Алматы 2017 январь



Pdf көрінісі
бет75/92
Дата03.03.2017
өлшемі28,19 Mb.
#7549
1   ...   71   72   73   74   75   76   77   78   ...   92

E

,  то  функция  ковариаций 

 


h

0,  1,  2,  



,  допускает  представление  (16),  где 



спектральная функция 

 


 

lim


M

M

F

F







, а 

 


M

F



 определена в (14).   

4.  3  Белый  шум.    Если  вещественный  стационарный  процесс 

 


,  

..., 1, 0, 1,...



x t



,  имеет 

постоянную  спектральную  плотность   

 





0

,  


,  

2

f













 



,  то  из  (15)  следует,  что 

 

0

h



при



0

. Обратно, пусть 

 

0

h



 при 



0

; тогда  

 


 



 Физика–математика ғылымдары 

 

448 



                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 



  



 

0,    


0,

cos


0 ,  

0.

h



h

f

d

h















 



                                       (17) 



 

Если  функция 

 

f

симметрична  относительно 

0

 

и  может  быть  представлена  рядом 

Фурье 

 


0



1

2

cos



cos 2

...


b

b

b





,  то 


  


2



cos

cos


h

h

f

d

b

h

d











 

 





и  левая  часть 



обращается  в  нуль  при

0

,  следовательно, 

0

h



  для 


0

.  Отсюда 

 

0

f



b

 

  и  из  того,  что 

 

 


0

f

d





 



  получаем 



 

0

0



2

b



.  Таким  образом,  на  интервале   



,  







  имеем 

 


 

0

2



f







 

Утверждение  4.    Если  вещественный  стационарный  процесс 

 


,  

,   1,  0,  1,  



x t







имеет 

симметричную 

спектральную 

плотность 

 


f





представимую 

рядом 

Фурье

 


0



1

2

cos



cos 2

...


b

b

b







, то необходимым и достаточным условием обращения в нуль 

функции 

ковариаций 

 


h



при 

0



является 

постоянство 

 


f





В 

этом 

случае

 


 

0

2



f







,



,  







 




 

5.  Оценка  спектральной  функции.    Пусть  стационарный  процесс 

 


,  

..., 1, 0, 1,...



x t



имеет 


среднее 

(математическое 

ожидание) 

 

и 



спектральную 

плотность 

 

f

 

(неизвестна).Рассмотрим задачу оценивания



 

f

по выборке 

 

 


1 ,...,



x

x n

считая 


известным.  



Решение.    Если  вспомнить  определение 

 


F

как  предела  последовательности  функций 

 

M

F

,  определенных  в  (14),  при



 

,  то  в  качестве  оценки 

 

f

по  выборке 

 

 


1 ,...,



x

x n

можно брать выражение 

 

 


 

 


 





2

1



1 cos

2 cos 2


...

cos


n

f

y

y

y n

n

n











,                  (18) 



где 

 


 

y t

x t



. Для него получим  

 

 



 





 


sin

cos


1

1

0 1



2

sin


n

n

n

f

n























E

 

 



 







 



1

1

sin



cos

1

2



1

cos


sin

n

i

n i

n

i

i

h

n

n































.                      (19)  

 

Устремляя 



n

к 

бесконечности 



и 

используя 

ряд 

Фурье 


 

 


 

 




1

0



2

1 cos


2

2 cos 2


...

2













функции 


 

f

найдем, 



что 

для 


всех 

 



 Физика–математика ғылымдары 

 

449 



                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 





,  





 


,  кроме


0

 

 



 

lim


n

n

f

f







E

,  а   


 

 


lim

0

2



0

n

n

f

f





E

.  Таким  образом, 

 

n

f

 

оказывается асимптотически несмещенной оценкой



 

f

для 


,  







 


0



 

6Линейное прогнозирование стационарных процессов 



Пусть  нам  известны  значения  процесса 

 




x t

в  моменты 

..., 2, 1, 0



 


,  и  мы  хотим 

предсказать 

 

1

x



  с  помощью  линейной  комбинации  значений 

 


 

 


...,  

2 ,  


1 ,  

0

x



x

x



воспользовавшись  методом  наименьших  квадратов.  Постановка  задачи.При  каких  условиях  на 

процесс  среднее  значение  квадрата  ошибки  предиктора  (прогноза)  положительно  и  при  каких 

условиях оно равно нулю? Ответ на этот вопрос был дан А.Н. Колмогоровым в 1941 году, [1], и, Н. 

Винером в 1949 году, [2].  

Решение. 

Обозначим 

через 

 


1

n

x

предиктор 

для

 


1

x

построенный 



по 



 

 


,  ... ,  

1 ,  


0

x

n

x

x



. Тогда  

 


 

0

1



in

n

i

n

x

a x i





,                                                                (20) 

 

где коэффициенты 



in

a

,  


,..., 1, 0

i

n

 


, минимизируют относительно 



in

a

 выражение  

 

 


 

2

0



1

min


in

i

n

x

a x i











E

.                                                     (21) 

Отсюда находим, что  

 





0

1

ij



in

j

n

a

j

 





,                                                                 (22)  



 

где 


1

ij

ij







  



 и 

ij



 – матрица размера 



 


1

1



n

n



 

 



 

 


 

 


 

 


 



0    

1     ...  

1    

0     ...  



. . . . . . . . . . . . . . . . .  

   


1   ...  

0

n



n

n

n



























,                                                          (23)  

образованная числами       

 




  

cos


h

h

h

f

d

















,                                                      (24)  

где 


 

f

–  спектральная  плотность  и 

 

h

–  функция  ковариации.  Как  и  раньше,  напомним, 

что 

для 


произвольного 

вещественного 

стационарного 

процесса 

 

x t

,  


..., 2, 1, 0, 1,...

 


с

 



0



x t



E

 справедливо 



 

h

h





,  и для 



,  





 


 

 



 



 

0

2 cos



h

h

dF









.                                                         (25) 

 


 



 Физика–математика ғылымдары 

 

450 



                                                                                           

№1 2017 Вестник КазНИТУ  

 

 


F

 

называется 



спектральной 

функцией 

стационарного 

процесса 

 

x t

Если 



 

F

абсолютно  непрерывнаи 

 

 


F

f





,  то 

 


f

называют  спектральной  плотностью 

процесса.  

Пусть теперь 

 

,  


..., 1, 0, 1,...

x t



–стационарный процесс, спектральная плотность которого 

равна 


 



2

1

,   



f















 



. Тогда функция ковариаций имеет вид  

 


2

1,             

0,

2

,  если   нечетно,



0,          если   четно. 

h

h

h

h

h









 







 

Решение.  Оценим

 


f

по выборке 

 

 


1 ,...,



x

x n

. Она имеет вид  (18), то есть 

 

 


 

 


 





2

1



1 cos

2 cos 2


...

cos


n

f

y

y

y n

n

n













где 

 


 

y t

x t



.  

Как  и  раньше,  эта  оценка 

 

n

f

  является  асимптотически  несмещенной  оценкой 

 

f

для


,  







 


0



 

 



Далее, 

по 


выборке 

 


 



1 ,...,

x

x n

оценим 


среднее 

(математическое  ожидание) 



,  то  есть 

 

1

1



n

i

x i

n



.  И  по  формуле  (18)  определим

 

n

f

Заменяем 



 

f

 на 


 

n

f

и вычислим по формуле (24): 

 





  


cos

n

h

h

h

f

d

















Далее, по формуле (22) находим  



0



1

ij

in

j

n

a

j

 







затем по формуле (20) построим предиктор (прогноз), то есть 

 


 

0

1



in

n

i

n

x

a x i





Задача прогнозирование является стохастической задачей. [3], [4].                                                                   



 

Экстраполирование функции 

Постановка  задачи.  Как  первая,  так  и  вторая  интерполяционные  формулы  Ньютона  могут 

быть  использованы  для  экстраполирования  функции,  то  есть  для  нахождения  значений  функции 

 

y x

 для значений аргументов 



x

, лежащих вне пределов таблицы. Если 

0

x

x

 и 



x

 близко к

0

x

, то 


выгодно применить первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда  

0

0



x

x

q

h



Если же 



n

x

x

 и 



x

 близко к 



n

x

, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой 

Ньютона, причем  

0

n



x

x

q

h





 




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   71   72   73   74   75   76   77   78   ...   92




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет