Рис. 3. Графический образ n-мерного пространственно-временного критерия

 
95
целом. Если же личностная среда по своим показателям явно отстает от скорости процес-
сов  природно-социальной  среды,  то  можно  с уверенностью  сказать,  что  зона  стягивания 
находится в точке 2, в которой учитываются требования личностной среды по обеспече-
нию  ее  соответствующими  ресурсами,  технологиями  и  капиталом  с  учетом  адекватного 
состояния  подсистем  динамическому  критерию.  Зоны 1 и 2, отражающие  скорость  при-
родно-социальных  и  личностных  процессов  будут  стягиваться  в  зону 3 социально-
экономической среды, где формируется институциональная структура, генерирующая об-
мен  информацией  и  рождение  новых  идей  в  сознании  субъектов  по  повышению  эффек-
тивности хозяйственной деятельности. 
Наличие  пространственно-временной  структуры  связей  между  компонентами 
этих  подсистем  очевидно.  Воздействуя  на  один  из  элементов  подсистемы,  неминуем  от-
клик  системы  в  целом,  поскольку  само  по  себе  наличие  структуры  всегда  предполагает 
некую потерю степени свободы. Под функционированием системы понимается действие 
системы во времени. Изменение структуры системы во времени можно рассматривать как 
эволюцию системы. Цель системы – предпочтительное для нее состояние, к которому она 
будет стремиться (достижение динамического критерия эффективности). Для достижения 
цели используется принцип обратной связи на основе временного механизма самооргани-
зации системы – воздействие времени функционирования системы на характер функцио-
нирования.  Усилить  характер  функционирования  системы,  например,  ускорить  отстаю-
щие процессы адаптации личностной среды в части неформальных институтов (повыше-
ния  экологического  сознания,  нравственности,  ценности  времени  и  т.д.)  к  требованиям 
природной среды, возможно путем отрицательной обратной связи. Суть ее – создание та-
ких  формальных  институтов,  информационные  сигналы  которых  стимулируют  принятие 
оптимальных  решений  в  пользу  природной  подсистемы  на  уровне  индивидуума  за  счет 
ускорения времени в личностной среде. С помощью положительной обратной связи мож-
но замедлить нежелательные процессы определенной среды, или намеренно привести си-
стему  в  неустойчивое  состояние  за  счет  замедления  времени,  формируя  точку  бифурка-
ции.  
Таким образом, влияние на время протекания процессов определенной среды си-
стемы будет вызывать синергетические изменения системы в целом, что позволяет утвер-
ждать  об  управляющей  роли  времени  в  процессе  самоорганизации  социо-эколого-
экономической системы. 
 
 

 
96
Т.М. Гатауллин, С.В. Николотова 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАЧЕСТВА ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА

 
И сказал Ему диавол: если  
Ты Сын Божий, то вели этому 
камню сделаться хлебом. 
Иисус сказал ему в ответ: 
написано, что не хлебом одним 
будет жить человек, но всяким 
Словом Божиим 
(Евангелие от Луки гл.4) 
1. Постановка общей задачи оптимизации 
В работе [1] был предложен подход, применимый к широкому кругу экономиче-
ских и социальных явлений. В этой работе речь идет о сравнении уровня развития обще-
ственного производства, а также о сравнении уровня жизни или качества жизни в различ-
ных странах. Суть метода состоит в следующем. 
Отбираются n показателей, примерно одинаково важных и в своей совокупности 
достаточно  хорошо  оценивающих  состояние  анализируемой  системы.  Эти  показатели 
нормируют. Задается вектор А нормированных показателей – это некоторое желательное 
соотношение показателей состояния системы. Теперь используется управляющее воздей-
ствие на систему, которое переводит ее в некоторое состояние S. Скалярное произведение 
(A, S) характеризует  одновременно  и  количественную  характеристику  достигнутого  со-
стояния S, и степень его уклонения от вектора А. 
Сформулируем принципиально другую постановку задачи оптимизации. 
Пусть А – некоторый n-мерный вектор-столбец, A≥0, этот вектор описывает неко-
торое  желаемое  состояние  системы.  Х – также n-мерный  вектор-столбец,  описывающий 
переменное состояние системы. 
Имеется  возможность  воздействовать  на  вектор  Х  путем,  например,  денежных 
инвестиций – при  вложении в i-ю компоненту вектора Х денежной суммы у компонента 
x
i
 изменяется некоторым образом. 
Спрашивается, какой максимальной величины может достичь функционал F(X,A) 
= (|X|/|A|)·cos(X,A), если в наличии имеется денежная сумма М? 
Сформулируем  содержательно  рассматриваемую  задачу.  Вектор  А  задает  жела-
тельное  соотношение  компонент  состояния  системы.  Задача  управления  состоит  в  том, 
чтобы (например, посредством денежных вливаний) перевести систему в состояние, при 
котором максимально скалярное произведение вектора  этого состояния и вектора А, т.е. 
чтобы вектор состояния как бы в максимальное число раз превосходил вектор А. 
                                                 

 Работа финансово поддержана грантом РФФИ №11-06-00219-а. 

 
97
Перейдем  к  эквивалентной,  но  более  удобной  постановке  и  более  удобным  обо-
значениям рассматриваемой задачи. Начальное  состояние системы пусть будет вектор 0. 
При  вложении  в i-ю  компоненту  вектора  состояний  Х  становится  равной  f
i
(y).  Всюду  в 
дальнейшем предполагается, что вся денежная сумма M>0. Так как 
F(X,A) = (|X|/|A|)·cos(X,A) = (|X|/|A|cos(X,A))/ (|А|/|A|) = (X,A)/А
2
 , то  учитывая, 
что А есть некоторый постоянный вектор, так что длина его тем более постоянна, получа-
ем следующую максимизационную задачу: 
(A
T
, X) max 
(A
T
, F(Y)) max                                                                       (1) 
I
T
·Y ≤ M                           или  
I
T
·Y ≤ M, 
где F(Y) есть  вектор  (столбец)-функция (f
1
(y), ……… f
n
(y)),  а I есть  вектор-столбец,  все 
компоненты которого есть 1 и верхний индекс 
T
, означает операцию транспонирования. В 
дальнейшем будем опускать знак операции транспонирования. 
 
2. Необходимые уточнения постановки задачи 
Без соответствующих уточнений задача (1) не имеет практического и теоретиче-
ского смысла. В самом деле пусть А=(1,1), F(Y)=(y
1
, 2y
2
), тогда получим конкретную за-
дачу: 
y
1
+2y
2
  max                                                                                                                 (2) 
y
1
+y
2
 ≤ M . 
Если допустимы отрицательные значения переменной y
1
, то целевая функция не 
ограничена в направлении максимума и, значит, задача решения не имеет. 
Имеет  смысл  считать  также,  что  А>0.  В  самом  деле,  пусть  А=(0,1).  
F(Y)=(y
1
, y
2
), тогда получим такую конкретную задачу: 
y
2
  max                                                                                                                    (2’) 
y
1
+y
2
 = 1. 
Если других ограничений нет, то целевая функция не ограничена в направлении 
максимума, и, значит, задача решения не имеет.  
Эти  и  другие  соображения  вынуждают  наложить  те  или  другие  (в  общем,  есте-
ственные) ограничения на вектор А и управляющие переменные. 
 
3. Аналитическое решение задачи 
Будем  считать  вектор  А  положительным,  а  функции  f
i
(y)  возрастающими. 
Остальные дополнительные требования будут изложены позднее. Итак, задача (1) стано-
вится такой: 
A>0, f
i
(y) – возрастающие функции 
(A, F(Y)) max 
                                                                                                       (3) 
IY≤M . 

 
98
Считаем, что f
i
(y)≥0, если у≥0 – и представляется естественным. В таком случае 
максимальное  значение  выражения (A, F(Y)) неотрицательно  и  потому  на  максимизиру-
ющем значении Y
T
 неравенство IY≤M должно быть равенством. Действительно, предпо-
ложим  противное,  т.е.  что IYтельными,  так  что  какая-то  компонента  вектора Y положительна,  поэтому  существует 
Z≥Y и такой, что IZ=M. Так как функции f
i
(y) неубывающие, то (A, F(Z))≥(A, F(Y)), что и 
требовалось доказать. 
Следовательно, задача (3) эквивалентна такой: 
A>0, f
i
 – возрастающие функции 
(A, F(Y))  max                                                                                                          (4) 
IY=M. 
Для решения этой задачи составим функцию Лагранжа 
L(Y,s)=(A,F(Y))+s(M-IY) и получим систему уравнений  
а
i
 f
i
’
(y
i
)-s=0  для каждого i=1,……n  
IY=M. 
Пример: Пусть  А=(1,1), f
i
(у)=√у
i
 , т.е. имеем задачу 
√у
1
+√у
2
max 
y
1
+y
2
=M. 
Получаем y
1
*
=y
2
*
=M/2. 
Тем не менее, условия задачи (4) не гарантируют, что у>0 (см.п.2). Но если у
i
<0, 
как же это трактовать? Рассмотрим возможную трактовку. Пусть банк может кредитовать 
реальный  сектор  и  брать  кредиты  на  рынке  межбанковских  кредитов.  Если  кредитовать 
реальный сектор более выгодно, то банк вполне может  брать кредиты  у других банков и 
вкладывать  эти  деньги  в  реальный  сектор.  Общее  правило:  брать  кредиты  по  меньшим 
процентам  и  вкладывать  туда,  где  проценты  больше.  Но  не  всегда  такие  операции  воз-
можны и тогда приходится накладывать на переменные у
i 
требование неотрицательности. 
Задача (4) становится такой: 
A>0, f
i
 – возрастающие функции 
(A, F(Y))  max                                                                                                          (5) 
IY=M, Y≥0. 
Это – задача нелинейного программирования. Составим функцию Лагранжа: 
L(Y,R,s)=(A,F(Y))+RY+s(M-IY). 
Теорема 1. Для того чтобы Y* было оптимальным решением задачи (5) достаточ-
но, чтобы существовал неотрицательный вектор с и число s*, такие что точка (Y*,R*,s*) 
была бы седловой точкой функции Лагранжа, т.е. чтобы 
L(Y,R*,s*)≤ L(Y*,R*,s*)≤ L(Y*,R,s), т.е.  
(A,F(Y))+R*Y+s*(M-IY)≤ (A,F(Y*))+R*Y*+s*(M-IY*)≤(A,F(Y*))+RY*+s(M-IY*) 
при всех Y, всех R≥0 и любом s. 

 
99
Если функции f
i
(y) дифференцируемы и вогнуты, то верна 
Теорема 2. Для того чтобы Y* было оптимальным решением задачи (5), необхо-
димо и достаточно, чтобы существовал неотрицательный вектор R* и число s*, такие что 
точка (Y*,R*,s*) была бы седловой точкой функции Лагранжа, т.е. чтобы: 
L(Y,R*,s*)≤ L(Y*,R*,s*)≤ L(Y*,R,s), т.е.  
(A,F(Y))+R*Y+s*(M-IY)≤ (A,F(Y*))+R*Y*+s*(M-IY*)≤(A,F(Y*))+RY*+s(M-IY*) 
при всех Y, всех R≥0 и любом s. 
Отметим, что теорема 2 – это модификация хорошо известной в теории нелиней-
ного  программирования  теоремы  Куна-Таккера.  Подробнее  вопросы,  связанные  с  этими 
теоремами, можно посмотреть, например, в работе [3]. 
Существует и дифференциальная форма теоремы 2. 
Теорема 3.  Для  того  чтобы Y* было  оптимальным  решением  задачи (5) необхо-
димо и достаточно выполнения следующих условий: 
Y*≥0,  ∂L/∂Y*≤0,  (∂L/∂Y*, Y*)=0, 
R*≥0,  ∂L/∂R*≥0,  (∂L/∂R*, R*)=0, 
частные производные взяты в точке (Y*,К*бы*). 
Однако теоремы 1–3 применимы лишь к конкретным задачами мало что дают при 
общей подстановке [см. 3, 4].  
 
4. Решение задач методом динамического программирования 
Применение этого метода возможно из-за аддитивности целевой функции. Запи-
шем задачу (1) так: 
∑a
i
f
i
(y
i
)  max 
∑y
i 
≤ M. 
Применение этого метода возможно как в аналитической форме, так и в виде мно-
гоэтапного  вычислительного  процесса.  Аналитическая  форма  дает  мало  чего  нового  по 
сравнению с изложенным решением в п.3. 
Использование  метода  динамического  программирования  в  виде  многоэтапного 
вычислительного процесса особенно удобно, когда функции f
i
(y) заданы табличным спо-
собом: в виде табличек значений f
i
(y
l
), l=1, …… L; i=1……n. Например: 
 
Функции 
Значения аргумента 
0             M/L              2M/L       ………    LM/L=M 
f
1 
… f
1
(0)                     ……………                   f
1
( LM/L )  
  
Будем предполагать функции f
i
(y) возрастающими. 
При таком задании функций f
i
(y) задача, очевидно, ставится так: 

 
100
Найти такой набор значений y
i
, = 1 …… n, из указанных в таблице, что ∑a
i
f
i
(y
i
) 
максимально для всех таких наборов и ∑y
i
≤М. 
Опишем алгоритм решения в этом случае. Обозначим множество возможных зна-
чений  {0, M/L, 2M/L,…..,M} для краткости  Е, его элементы будем обозначать е. Опреде-
лим для каждого  k=1,…..,n  две функции  G 
k  
: E 

 R, Y 
k 
: E  

  E следующим образом: 
Функции G
1
 и  Y
1
 есть соответственно f
1
 и  Y
1
(e) = e. 
Функции G
2  
и Y
2
  определим так: 
G
2 
(е) = max {a
2 
f
2 
(y) + a
1 
f
1 
(e-y) : 0 ≤ y ≤ e}, Y
2
(e)  есть то самое y , на котором до-
стигает максимума функция G
2 
. 
Далее действуем по индукции. Определим в общем случае функции   G 
k+1
 , Y
 k+1 
: 
G 
k+1  
(е) = max {a
k+1 
f
k+1 
(y) + G 
k
(e-y) : 0 ≤ y ≤ e}, Y
k+1
(e)  есть то самое y, на кото-
ром достигает максимума функция G 
k+1 
. 
Последними определяем функции G 
n
 и  Y 
n  
. Теперь, анализируя смысл функций, 
получаем: G 
n 
(М) есть искомое максимальное значение, значение же вектора управления 
найдём по индукции, начиная с конечного:  
y*
n  
= Y 
n 
(M), y*
n-1 
= Y 
n-1  
(M – y*
n 
) и т.д. 
Указанные выше значения 0, M/L, и т.д. взяты таковыми для некоторого упроще-
ния, эти значения могут быть любыми, в том числе и отрицательными. При этом алгоритм 
автоматически  учтёт  все  особенности  и  ограничения  и  найдёт  максимизирующий  набор 
значений. 
Метод динамического программирования имеет смысл использовать при любом, 
в т.ч. и аналитическом, способе задания функций f
i 
 (y). 
В  п.3  был  рассмотрен  аналитический  способ  решения  задачи,  который  в  конце 
концов сводится к решению системы уравнений, что может оказаться нелёгким делом. В 
таком случае можно перейти к табличному заданию функции  f
i 
 (y) , используя их анали-
тический вид. Имея табличный способ задания функций можно использовать метод дина-
мического программирования, однако оптимальное решение при этом получится прибли-
женным. Степень приближения зависит от мелкости используемой сетки значений – чем 
более  мелка  такая  сетка,  тем  точнее  приближение.  Однако  уменьшение  размеров  ячеек 
сетки влечёт увеличение числа ячеек,  а при этом увеличивается время работы алгоритма, 
так что нужно найти какую-то золотую середину. 
 
5. Измененная постановка задачи оптимизации 
Пусть  система  уже  находится  в  некотором  состоянии  Z
0  
.  Теперь  надо  разумно 
распорядиться денежной суммой М. Рассмотрим два варианта: 
А) Перевести систему в такое состояние Z
1 
, чтобы разность ( А, Z
1 
) – ( А, Z
0 
) бы-
ла максимальной. 
Б) Перевести систему в состояние Z
2 
 с максимальным значением ( А, Z
2 
). 

 
101
При этом изменим и смысл функций f
i 
 (y) – теперь денежная сумма  y  нужна для 
увеличения i-й компоненты вектора состояния на величину  f
i 
 (y). 
При таком понимании функций f
i
(y) обе задачи эквивалентны и сводятся к задаче 
(1). 
 
6. Возможные приложения задачи оптимизации 
Рассмотрим  хорошо  известную  задачу  поведения  потребителя  на  рынке  товаров 
[5]. 
( I, u(X) ) 

  max                                                        ( I, u(X) ) 

  max  
PX ≤ Q,  X ≥ 0,                       или так                      X є B (P, Q),                                (6) 
где под B (P, Q) понимается бюджетное множество при доходе Q и ценах Р, а функция по-
лезности потребителя аддитивна т.е. 
( I, u(X) ) = u
1
(x
1
) + … + u
n
(x
n
).  
Модификация имеет следующий вид:  
Пусть  вектор  А  задает  желательное  соотношение  потребляемых  количеств  това-
ров, например, с научной точки зрения, а потребитель должен учесть это соотношение и 
максимизировать  не u(X), а  скалярное  произведение (A, u(X)), т.е.  задача  становится  та-
кой: 
( А, u(X) ) 

  max                                                        ( А, u(X) ) 

  max  
PX ≤ Q,  X ≥ 0,                       или так                           X є B (P, Q),                           (7) 
Если при оптимальном решении Х* задачи (6) вектор u(X*)  пропорционален век-
тору А, то Х* будет, очевидно, и оптимальным решением задачи (7). Если же оптимальное 
решение Х* задачи (6) не таково, то это означает, что с научной точки зрения Х*  не самое 
лучшее решение, хотя и самое полезное для потребителя. 
Ещё одно содержательное объяснение задачи (7) таково. Пусть А задает соотно-
шение потребляемых количеств товаров в потребительской корзине данной группы насе-
ления, к которой принадлежит и данный потребитель. Тогда сравнение оптимальных ре-
шений задач (6) и (7) покажет степень отличия структуры индивидуального потребления 
данного потребителя от структуры потребительской корзины. 
При этом под потребительской корзиной понимается точка спроса для прожиточ-
ного минимума соответствующей части населения. 
Рассмотрим ещё одно из возможных приложений рассмотренной задачи оптими-
зации. 
Пусть  банк  может  кредитовать  реальный  сектор  экономики  и  делать  займы  на 
рынке межбанковских кредитов. Вопрос в том, как сочетать эти две возможности для по-
лучения длительной максимальной прибыли. Вектор А при этом может быть соотнесён с 
требованиями ЦБ по структуре банковского баланса.  
 

 
102
7. Другая постановка задачи оптимизации 
Рассмотрим в качестве функционала F(X, A) = (|X – A|). Сформулируем следую-
щую задачу: какой минимальной величины может достичь функционал     F(X, A), если в 
наличии  имеется  денежная  сумма  М?  То  есть  в  такой  постановке  требуется  найти  такое 
управление, чтобы как можно ближе подойти к вектору А. 
В данной работе эта постановка не рассматривается. 
 
Литература 
1.  Персианов В.А., Мухаметдинов И.А. К вопросу о методике определения качества экономиче-
ского роста // Вестник статистики. 1989. № 10. 
2.  Вагнер Г. Основы исследования операции. Т. 1, 2, 3. М.: Мир, 1973. 
3.  Гатауллин Т.М. Экономико-математическое моделирование на транспорте в условиях рынка. 
М.: ИПР РАН, 2002. 
4.  Гатауллин Т.М. Концевые функции // ЭММ. 2004. Т. 40. № 2. 
5.  Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Сов. радио, 1972. 
6.  Малыхин В.И. Финансовая политика. М.: ЮНИТИ, 2002. 
 
 
   

 
103
 
В.И. Живица, Елисеев Д.О. 
СОВРЕМЕННЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К МОДЕРНИЗАЦИИ СЫРЬЕВЫХ 
ОТРАСЛЕЙ ЭКОНОМИК РОССИИ 
Введение 
Вопрос о необходимости радикальной модернизации всей экономики Российской 
Федерации широко обсуждается уже порядка 10 лет. Однако новые теоретические подхо-
ды, которые бы способствовали ускорению решения этого вопроса, пока не выработаны. 
Называется отсутствие альтернатив переходу на инновационные факторы экономического 
роста, указывается на то, что для того, чтобы Россия стала одним из «полюсов роста» гло-
бальной экономики, необходимо опираться на пятый технологический уклад и готовиться 
начать освоение и шестого технологического уклада (1, с. 148, 149). Признаётся, что в те-
чение  ближайших 15–20 лет  топливно-сырьевой  комплекс  будет  играть  очень  большую 
роль в наполнении доходной части бюджета России и что необходимо проводить после-
довательную  государственную  промышленную  политику  использования  доходов  сырье-
вых  отраслей  для  преобразования  технологического  уровня  воспроизводственного  ком-
плекса — его модернизации, инновационного обновления. 
Вместе  с  тем  отмечается,  что  в  отличие  от других  стран – экспортеров  нефти,  в 
России ее добыча в расчете на душу населения на порядок меньше. Что же касается про-
мышленной политики, то опять же, капитал, если он найдет более выгодное приложение, 
преодолеет  любые  преграды,  включая  налоговые,  и  призывы  к  инновационному  поведе-
нию останутся безуспешными (1, с. 154–155). 
Вывод делается такой, что для обеспечения ощутимых позитивных сдвигов в пе-
реходе на модернизационный (инновационный, интенсивный) тип воспроизводства необ-
ходимо сосредоточиться на сложившейся системе экономических отношений, ее институ-
циональном воплощении. При этом упоминается, что и в СССР с середины 1960-х гг. ста-
вилась задача перехода на модернизационный (инновационный) тип воспроизводства, ко-
торая  (задача)  формулировалась,  тогда  как  необходимость  перехода  от  экстенсивного  к 
интенсивному типу экономического роста на основе ускоренного внедрения достижений 
научно-технического  прогресса.  Несмотря  на  все  усилия,  в  том  числе  и  концентрацию 
государственных ресурсов, эта задача так и не была решена. Фундаментальной причиной 
невосприимчивости советской экономики к инновационным сдвигам была не нехватка ре-
сурсов, а то, что система интересов субъектов хозяйствования отторгала нововведения. 
 

жүктеу/скачать 1,67 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: