Практикум по алгебре
жүктеу/скачать 0,63 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 3. Группы
|
R n → R n задается правилом ϕ ( х ) = хА . Доказать , что ϕ биекция . 13. Известно , что для матриц А и В выполняются условия А + В = Е ; А + В = 0. Доказать , что А 2 = А , В 2 = В , ВА = 0. 14. Коэффициенты при неизвестных в системе n линейных уравнений с n неизвестными обладают следующим свойством : система разрешима при любых значениях свободных членов . Следует ли отсюда , что матрица коэффициентов невырожденная ? 15. Как изменится А –1 , если в матрице А : a) переставить i- ю и j- ю строки ; b) i- ю строку умножить на λ ≠ 0; c) i - ю строку умножить на λ и прибавить к j - й строке ? 16. Доказать , что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю . 17. Пусть A = ( a ij ), A * = ( A ij ) где A ij – алгебраические дополнения элементов a ij . Доказать , что если det A = 0, то r ( A * ) ≤ 1 ( матрица A * называется присоединенной к матрице А ). 18. Доказать , что если какая - либо строка квадратной матрицы состоит только из единиц , то сумма алгебраиче - ских дополнений всех элементов этой матрицы равна определителю этой матрицы . 19. Вычислить определитель путем возведения его в квадрат : a b c d b a d c c d a b d c b a − − − − − − 20. Найти связь между определителем матрицы А = ( a ij ) и определителем присоединенной матрицы A * = ( A ij ). 21. Доказать , что если А и В ненулевые квадратные матрицы , такие , что AB = 0, то det A = det B = 0. 22. При каких λ ∈ C умножение квадратной матрицы А порядка n на λ не изменяет определителя матрицы ? Найти общий вид всех таких λ . 23. Вычислить определители порядка n : 79 1 0 0 ... 0 0 0 0 ... 1 ... ... ... ... ... 0 0 1 ... 0 0 1 0 ... 0 ; . 0 ... 0 0 1 1 ... 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 .. 1 0 0 0 ... 0 1 0 24. Как изменится определитель , если каждый элемент матрицы , являющийся комплексным числом , заменить на комплексно сопряженное число ? 25. У квадратной матрицы сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами . Мож - но ли сказать , чему равен определитель этой матрицы ? 26. Для невырожденной квадратной целочисленной матрицы обратная ей матрица также целочисленная . Ка - ким может быть определитель матрицы ? 27. Пусть векторы а 1 , а 2 , …, а k являются линейными комбинациями векторов b 1 , b 2 , …, b k . Доказать , что если a i = ∑ = k j j b ij 1 α и det ( α ij ) ≠ 0, то r ( а 1 , а 2 , … , а k ) = r ( b 1 , b 2 , … , b k ). 28. Как изменится определитель , если каждый элемент матрицы заменить элементом , симметричным ему от - носительно центра матрицы ? 29. Определим на C отношение ρ таким образом : ( z 1 , z 2 ) ⇔ ∈ ρ z 1 – z 2 ∈ R . Доказать , что ρ отношение эквива - лентности . Найти геометрическое представление для классов эквивалентности . 30. ϕ : C * → R * по правилу ϕ ( z ) = z . Доказать , что ϕ сохраняет операцию умножения . Изобразить ϕ геомет - рически . 31. ϕ : C * → R * по правилу ϕ ( z ) = z z . Доказать , что ϕ сохраняет операцию умножения . Изобразить ϕ геомет - рически . 32. Доказать , что сумма всех корней степени n из произвольного комплексного числа равна нулю . 33. Найти все комплексные числа , комплексно сопряженные своей n - й степени . 34. Изобразить на плоскости множество точек , соответствующих комплексным числам z , удовлетворяющим условиям : a) 0 < Re iz < 1; b) Re z + Im z < 1. 35. Изобразить геометрически множество комплексных чисел z , удовлетворяющим условиям 7 5 + − z z = cos α + i sin α , где α∈ R . 36. Изобразить геометрически множество комплексных чисел z , удовлетворяющим условию arg ( z + 3 – 2 i ) = 4 π . 37. Известно , что матриц a А невырожденная . Определить , истинно или ложно высказывание ( ответ обосно - вать ): a) строки матрицы линейно независимы , а относительно столбцов ничего конкретного сказать нельзя ; b) det A ≠ 0; c) для любой квадратной матрицы В такого же порядка det AB ≠ 0; d) для любой квадратной матрицы В такого же порядка матриц a АВ также невырожденная ; e) ранг матрицы А равен числу столбцов этой матрицы . Изобразить на диаграмме Эйлера - Венна следующие классы объектов . Ответ обосновать . 38. А — множество всех квадратных матриц порядка n . В — множество всех невырожденных матриц порядка n С — множество всех матриц порядка n , определитель которых отличен от нуля . D — множество всех квадратных матриц порядка n , ранг которых равен n –1 ( здесь n > 2). 39. А — множество всех квадратных матриц , определитель которых равен нулю . В — множество всех квадратных матриц . 80 С — множество всех обратимых матриц . D — множество всех квадратных матриц , являющихся основными матрица - ми однородных систем линейных уравнений , имеющих ненулевые ре - шения ( все матрицы одинакового порядка ). § 3. Группы 1. Доказать , что если на множестве А задана бинарная ассоциативная операция o , то при любом способе рас - становки скобок произведение элементов а 1 , а 2 , … , а n в заданном порядке равно произведению (( … (( а 1 o а 2 ) o … ) o а n --1 ) o а n . 2. А . Доказать , что множество матриц вида a a a a , где а ∈ R * , замкнуто отно - сительно обычного умножения матриц . Б . Найти истинностные значения следующих высказываний . Обосновать свои выводы : а ) данное множество не группа , так как не содержит единичной матрицы ; б ) данное множество группа : для нее справедливы все аксиомы группы ; в ) множество не группа , так как содержит только вырожденные матрицы а они не имеют обратных ; г ) является группой , так как операция умножения матриц ассоциативна и в этом множестве определена операция , обратная для умножения : ( а ):( b ) = ( b a ). 3. Пусть Н 1 и Н 2 подгруппы группы ⋅ ; G . Доказать : Н 1 Н 2 — подгруппа группы G тогда и только тогда , ко - гда H 1 H 2 = H 2 H 1 . 4. Найти все подгруппы циклической группы порядка 10. 5. Доказать , что множество корней всевозможных натуральных степеней из 1 образует подгруппу в группе 〈 C ∗ ; ⋅〉 . 6. Пусть ⋅ ; G — группа , H — подгруппа группы G , N H = { x : x -1 Hx = H }. а ) Доказать , что N H подгруппа группы G . б ) Доказать , что N H наибольшая ( по включению ) подгруппа среди всех под - групп , для которых Н является нормальной подгруппой . 7. Доказать , что всякая бесконечная группа содержит бесконечно много подгрупп . 8. Доказать , что множество всех четных подстановок A n n- элементного множества составляет подгруппу в группе всех подстановок S n , не пользуясь разложением подстановки в произведение транспозиций . 9. Доказать , что если порядок элемента а группы G равен n , то a k = e тогда и только тогда , когда k делится на n . 10. Доказать , что всякая конечная подгруппа группы ⋅ ∗ ; C является циклической группой . 11. Доказать , что всякая конечная мультипликативная числовая полугрупп a S является группой или группой с нулем . Как устроены такие полугруппы порядка n ? 12. В группе + ; Z рассмотрим множество H = { x : x = 15 a + 10 b , a , b ∈ жүктеу/скачать 0,63 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|