Практикум по алгебре
Z }. Доказать , что Н подгруппа в Z
жүктеу/скачать 0,63 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 4. Векторные и евклидовы пространства
| Z
}. Доказать , что Н подгруппа в Z , следовательно , циклическая подгруппа . Найти образующие элементы Н . 13. Доказать , что если в группе ⋅ ; G подмножество Н является подгруппой , то для любого a ∈ G подмно - жество a --1 Ha также является подгруппой . 14. Доказать , что если в группе ⋅ ; G подмножества H 1 , H 2 являются подгруппами , причем H 1 нормальная подгруппа , то H 1 H 2 также является подгруппой . 15. Доказать , что если в конечной группе ⋅ ; G порядки подгрупп H 1 , H 2 — числа взаимно простые , то H 1 I H 2 = { e }. 81 16. Доказать , что в абелевой группе если элемент а имеет конечный порядок , а элемент b имеет бесконечный порядок , то элемент а b имеет бесконечный порядок . 17. Доказать , что в группе невырожденных n × n - матриц над R если элемент А имеет конечный порядок , то det A = ± 1. Привести пример , показывающий , что обратное утверждение неверно . 18. Доказать , что если z ∈ C * и имеет конечный порядок , то z является корнем некоторой натуральной степени из 1. Верно ли обратное утверждение ? 19. Пусть G = ( a ) — циклическая группа порядка n . Доказать , что для любого натурального числа d , являюще - гося делителем числа n , существует , причем единственная , подгруппа Н порядка d . 20. Доказать , что если ϕ : G 1 → G 2 — гомоморфизм групп и a ∈ G 1 , причем порядок а конечный , то ord a де - лится на ord ϕ ( a ) . 21. Доказать , что если в абелевой группе порядки элементов а и b конечные , то их произведение также имеет конечный порядок , причем ord a ⋅ ord b делится на ord ab . 22. Пусть ⋅ ; G — абелева группа , H — множество всех элементов из G , имеющих конечный порядок . До - казать : а ) Н — подгруппа группы G ; б ) любой элемент из фактор - группы G/H , отличный от нейтрального , имеет бесконечный порядок . 23. Доказать по крайней мере двумя способами , что C * / 5 1 ≅ C * . 24. Доказать , что в группе Q / Z : а ) каждый элемент имеет конечный порядок ; б ) для любого n ∈ N имеется в точности одна подгруппа порядка n ; в ) эта подгруппа циклическая . 25. Доказать , что группа Z /7 Z циклическая . 26. Доказать , что если в группе ⋅ ; G H 1 и H 2 — нормальные подгруппы , причем H 1 I H 2 = { e }, то любой элемент из H 1 перестановочен с любым элементом из H 2 . 27. Пусть G ⊂ S n — подгруппа группы подстановок и G содержит хотя бы одну нечетную подстановку . Пусть Н — множество всех четных подстановок , содержащихся в G . Доказать , что Н — нормальная подгруппа группы G . 28. G 1 и G 2 — конечные группы порядков 48 и 36 соответственно . Существует ли эпиморфизм G 1 на G 2 ? 29. Существует ли эпиморфизм 24 1 на S 3 ? Если существует , то привести пример . Если не существует , то объяснить причину . 30. Существует ли эпиморфизм циклической группы порядка 48 на циклическую группу порядка 8? Если су - ществует , то привести пример . Обобщить задачу . 31. а ) Доказать , что любая группа прядка 4 абелева . Изоморфны ли все эти группы ? б ) Те же вопросы для групп порядка 5. 32. Может ли группа быть изоморфной своей фактор - группе ? 33. а ) Доказать , что если конечная группа G 1 эпиморфно отображается на груп - пу G 2 , то порядок группы G 1 делится на порядок группы G 2 . б ) Пользуясь этим , найти все гомоморфизмы Z 12 → Z 25 . 34. Доказать , что не существует эпиморфизма группы + ; Q на группу + ; Z . 35. Пусть • ; G — конечная циклическая группа . Доказать , что группа o ; 1 G является эпиморфным об - разом • ; G тогда и только тогда , когда G 1 циклическая группа и порядок G 1 делит порядок G . 36. Доказать , что в группе + ; Z любая ненулевая подгруппа изоморфна самой группе . 37. Пусть ϕ : G 1 → G 2 — гомоморфизм групп • ; 1 G и o ; 2 G . Доказать , что полный прообраз любого эле - мента из G 2 либо пуст , либо представляет собой левый ( = правый ) смежный класс группы G 1 по подгруппе Н = Ker ϕ . 38. Доказать , что группа ⋅ ; G абелева тогда и только тогда , когда отображение ϕ : x → x –1 является авто - морфизмом группы . 39. Пусть ⋅ ; G — группа , ρ — отношение эквивалентности на G , стабильное справа , то есть удовлетворяю - щее условию a ρ b ⇒ ( ∀ c )( ac ρ bc ). Доказать , что ρ является отношением правой смежности для некоторой подгруппы Н , то есть , что существует подгруппа Н группы G , такая , что a ρ b ⇔ Ha = Hb . 40. Что общего между понятиями « порядок группы » и « порядок элемента группы »? 82 41. Изобразить на диаграмме Эйлера - Венна следующие классы объектов . Ответ объяснить . А — множество всех циклических групп . В — множество всех коммутативных групп . С — множество всех групп подстановок . D — множество всех групп невырожденных матриц . Е — множество всех конечных групп . § 4. Векторные и евклидовы пространства 1. Доказать , что если U подпространство векторного пространства V , a ∈ U , a ≠ θ , b ∉ U , то векторы а и b линейно независимы . 2. Что представляют собой сумма и пересечение подпространства U симметрических матриц и подпростран - ства W верхних треугольных матриц в пространстве квадратных матриц над полем P ? 3. Пусть x 0 ∈ [0; 1]. Доказать , что пространство C [0;1] непрерывных на сегменте [0;1] действительных функций является прямой суммой подпространства U констант и подпространства 0 x I функций , обращающихся в нуль в точке x 0. 4. а ) Сколько элементов содержит векторное пространство Z n p ? б ) Сколько упорядоченных базисов имеет это векторное пространство ? 5. Пусть U 1 и U 2 подпространства векторного пространства V . Доказать , что если dim ( U 1 + U 2 ) = dim ( U 1 I U 2 ) +1, то : а ) U 1 + U 2 равняется одному из этих подпространств , а U 1 I U 2 — другому ; б ) одно из подпространств содержится в другом подпространстве ; в ) справедливы ли обратные утверждения ? 6. Доказать , что пространство R n есть прямая сумма подпространств U и W , где U = { x = ( α 1 , α 2 , … , α n ): α 1 + α 2 + … + α n = 0}; W = { x = ( α 1 , α 2 , … , α n ): α 1 = α 2 = … = α n }. Найти проекции единичных векторов e i на U параллельно W и на W парал - лельно U . 7. Образует ли множество верхних треугольных матриц подалгебру в линей - ной алгебре квадратных матриц над полем P ? Если образует , то какова ее размерность ? 8. Пусть U подпространство пространства P [ x ] всех многочленов над полем P , обладающее свойствами : 1) для любых k жүктеу/скачать 0,63 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|