫҚ
ПРОЦЕСТЕРДІКОМПЬЮТЕРЛІК МОДЕЛЬДЕУ
Андатпа: Мақалада компьютерлік модельдеуді жоғарғы оқу орындарында физика есептерін шығаруда
қолданылатыны қарастырылған. MATLAB программасының алгоритмі және қысқаша түсініктеме берілген.
MATLAB программасын физикалық процесстерде қолдану, екі, үш өлшемді графиктер тұрғызу және
анықталған интеграларқылы физика есептерін шығару.
Кілтті сөздер: Физикалық процестерді компьютерлік модельдеу,MATLAB программасы, екі және үш
өлшемді графиктер тұрғызу.
Eлбacының «Жaңaәлeмдeгі жaңa Қaзaқcтaн» aтты жолдayындa: «Біз бүкіл eліміз бойыншa
әлeмдік cтaндaрттaр дeңгeйіндe caпaлы білім бeрy қызмeтін көрceтyгe қол жeткізyіміз кeрeк» дece,
оcы жолдayдың ІІІ тaрayы, он ceгізінші бaғытының жeтінші тaрмaқшacындa: «Aқпaрaттық
тeхнологиялaр мeн aқпaрaтты тaрaтyдың жaңa ныcaндaрынa бaғыттaлғaн мaмaндaндырылғaн білім
бeрyбaғыттaрын құрy міндeтідe aлдымыздa тұр» дeлінгeн [1].
Қазіргі кезде физика пәнін оқып үйренуде заманауи компьютерлер және әр түрлі арнайы
программалау ортасы кеңінен қолданылады. Физикалық процестерді компьютерлік модельдеу
ғылыми танымның негізі.Сондықтан нақты білім беруде және ғылыми зерттеулерде алатын орны
ерекше.
Компьютерлік модельдеу арқылы нақты физикалық процестер мен құбылыстарды көрсетуге
болады. Физикалық зерттеулерде компьютердің негізгі қолданылуы – бұл тәжірибені басқару және
модельдеу[3].
Осы бағытта университеттің физика факультетінің студенттеріне өтілетін «Физикалық
процестерді компьютерлік модельдеу негіздері» курсының алатын орны ерекше. Курстың және осы
курс бойынша өткізілетін практикумның негізгі мақсаты студенттерді физикалық процестер мен
құбылыстардың модельдерін жасаумен және зерттеу әдістерімен таныстыру. Курсты оқу барысында
болашақ физиктерді ғылыми ізденістерге баулып, ғылым жолындағы алғашқы қадамдарына жол ашу.
Практикум теория мен тәжірибенің бірлігін танып білуге көмектесіп қана қоймай, студенттердің
пәнге, ғылымға деген қызығушылығын арттырады. Әсіресе физикалық процестерді компьютерлік
модельдеу нақты нысанды практикада толық зерттеу мүмкін болмаған жағдайда оны есептеу
алгоритмдерінің көмегімен компьютер арқылы іске асыратын, математикалық модельмен алмастыру
болып табылады. Компьютер арқылы физикалық процестерді модельдеу барысында есептің шешуін
тек формула түрінде ғана емес, график түрінде де бақылай алады. График түрінде кескінделген
есептің шешімі теория мен тәжірибені жақындатады. Компьютерлік модельдеу нақты тәжірибе
жүргізу қиын болатын күрделі процестерді бақылау және зерттеу үшін қолданылады. Физикалық
процестерді модельдеу арнайы компьютерлік программалау ортасының көмегімен жүзеге
асырылады. Біздің жағдайымызда компьютерлік модельдеу MATLAB («Matrix Laboratory»)
техникалық есептеулердің есептерін шешуге арналған қолданбалы программалау пакеті бойынша
іске асырылады. MATLAB жүйесі – бұл бір мезгілде әрі программалау тілі, әрі операциялық орта
болып табылады. Студенттер MATLAB программасымен бұрын таныс болмағандықтан, әрі осы
жүйемен танысады. Жүйенің басты ерекшелігі – ол MATLAB тілінде бірнеше рет қолдануға
арналған программалар жазуға болатындығында. MATLAB тілі – бұл жоғары дәрежеде түсіндірілетін
программалау тілі. Онда басқа программалау тілінде жазылған матрицаларға негізделген мәліметтер
құрылымы, функциялардың кең спектрі, өңдеудің интеграцияланған орталары, программаларға
нысанды бағытталған мүмкіншіліктер мен интерфейстер бар. MATLAB пакетінің құрамында
графиктер тұрғызуға қажетті көптеген функциялар бар. Олар екі және үш өлшемді графиктер
тұрғызуға, мәліметтерді визуалды талдауға және анимацияланған роликтер құруға мүмкіндік береді.
Жүйенің негізгі ерекшелігі: жұмыс барысында жүйе туралы толық білім болмаса да, тек есепті
шешуге қажетті мәліметтерді білу жеткілікті. Дәріс барысында студенттер MATLAB жүйесін іске
●
Физика–математика ғылымдары
424
№1 2017 Вестник КазНИТУ
қосуды, жаңа программаны жасау үшін қажетті командалармен танысады. Физикалық процестерді
компьютерлік модельдеуді бастамастан бұрын, алдын ала MATLAB жүйесінің командалық
терезесінде жұмыс істеуді, программалар жазып, екі және үш өлшемді графиктер тұрғызуды,
анықталған интегралды есептеуді т.б. оқып үйренеді. Компьютерлік модельдеу белгілі бір реттілікпен
орындалуы тиіс. Тапсырманың мақсаты анықталып, концептуалды моделі жасалады. Одан кейін
модельді іске асырудың программа сы құрылады. Программа теріліп, алдыңғы пункттер
орындалғаннан кейін, нәтижесіне талдау жасалады және қорытындыланады. Практикумда
орындалатын жұмыстардың бірнешеуін қарастырайық [4].
Горизонтқа бұрыш жасай лақтырылған дене қозғалысын модельдеу
Тек ауырлық күші әсерінен болатын горизонтқа бұрыш жасай лақтырылған дене қозғалысын
(үйкеліссіз) қарастырайық. Мұндай жағдайда қозғалысты сипаттау үшін бір координата жеткіліксіз.
хОу координат жүйесін енгізу керек және Охөсін горизонталь, Оуөсін тік жоғары, не тік төмен
бағыттау керек. Дененің орны белгілі бір уақыт бойынша өзгеретін х және у екі координатамен
беріледі деп есептейміз. Координаттардың өзгеру заңын тағайындалады.
Есептің шарты бойынша денеге ауырлық күшінен басқа ешқандай күштер әсер етпейді деп
қарастырсақ, онда Охөсі бойынша қозғалыс бірқалыпты болады, ал дене абцисса бойымен:
t
х
х
заңдылығымен өзгереді, мұндағы
const
x
x
0
жылдамдықтың Охөсіне проекциясы
болады.
Ауырлық күші денеге тік төмен бағытталған
g
үдеу береді, сондықтан, Оуөсіндегі
жылдамдықтың проекциясы:
t
g
y
y
y
0
заңымен өзгереді, мұндағы υ
0у
, g
y
- бастапқы жылдамдықтың және еркін түсу үдеуінің осы
оське проекциясы, ал дене ординатасы уақыттың өтуіне орай былай өзгереді:
2
2
0
0
t
g
y
y
y
y
y
Траектория теңдеуін, яғни у(х) тәуелділігін соңғы өрнектен уақытты алып тастап табуға
болады. Уақытты абцисса арқылы өрнектейік:
x
x
t
0
және оны ордината өрнегіне қойсақ:
2
0
2
0
0
0
2
x
y
x
y
y
x
g
x
y
y
Мұндағы υ
0x
, υ
0y
, g
y
проекция таңбалары координат осьтерінің бағытына тәуелді.
Траекторияның әр нүктесінде дене жылдамдығы оған жанама бойымен бағытталған және оны екі
құраушыға жіктеуге болады:
y
x
мұндағы
x
x
0
. Жылдамдық модулі бұл жағдайда:
2
2
y
x
Бұл жұмыста келесі шамалардың өзара байланысын байқау керек: х және t, у және t, у және
х, сонымен қатар ұшу қашықтығының лақтыру бұрышына және бастапқы жылдамдық шамасына
тәуелділігін тағайындау керек.
|