Учебная программа дисциплины syllabus 1 Данные о преподавателях
жүктеу/скачать 1,21 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лекция 6 Качество измерений
| Контрольные вопросы:
1. Какими методами корректируют (уточняют) результаты измерений? 2. Что такое качество измерений? 3. Дайте характеристику принципа обработки результатов различных видов измерений. 4. Что такое динамические измерения и их погрешности? 5. На чем основана теория расчетного суммирования погрешностей? Лекция 6 Качество измерений Под качеством измерений понимают совокупность свойств, обусловливающих получение результатов с требуемыми точностными характеристиками, в необходимом виде и в установленные сроки. Качество измерений характеризуется такими показателями, как точность, правильность и достоверность. Эти показатели должны определяться по оценкам, к которым предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности. Истинное значение измеряемой величины отличается от среднего значения на величину систематической погрешности ∆с, т.е. х = х-∆с. Если систематическая составляющая исключена, то х = х. Однако из-за ограниченного числа наблюдений х точно определить также невозможно. Можно лишь оценить это значение, указать границы интервала, в котором оно находится, с определенной вероятностью. Оценку х числовой характеристики закона распределения х, изображаемую точкой на числовой оси, называют точечной оценкой. В отличие от числовых характеристик оценки являются случайными величинами. Причем их значение зависит от числа наблюдений п. Состоятельной называют оценку, которая сводится по вероятности к оцениваемой величине, т.е. х → х при п → ∞. Несмещенной является оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой величине, т.е. х = х. Эффективной называют такую оценку, которая имеет наименьшую дисперсию σ2х = min. Перечисленным требованиям удовлетворяет среднее арифметическое х результатов п наблюдений. Таким образом,, результат отдельного измерения является случайной величиной. Тогда точность измерений — это близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины. Если систематические составляющие погрешности исключены, то точность результата измерений х характеризуется степенью рассеяния его значения, т. е. дисперсией. Как показано выше (см. формулу 1), дисперсия среднего арифметического σ2х п раз меньше дисперсии отдельного результата наблюдения. На рис. 1 заштрихованная площадь относится к плотности вероятности распределения среднего значения. Рисунок 1. Плотность распределения отдельного и суммарного результата измерения Правильность измерений определяется близостью к нулю систематической погрешности. Достоверность измерений зависит от степени доверия к результату и характеризуется вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины лежит в указанных окрестностях действительного. Эти вероятности называют доверительными вероятностями, а границы (окрестности) — доверительными границами: P{x-tpσ-x ≤ х ≤ х - tpσ-x } = 2Sn (t)-1, где Sn(t) — интегральная функция распределения Стьюдента. При увеличении числа наблюдений п распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному и переходит в него уже при п ≥ 30. Другими словами, достоверность измерения — это близость к нулю случайной (или неисключенной) систематической погрешности. Для количественной оценки качества измерений рассмотрим влияние параметров измерений на погрешность их результатов. При планировании измерений и оценке их результатов задаются определенной моделью погрешностей: предполагают наличие тех или иных составляющих погрешности, закон их распределения, корреляционные связи и др. На основе таких предположений выбирают СИ по точности, необходимый объем выборки объектов измерений и метод оценивания результатов измерений. В этой связи необходимо знать влияние на погрешность результатов измерений: - числа наблюдений и доверительной вероятности, с которой должны быть известны вероятностные характеристики результатов; - степени исправленности наблюдений, т. е. наличия НСП наблюдений; - вида и формы закона распределения погрешностей. Когда систематические погрешности результатов наблюдений отсутствуют (∆с= 0), доверительная погрешность ∆х среднего арифметического зависит только от погрешности метода σх, числа наблюдений л и доверительной вероятности Р∆. Так как случайная величина tp = {x-x)/ σх - имеет распределение Стьюдента с п - 1 степенями свободы, то, воспользовавшись таблицей этого распределения, можно построить зависимость ∆х / σх, = f (n,P). Рисунок 2. Зависимость ∆х / σх, n и P∆ Такая зависимость для Р∆ = 0,90; 0,95; 0,99 и n = 2-2 σх,с изображена на рис. 2 По кривым можно оценить влияние n и P∆ на ∆х. Так, на участке кривых при n ≤ 5 величина — ∆х / σх, очень чувствительна к n для любых Р. Например, при переходе n = 2 к n = 3 величина ∆х / σх при P∆= 0,95 уменьшается более чем в 3 раза. С ростом P∆ чувствительность ∆х / σх к л возрастает. На участке кривых при n > 5 уменьшение ∆х / σх от роста n замедляется настолько, что возникает задача определения практически предельного значения числа наблюдений. Действительно, неограниченному уменьшению погрешностей при увеличении n препятствует неисключенная систематическая погрешность в результатах наблюдений. Дальнейшее увеличение n вызывает незначительное сужение доверительного интервала ∆х. Так, если систематические погрешности отсутствуют, то для любого ∆х при n > 7 и P∆= 0,90, при n > 8 и P∆ = 0,95 и при n > 10 и P∆= 0,99 величина ∆х уменьшается всего на 6—8% и менее. Поэтому при эксплуатации и испытаниях ТС рекомендуется, во-первых, использовать доверительную вероятность P∆= 0,9, так как в этом случае для широкого класса симметричных распределений погрешностей ∆х = 1,6 а, и не зависит от вида этих распределений; во-вторых, при P∆ =0,9 использовать выборку наблюдений объемом не более n = 5,...,7. Аналогично ведет себя корреляция результатов измерений параметров изделия. Для выборочного СКО среднего арифметического прямого измерения с многократными наблюдениями при условии, что результаты наблюдений х1 и хк коррелированы, может быть использована формула σх = (σх /√n)·Кхх = σх /√n (√1+ (2/√n)·∑r х1хк ), (2.11) где r х1хк — коэффициент корреляции результатов x1t и хк; Кхх — поправочный множитель. Расчеты по формуле (2.11) показывают сильное влияние корреляции результатов наблюдений на σх (табл.1). Таблица 1. Значение коэффициента корреляции и поправочного множителя
Как видно из табл. 1, величина σх может быть существенно занижена. Так, при малой корреляции результатов и n < 20 это занижение не превышает 1,7 раза. При сильной корреляции величина σх, характеризующая точность результатов измерений, может быть занижена в несколько раз. Заметно влияет на СКО результатов наблюдений σх, называемое иногда погрешностью метода измерений, степень исправленное™ результатов наблюдений перед обработкой. Действительно, если выполняются технические измерения и результат измерения получают в виде среднего арифметического значения х, то величину погрешности метода в этом случае (обозначим ее σх1) определяют по формуле (2.2). Если измерения той же величины выполняют с такой точностью, что вместо х получают истинное значение искомого параметра, т.е. х = х, то погрешность метода в этом случае (обозначим ее σх2) получают по аналогичной формуле, в которую вместо делителя (n-1) подставляют делитель n. Несущественная на первый взгляд замена х на х намечает ряд проблем. Оказывается, что наиболее употребляемая на практике характеристика σх1 как статистическая оценка имеет большее смещение и менее эффективна, чем характеристика σх2 . Так, относительная величина смещенности СКО ∆σ = (М[σх] - σх)/ σх. оценок σх1 и σх2 их эффективность Еσ как функция числа наблюдений n приведены на рис. 2.11 и показывают следующее: - характеристики ∆σ и Еσ являются монотонными функциями n; - обе оценки смещены относительно истинного СКО, полученного по данным генеральной совокупности, оценка σх1— больше, оценка σх2— меньше. При n ≥ 50 смещение обеих оценок составляет примерно 0,5% и с уменьшением n растет, особенно при n < 5. Так, при n = 3, ∆σ 1=7,5%, а ∆σ2=11,5%; - эффективность обеих оценок при n < 50 уменьшается, особенно для оценки σх1. Так, при n = 3 Еσ1 = 0,93, а Еσ2 = 0,62. Рис. 3. Смещенность и эффективность оценок результатов измерений. Для нормального закона распределения погрешностей эти ошибки в форме СКО определяются по формулам: σσ1= σх1/√ 2(n-1) и σσ2= σх12/√ 2n При n < 50 величина σх определяется с ошибками, достигающими десятков процентов. Кроме того, использование σх1 вместо σх приводит к увеличению ошибок оценки на 10% и более (при n≤3). При n≤10 это завышение незначительно. Оценка качества результатов измерения при недостаточности априорных данных должна быть ориентирована на самый худший случай. Тогда реальное значение будет всегда лучше и получение необходимого результата гарантируется. Если закон распределения параметра и погрешности не известен и нет оснований утверждать, что он близок к нормальному, но известно СКО погрешности измерения, то коэффициентами Стьюдента пользоваться нельзя. В этом случае доверительные интервалы строят на основе неравенства Чебышева: P{x-γРσ-x ≤ х ≤ х - γРσ-x } ≥ 1/γР2 , (2.12) полагая симметричность фактического закона распределения. Тогда ∆ = ± γРσ-x , (2.13) где γР — коэффициент Чебышева:
Из формулы (2.12) следует, что γР ≤1/√ Рс , где Рс — вероятность того, что отдельное случайное значение ряда измерений при любом законе распределения не будет отличаться от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала ∆. Если значение СКО также не известно, но известно максимальное значение результирующей погрешности (например, погрешность СИ), то это значение погрешности можно использовать в качестве оценки σ-x "сверху": ∆си=3а σ-x. Следует отметить, что результаты измерений, не обладающие достоверностью, т. е. степенью уверенности в их правильности, не представляют ценности. Например, датчик измерительной схемы может иметь весьма высокие метрологические характеристики, но влияние погрешностей от его установки, внешних условий, методов регистрации и обработки сигналов приведет к большой конечной погрешности измерений. Наряду с такими показателями, как точность, достоверность и правильность, качество измерительных операций характеризуется также сходимостью и воспроизводимостью результатов. Эти показатели наиболее распространены при оценке качества испытаний и характеризуют точность испытаний. Очевидно, что два испытания одного и того же объекта одинаковым методом не дают идентичных результатов. Объективной мерой их могут служить статистически обоснованные оценки ожидаемой близости двух или более числа результатов, полученных при строгом соблюдении методики испытаний. В качестве таких статистических оценок согласованности результатов испытаний принимаются сходимость и воспроизводимость. жүктеу/скачать 1,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||