Физика–математика ғылымдары
451
№1 2017 Вестник КазНИТУ
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используются для
интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона,
наоборот, – для интерполирования назад и экстраполирования вперед.
Операцияэкстраполирования, вообще говоря, менее точна, чем операция экстраполирования в
узком смысле слова.
Первая интерполяционная формула Ньютона. Пусть для функции
y
f x
заданы
значения
i
i
y
f x
для
равноотстоящих
значений
независимой
переменной:
0
,
0,1, 2,...,
i
x
x
ih i
n
, где
h
– шаг интерполяции. Требуется подобрать полином
n
P x
степени
не выше
n
, принимающий в точках
i
x
значения
,
0,1,...,
n
i
i
P x
y
i
n
. (26)
Полином
n
P x
имеет вид[3]
2
0
0
0
0
1
1 ...
1
...
2!
!
n
n
q q
q q
q
n
P x
y
q y
y
y
n
, (27)
где
0
x
x
q
h
представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки
x
, исходя
из точки
0
x
,
– конечная разность,
1
const.
i
i
i
x
x
x
h
Конечные разности
последовательности
i
y
определяются соотношениями
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
,
2
,
...
1
.
1
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
n
i
i
i
i
n i
n i
n i
i
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
Вторая интерполяционная формула Ньютона.
2
3
1
2
3
0
1
1
2
1 ...
1
...
2!
3!
!
n
n
n
n
n
n
q q
q q
q
q q
q n
P x
y
q y
y
y
y
n
, (28)
где
n
x
x
q
h
.
Эта задача экстраполяции является детерминированной задачей. [5].
Практическое применение. Нами была прогнозирована цена на нефть сортаBrentна
Лондонской международной бирже (InternationalPetroleumExchange,ITE) тремя способами: 1.
Линейное прогнозирование стационарных процессов, 2. Экстраполяция.
Стоимость нефти сорта Brent (долларов за баррель) за 10 месяцев 2016 года
Jan.
Feb.
March
April
May
June
July
August
Sept.
October
34.73
35.97
38.66
48.14
49.67
49.72
42.49
47.04
49.05
52.47
1. Линейное прогнозирование стационарных процессов. Составим выборку
, ... ,
1 ,
0
x
n
x
x
:
9
34.73
x
,
8
35.97
x
,
7
38.66
x
,
6
48.14
x
,
5
49.67
x
,
4
49.72
x
,
3
42.49
x
,
2
47.04
x
,
1
49.05
x
,
0
52.47
x
или в
новых
обозначениях
1
34.73
x
,
2
35.97
x
,
3
38.66
x
,
4
48.14
x
,
●
Физика–математика ғылымдары
452
№1 2017 Вестник КазНИТУ
5
49.67
x
,
6
49.72
x
,
7
42.49
x
,
8
47.04
x
,
9
49.05
x
,
10
52.47
x
.
Рассмотрим стационарный процесс
,
..., 1, 0, 1,...
x t
t
спектральная плотность которого
равна
2
1
,
f
. Тогда функция ковариаций имеет вид
2
1,
0,
2
, если нечетно,
0, если четно.
h
h
h
h
h
Теперь вычислим для нашей выборки
1
34.73
x
,
2
35.97
x
,
3
38.66
x
,
4
48.14
x
,
5
49.67
x
,
6
49.72
x
,
7
42.49
x
,
8
47.04
x
,
9
49.05
x
,
10
52.47
x
функции ковариаций для
0
1, =1,2,...,10
h
i
i
по формуле
2
1,
1,
2
, если нечетно,
0, если четно.
i
i
i
i
i
В результате имеем
(1) 1
,
(2)
0
,
(3)
0.0450
,
(4)
0
.
(5)
0.0162
,
(6)
0
,
(7)
0.0083
,
(8)
0
,
(9)
0.0050
,
(10)
0
. Далее, составим матрицу
Вычислим
in
a
по формуле
10
1
in
ij
j
a
j
,
●
Физика–математика ғылымдары
453
№1 2017 Вестник КазНИТУ
затем по формуле (20) построим предиктор (прогноз) цены на нефть сорта Brent на ноябрь
(11-й месяц) 2016 года, то есть
10
1
11
41.4374466540999933
in
n
i
x
a x i
41.4374
.
Замечание. Задачу оценивания
f
по выборке
1 ,...,
x
x n
считая
известным, мы не
можем решить, и, затем, применить для решения нашей задачи, так как в нашем случае
неизвестно.
Все вычисления проводились на Maple 13.
2. Экстраполяция. Воспользуемся второй интерполяционной формулой Ньютона (28). Для
этого определим
( )
( ),
1,..,10
i
i
y
x t
x i
i
. Положим
1
1
1
i
i
i
i
i
x
x
x
h
t
t
, то есть в этой
задаче экстраполяции шаг
h
есть приращение месяца, а цена на нефть есть значение функции
i
y
.
Тогда в новых обозначениях имеем:
1
34.73
y
,
2
35.97
y
,
3
38.66
y
,
4
48.14
y
,
5
49.67
y
,
6
49.72
y
,
7
42.49
y
,
8
47.04
y
,
9
49.05
y
,
10
52.47
y
. Вычислим конечные
разности последовательности
i
y
соотношениями
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
,
2
,
...
1
.
1
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
n
i
i
i
i
n i
n i
n i
i
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
В результате получим:
10
52.47
y
,
9
10
9
3.42
y
y
y
,
2
8
10
9
8
2
1.41
y
y
y
y
,
3
7
3.95
y
,
4
6
18.27
y
,
5
5
51.65
y
,
6
4
109.89
y
,
7
3
205.26
y
,
8
2
371.24
y
,
9
1
682.60
y
. Теперь построим многочлен
( )
n
P t
по формуле (28). Для этого из
n
x
x
q
h
и
10
10
,
10,
,
1
x
t n
x
t
h
определим
10
10
n
q
x
x
t t
t
, и получим
2
3
9
10
10
9
8
7
1
1
1
2
1 ...
8
( )
...
2!
3!
9!
q q
q q
q
q q
q
P t
y
q y
y
y
y
.
Легко проверить, что построенный нами второй интерполяционный полином Ньютона
10
P
t
верно, так как выполнено условие
10
,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
i
i
i
P
t
y
t
. Осталось
вычислить
10
P
t
при
11
t
(цена за ноябрь), то есть
10
11
P
1500.16
. Как видим эта цена завышена
в разы. Напрашивается вывод.
Вывод. Не все цены на нефть (по месяцам) являются стохастическими и (или)
детерминированными, поэтому прогноз цены на нефть методами линейного прогнозирования
стационарных процессов и экстраполяции нельзя. Эти прогнозы приводят к неверным результатам.
Все вычисления проводились на Maple 13.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Колмогоров А.Н. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве //
Бюллетень Московского университета. – Т. 2. – № 6. – С. 1-40.
[2] Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. – New York: John
Wiley, 1949. – 532 p.
[3] Уилкс С. Математическая статистика. – М.: Наука, 1967. – 632 с.
[4] KanatShakenov. The Solution of the Inverse Problem of Stochastic Optimal Control // Rev. Bull.
Cal. Math. Soc. – 2012. – N 20 (1). – P. 43-50.
●
Физика–математика ғылымдары
454
№1 2017 Вестник КазНИТУ
[5] Демидович Б.П. и Марон И.А. Основы вычислительной математики. – Изд. четвертое,
исправленное.– М.: Наука, 1970. – 664 c.
Шакенов Қ.Қ., Кенжалиев О.Б.
Кейбір болжамалау және экстраполяциялау есебін шешу
Достарыңызбен бөлісу: |