E
, то функция ковариаций
h
,
0, 1, 2,
h
, допускает представление (16), где
спектральная функция
lim
M
M
F
F
, а
M
F
определена в (14).
4. 3 Белый шум. Если вещественный стационарный процесс
,
..., 1, 0, 1,...
x t
t
, имеет
постоянную спектральную плотность
0
,
,
2
f
, то из (15) следует, что
0
h
при
0
h
. Обратно, пусть
0
h
при
0
h
; тогда
●
Физика–математика ғылымдары
448
№1 2017 Вестник КазНИТУ
0,
0,
cos
0 ,
0.
h
h
f
d
h
(17)
Если функция
f
симметрична относительно
0
и может быть представлена рядом
Фурье
0
1
2
cos
cos 2
...
b
b
b
, то
2
cos
cos
h
h
f
d
b
h
d
и левая часть
обращается в нуль при
0
h
, следовательно,
0
h
b
для
0
h
. Отсюда
0
f
b
и из того, что
0
f
d
получаем
0
0
2
b
. Таким образом, на интервале
,
имеем
0
2
f
.
Утверждение 4. Если вещественный стационарный процесс
,
, 1, 0, 1,
x t
t
,
имеет
симметричную
спектральную
плотность
f
,
представимую
рядом
Фурье
0
1
2
cos
cos 2
...
b
b
b
, то необходимым и достаточным условием обращения в нуль
функции
ковариаций
h
при
0
h
является
постоянство
f
.
В
этом
случае
0
2
f
,
,
.
5. Оценка спектральной функции. Пусть стационарный процесс
,
..., 1, 0, 1,...
x t
t
,
имеет
среднее
(математическое
ожидание)
и
спектральную
плотность
f
(неизвестна).Рассмотрим задачу оценивания
f
по выборке
1 ,...,
x
x n
считая
известным.
Решение. Если вспомнить определение
F
как предела последовательности функций
M
F
, определенных в (14), при
M
, то в качестве оценки
f
по выборке
1 ,...,
x
x n
можно брать выражение
2
1
1 cos
2 cos 2
...
cos
n
f
y
y
y n
n
n
, (18)
где
y t
x t
. Для него получим
sin
cos
1
1
0 1
2
sin
n
n
n
f
n
E
1
1
sin
cos
1
2
1
cos
sin
n
i
n i
n
i
i
h
n
n
. (19)
Устремляя
n
к
бесконечности
и
используя
ряд
Фурье
1
0
2
1 cos
2
2 cos 2
...
2
функции
f
,
найдем,
что
для
всех
●
Физика–математика ғылымдары
449
№1 2017 Вестник КазНИТУ
,
, кроме
0
,
lim
n
n
f
f
E
, а
lim
0
2
0
n
n
f
f
E
. Таким образом,
n
f
оказывается асимптотически несмещенной оценкой
f
для
,
,
0
.
6Линейное прогнозирование стационарных процессов
Пусть нам известны значения процесса
x t
в моменты
..., 2, 1, 0
t
, и мы хотим
предсказать
1
x
с помощью линейной комбинации значений
...,
2 ,
1 ,
0
x
x
x
,
воспользовавшись методом наименьших квадратов. Постановка задачи.При каких условиях на
процесс среднее значение квадрата ошибки предиктора (прогноза) положительно и при каких
условиях оно равно нулю? Ответ на этот вопрос был дан А.Н. Колмогоровым в 1941 году, [1], и, Н.
Винером в 1949 году, [2].
Решение.
Обозначим
через
1
n
x
предиктор
для
1
x
,
построенный
по
, ... ,
1 ,
0
x
n
x
x
. Тогда
0
1
in
n
i
n
x
a x i
, (20)
где коэффициенты
in
a
,
,..., 1, 0
i
n
, минимизируют относительно
in
a
выражение
2
0
1
min
in
i
n
x
a x i
E
. (21)
Отсюда находим, что
0
1
ij
in
j
n
a
j
, (22)
где
1
ij
ij
и
ij
– матрица размера
1
1
n
n
0
1 ...
1
0 ...
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1 ...
0
n
n
n
n
, (23)
образованная числами
cos
h
h
h
f
d
, (24)
где
f
– спектральная плотность и
h
– функция ковариации. Как и раньше, напомним,
что
для
произвольного
вещественного
стационарного
процесса
x t
,
..., 2, 1, 0, 1,...
t
с
0
x t
E
справедливо
h
h
, и для
,
0
2 cos
h
h
dF
. (25)
●
Физика–математика ғылымдары
450
№1 2017 Вестник КазНИТУ
F
называется
спектральной
функцией
стационарного
процесса
x t
.
Если
F
абсолютно непрерывнаи
F
f
, то
f
называют спектральной плотностью
процесса.
Пусть теперь
,
..., 1, 0, 1,...
x t
t
–стационарный процесс, спектральная плотность которого
равна
2
1
,
f
. Тогда функция ковариаций имеет вид
2
1,
0,
2
, если нечетно,
0, если четно.
h
h
h
h
h
Решение. Оценим
f
по выборке
1 ,...,
x
x n
. Она имеет вид (18), то есть
2
1
1 cos
2 cos 2
...
cos
n
f
y
y
y n
n
n
,
где
y t
x t
.
Как и раньше, эта оценка
n
f
является асимптотически несмещенной оценкой
f
для
,
,
0
.
Далее,
по
выборке
1 ,...,
x
x n
оценим
среднее
(математическое ожидание)
, то есть
1
1
n
i
x i
n
. И по формуле (18) определим
n
f
.
Заменяем
f
на
n
f
и вычислим по формуле (24):
cos
n
h
h
h
f
d
.
Далее, по формуле (22) находим
0
1
ij
in
j
n
a
j
,
затем по формуле (20) построим предиктор (прогноз), то есть
0
1
in
n
i
n
x
a x i
.
Задача прогнозирование является стохастической задачей. [3], [4].
Экстраполирование функции
Постановка задачи. Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут
быть использованы для экстраполирования функции, то есть для нахождения значений функции
y x
для значений аргументов
x
, лежащих вне пределов таблицы. Если
0
x
x
и
x
близко к
0
x
, то
выгодно применить первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда
0
0
x
x
q
h
.
Если же
n
x
x
и
x
близко к
n
x
, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой
Ньютона, причем
0
n
x
x
q
h
.
|