Жауабы.
0
,
1
;
0
,
3
;
0
,
2
;
0
,
1
x
.
Бағдарламаны орындау барысында алынған нәтиже:
0
,
1
;
0
,
3
;
0
,
2
;
0
,
1
x
Zertteušì – Issledovatel’ – The Researcher ISSN 2307-0153
№№1-6(117-122), қаңтар-маусым, январь-июнь, January-June, 2016
______________________________________________________________
89
Жауаптар толығымен сәйкес шықты.
Әдебиеттер
1 Сҧлтанғазин Ӛ., Атанбаев С. Есептеу әдісінің қысқаша теориясы. – Алматы,
1995.
2 Рашбаев Ж. Сандық әдістер негіздері. – Алматы, 1996.
3 Искакова А.Қ. Сандық әдістер элементтері. – Алматы; ҚазМемҚызПИ, 1996.
4 Баймахан Р.Б., Жақашбаев Б.Ж., ж.б. Жоғары математика. – Алматы, 2009.
САРСЕН Медеу,
Дарынды балаларға арналған ҥш тілде оқытатын Әл-Фараби атындағы
арнаулы гимназиясының 6 «В» сынып оқушысы, Алмалыбақ ауылы,
Қарасай ауданы, Алматы облысы, Қазақстан Республикасы
Жетекшісі: ОРАЗӘЛІ Гулина,
Дарынды балаларға арналған ҥш тілде оқытатын Әл-Фараби атындағы
арнаулы гимназиясы «Математика» пәнінің мҧғалімі, Алмалыбақ ауылы,
Қарасай ауданы, Алматы облысы, Қазақстан Республикасы
LEAST COMMON MULTIPLE
In arithmetic and number theory, the least common multiple (also called the lowest
common multiple or smallest common multiple) of two integers a and b, usually denoted
by LCM ( a, b), is the smallest positive integer that is divisible by both a and b [1]. Since
division of integers by zero is undefined, this definition has meaning only if a and b are
both different from zero [2]. However, some authors define l cm ( a, 0) as 0 for all a, which
is the result of taking the l cm to be the least upper bound in the lattice of divisibility.
The LCM is familiar from grade-school arithmetic as the «lowest common
denominator» (LCD) that must be determined before fractions can be added, subtracted or
compared. The LCM of more than two integers is also well-defined: it is the smallest
positive integer that is divisible by each of them.
A multiple of a number is the product of that number and an integer. For example, 10
is a multiple of 5 because 5х2 = 10, so 10 is divisible by 5 and 2. Because 10 is the
smallest positive integer that is divisible by both 5 and 2, it is the least common multiple of
5 and 2. By the same principle, 10 is the least common multiple of – 5 and 2 as well.
Notation. In this article we will denote the least common multiple of two integers a
and b as l cm ( a, b). Some older textbooks use [ a, b]. The J (programming language) uses
a*.b
Example:
What is the LCM of 4 and 6?
Multiples of 4 are:
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, ...
And the multiples of 6 are:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...
Common multiples of 4 and 6 are simply the numbers that are in both lists:
12, 24, 36, 48, 60, 72, ....
So, from this list of the first few common multiples of the numbers 4 and 6,
their least common multiple is 12.
Zertteušì – Issledovatel’ – The Researcher ISSN 2307-0153
№№1-6(117-122), қаңтар-маусым, январь-июнь, January-June, 2016
______________________________________________________________
90
Applications. When adding, subtracting, or comparing vulgar fractions, it is useful
to find the least common multiple of the denominators, often called the lowest common
denominator, because each of the fractions can be expressed as a fraction with this
denominator. For instance,
Where the denominator 42 was used because it is the least common multiple of 21
and 6.
Reduction by the greatest common divisor. The following formula reduces the
problem of computing the least common multiple to the problem of computing the greatest
common divisor (GCD), also known as the greatest common factor:
This formula is also valid when exactly one of a and b is 0, since gcd ( a, 0) = | a|.
(However, if both a and b are 0, this formula would cause division by zero; l cm (0, 0) = 0
is a special case.
There are fast algorithms for computing the GCD that do not require the numbers to
be factored, such as the Euclidean algorithm. To return to the example above,
Because gcd ( a, b) is a divisor of both a and b, it is more efficient to compute the
LCM by dividing before multiplying:
This reduces the size of one input for both the division and the multiplication, and
reduces the required storage needed for intermediate results (overflow in
the aхb computation). Because gcd ( a, b) is a divisor of both a and b, the division is
guaranteed to yield an integer, so the intermediate result can be stored in an integer. Done
this way, the previous example becomes:
Finding least common multiples by prime factorization. The unique factorization
theorem says that every positive integer greater than 1 can be written in only one way as a
product of prime numbers. The prime numbers can be considered as the atomic elements
which, when combined together, make up a composite number.
For example:
Here we have the composite number 90 made up of one atom of the prime number 2,
two atoms of the prime number 3 and one atom of the prime number 5.
This knowledge can be used to find the LCM of a set of numbers.
Example: Find the value of l cm (8, 9, 21).
First, factor out each number and express it as a product of prime number powers.
The l cm will be the product of multiplying the highest power of each prime number
together. The highest power of the three prime numbers 2, 3, and 7 is 2
3
, 3
2
, and 7
1
,
respectively. Thus,
Zertteušì – Issledovatel’ – The Researcher ISSN 2307-0153
№№1-6(117-122), қаңтар-маусым, январь-июнь, January-June, 2016
______________________________________________________________
91
This method is not as efficient as reducing to the greatest common divisor, since
there is no known general efficient algorithm for integer factorization, but is useful for
illustrating concepts.
This method can be illustrated using a Venn diagram as follows. Find the prime
factorization of each of the two numbers. Put the prime factors into a Venn diagram with
one circle for each of the two numbers, and all factors they share in common in the
intersection. To find the LCM, just multiply all of the prime numbers in the diagram.
Here is an example:
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3, 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5,
And what they share in common is two «2» s and a «3»:
Least common multiple = 2 х 2 х 2 х 2 х 3 х 3 х 5 = 720
Greatest common divisor = 2 х 2 х 3 = 12
This also works for the greatest common divisor (GCD), except that instead of
multiplying all of the numbers in the Venn diagram, one multiplies only the prime factors
that are in the intersection. Thus the GCD of 48 and 180 is 2 х 2 х 3 = 12.
A simple algorithm. This method works as easily for finding the LCM of several
integers.
Let there be a finite sequence of positive integers X = ( x
1
, x
2
, ..., x
n
), n > 1. The
algorithm proceeds in steps as follows: on each step m it examines and updates the
sequence X
( m)
= ( x
1
( m)
, x
2
( m)
, ..., x
n
( m)
), X
(1)
= X, where X
( m)
is the m th iteration of X, i.e. X at
step m of the algorithm, etc. The purpose of the examination is to pick the least (perhaps,
one of many) element of the sequence X
( m)
.
Assuming x
k0
( m)
is the selected element, the sequence X
( m+1)
is defined as
x
k
( m+1)
= x
k
( m)
, k ≠ k
0
x
k0
( m+1)
= x
k0
( m)
+ x
k0
(1)
.
In other words, the least element is increased by the corresponding x whereas the rest
of the elements pass from X
( m)
to X
( m+1)
unchanged.
The algorithm stops when all elements in sequence X
( m)
are equal. Their common
value L is exactly LCM( X).
A method using a table. This method works for any number of factors. One begins
by listing all of the numbers vertically in a table (in this example 4, 7, 12, 21, and 42):
4 7 12 21 42
The process begins by dividing all of the factors by 2. If any of them divides evenly,
write 2 at the top of the table and the result of division by 2 of each factor in the space to
the right of each factor and below the 2. If a number does not divide evenly, just rewrite
the number again. If 2 does not divide evenly into any of the numbers, try 3.
x
2
4
2
7
7
12
6
Zertteušì – Issledovatel’ – The Researcher ISSN 2307-0153
№№1-6(117-122), қаңтар-маусым, январь-июнь, January-June, 2016
______________________________________________________________
92
21 21
42 21
Now, check if 2 divides again:
x
2
2
4
2
1
7
7
7
12
6
3
21
21
21
42
21
21
Once 2 no longer divides, divide by 3. If 3 no longer divides, try 5 and 7. Keep going
until all of the numbers have been reduced to 1.
x
2
2 3 7
4
2
1 1 1
7
7
7 7 1
12 6
3 1 1
21 21 21 7 1
42 21 21 7 1
Now, multiply the numbers on the top and you have the LCM. In this case, it is 2 х 2
х 3 х 7 = 84. You will get to the LCM the quickest if you use prime numbers and start
from the lowest prime, 2.
Fundamental theorem of arithmetic. According to the fundamental theorem of
arithmetic a positive integer is the product of prime numbers, and, except for their order,
this representation is unique:
Where the exponents n
2
, n
3
, ... are non-negative integers; for example, 84 =
2
2
3
1
5
0
7
1
11
0
13
0
...
Given two positive integers
and
their least common
multiple and greatest common divisor are given by the formulas
and
Since
This gives
In fact, any rational number can be written uniquely as the product of primes if
negative exponents are allowed. When this is done, the above formulas remain valid. For
example:
Zertteušì – Issledovatel’ – The Researcher ISSN 2307-0153
№№1-6(117-122), қаңтар-маусым, январь-июнь, January-June, 2016
______________________________________________________________
93
Lattice-theoretic. The positive integers may be partially ordered by divisibility: if a
divides b (i.e. if b is an integer multiple of a) write a ≤ b (or equivalently, b ≥ a). (Forget
the usual magnitude-based definition of ≤ in this section – it isn't used).
Under this ordering, the positive integers become a lattice with meet given by the gcd
and join given by the l cm. The proof is straightforward, if a bit tedious; it amounts to
checking that l cm and gcd satisfy the axioms for meet and join. Putting the lcm and gcd
into this more general context establishes a duality between them:
If a formula involving integer variables, gcd, lcm, ≤ and ≥ is true, then the
formula obtained by switching gcd with lcm and switching ≥ with ≤ is also
true. (Remember ≤ is defined as divides).
The following pairs of dual formulas are special cases of general lattice-theoretic
identities. It can also be shown that this lattice is distributive, i.e. that l cm distributes over
gcd and, dually, that gcd distributes over l cm:
This identity is self-dual:
Other. Let D be the product of ω( D) distinct prime numbers (i.e. D is squarefree).
Then
Where the absolute bars || denote the cardinality of a set.
The least common multiple can be defined generally over commutative rings as
follows: Let a and b be elements of a commutative ring R. A common multiple of a
and b is
an
element m of R such
that
both a and b
divide m (i.e.
there
exist
elements x and y of R such that ax = m and by = m). A least common multiple of a and b is
a common multiple that is minimal in the sense that for any other common
multiple n of a and b, m divides n.
In general, two elements in a commutative ring can have no least common multiple
or more than one. However, any two least common multiples of the same pair of elements
are associates. In a unique factorization domain, any two elements have a least common
multiple. In a principal ideal domain, the least common multiple of a and b can be
characterised as a generator of the intersection of the ideals generated by a and b (the
intersection of a collection of ideals is always an ideal).
References
1 Richard; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective,
New York: Springer, ISBN 0-387-94777-9.
2 Hardy, G.H.; Wright, E.M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers
(Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5.
3 Landau, Edmund (1966), Elementary Number Theory, New York: Chelsea.
4 Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.),
Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950.
Zertteušì – Issledovatel’ – The Researcher ISSN 2307-0153
№№1-6(117-122), қаңтар-маусым, январь-июнь, January-June, 2016
______________________________________________________________
94
ҤСЕНБЕК Ерасыл,
«№120 жалпы орта мектебі» коммуналдық мемлекеттік мекемесінің
4 «Ә» сынып оқушысы, Мырзакент кенті, Мақтаарал ауданы,
Оңтҥстік Қазақстан облысы, Қазақстан Республикасы
Жетекшісі: ОСИМОВА Айгҥл Қазыбекқызы,
«№120 жалпы орта мектебі» коммуналдық мемлекеттік мекемесінің
бастауыш сынып мҧғалімі, Мырзакент кенті, Мақтаарал ауданы,
Оңтҥстік Қазақстан облысы, Қазақстан Республикасы
ТІС СҦЛУЛЫҒЫ – ЖАН СҦЛУЛЫҒЫ
Тістің қҧрылысы. Әрбір жеке тістің сауыты, мойны және тҥбірі болады.
Тістің ауыз қуысынан шығып тҧрған бӛлігі тіссауыт деп аталады. Оның сырты
жылтыр кіреукемен (эмаль) қапталған. Тіс кіреукесі – адам денесіндегі ең қатты
ҧлпа. Оның бір шаршы миллиметр ауданы 400 килограмдай салмаққа тӛтеп береді.
Кіреукенің бҧл қасиеті, оның қҧрамындағы бейағзалық заттарға тікелей байланысты.
Тіс кіреукесінің 95%-ы кальций фосфатының қосылысынан тҧрады. Бҧдан басқа
оның қҧрамында фтор, мыс, мырыш, темір, кремний және т.б. заттар кездеседі.
Тіс кіреукесінің қалыңдығы да тҥрліше болады. Тіссауыттың ҥстіңгі
бҧдырларындағы кіреуке едәуір қалың. Балалар тістері кіреукесінің қҧрамында
минералдық заттар аз болғандықтан, ол жҧқа болады. Тістің келесі бӛлімі – тіс
мойын. Тіс мойны арқылы жақ сҥйектеріндегі тіс ҧяшықтарына цемент заты арқылы
бекиді. Тістің ҥшінші бӛлімі – тҥбірі. Тіс тҥбірі жақсҥйектердегі арнайы ҧяшықтарда
орналасқан. Кҥрек және сойдақ тістердің тҥбірі бір-бірден болса, азу тістердің тҥбірі
екеу (кіші азу тістерде) немесе ҥшеу (соңғы ҥлкен азу тістерде). Тіс тҥбірінің
ҧшында кішкене тесік болады. Осы тесік арқылы тістің ішіне қантамырлары мен
жҥйкелер енеді. Тістің ішкі қуысы кеуекті дәнекер ҧлпасымен толтырылған. Тістің
тҥбірлері дәнекер ҧлпалы талшықтар арқылы тіс ҧяшықтарына ӛте берік бекіген.
Тіске келетін қантамырлар оны қоректік заттармен қамтамасыз етеді. Тіс
ауырғанда немесе тісті жҧлғанда ауыратыны жҥйкелердің сезімталдығына
байланысты.
Тістің негізгі бӛлігін дентин (лат. «dens» – тіс) заты қҧрайды. Дентин ӛте тығыз
сҥйек ҧлпасынан тҥзілген. Оның қҧрамының 70%-ы фосфаттардан, фтордан және
кальций карбонаттарының қосылыстарынан тҧрады. Микробтардың әсерінен тістің
дентин затының бҧзылуынан болатын ауру тісжегі (кариес ) деп аталады.
Бҥтін әрі сау тістер – адам денсаулығының басты кепілі. Ауырған тістерде ауру
қоздырушы микробтар кӛптеп кездеседі. Тістің бҥлінуі тіс кіреукесінің
шытынауынан басталады. Тіс кіреукесінің шытынауы қатты заттарды (мысалы,
жаңғақ) шағудан және т.б. жағдайлардан да болады. Кейде тым ыстық немесе ӛте
салкын сусындарды бірінен соң бірін ішу кіреукенің шытынауына әсер етеді. Тіс
кіреукесіндегі шытынаған жерлерге микробтар шоғырланып, тістің бҥлінуі жалғаса
береді. Ауру тістер адам ағзасындағы басқа мҥшелерге (жҥрекке, бҥйрекке,
буындарға және т.б.) де зардабын тигізеді. «Ауру ауыздан кіреді» деген сӛзде терең
мағына бар. «Тіс бҥлінді дегенше, іш бҥлінді. Іш бҥлінді дегенше, іс бҥлінді», - деген
сӛздер тістің ауруының ішкі мҥшелерге әсерін дәл кӛрсетіп тҧр.
Ауыз қуысына тҥскен тағам алдымен тістердің кӛмегі арқылы шайналып,
ҧсакталады да, сілекеймен араласады. Ауызда толық шайналған, әрі сілекеймен
шыланған тағам ағзада жеңіл қорытылып, тез сіңеді. Кӛрнекті ақын Мҧзафар
Zertteušì – Issledovatel’ – The Researcher ISSN 2307-0153
№№1-6(117-122), қаңтар-маусым, январь-июнь, January-June, 2016
______________________________________________________________
95
Әлімбаевтың: «Апыл-ғҧпыл ішкен ас, асқазанға тҥскен тас», - деген нақылынан
ӛздерің қорытынды шығарыңдар.
Адамның да тістері басқа сҥткоректі жануарларга ҧқсас жеке топтарға
бӛлінген. Тістер кҥрек, сойдақ, кіші және ҥлкен азу тістер деп бӛлінеді.
Ересек адамдарда 28-32 тҧрақты тіс болады. Олар ҥстіңгі және астыңғы
жаксҥйектердегі арнайы тіс ҧяшықтарында орналасқан. Әрбір жақсҥйектерде 16 тіс
бар. Тістердің пішіні де әр тҥрлі. Жақсҥйектердің алдыңғы жағында орналаскан
жалпақ тістерді кҥрек тістер деп атайды. Кейде оларды халық арасында маңдай
тістер немесе қасқа тістер деп те атай береді. Жалпы кҥрек тістердің саны – 8. Кҥрек
тістердің екі шетіндегі пішіні ҥшкірлеу келген сойдақ тістер. Олардың саны – 4.
Адам кҥрек және сойдақ тістері арқылы тағамды жҧлып алып жейді. Бҧл тістерден
кейін кіші азу тістер орналасқан. Олардың саны – 8. Кіші азу тістерден кейін ҥлкен
азу тістер бар. Олардың саны – 12. Азу тістердің ҥстіңгі беті кедір-бҧдырлы болады.
Азу тістердің кӛмегімен тағамды ҧсақтап шайнайды.
Сәби дҥниеге тіссіз келеді. Сәбидің 6-9 айлығында алғаш рет кҥрек тістер шыға
бастайды. Сәбиде 2 жасқа дейін барлығы 20 тіс шығады. Бҧл тістер сҥт тістер деп
аталады. 6-7 жастан бастап сҥт тістер тҥсіп, орнына тҧрақты тістер шығады.
«Баланың жетіде тісі тҥседі» деген нақыл соны аңғартады. Ӛйткені балалар
жақсҥйектерінің мӛлшері мен пішіні ересек адамдардан ӛзгеше болады. Тҧрақты
тістердің бастапқы нышаны сҥт тістердің тҥбірінің астында орналасқан. Олар бірте-
бірте сҥт тістерін ығыстыра бастайды да, сҥт тістеріне қоректің келуіне кедергі
жасайды. Қорек келмеген сҥт тістер бірте-бірте тҥседі, оның орнына астыңғы
жақсҥйекте тҧрақты тістер шығады. 12-14 жаста толық тҧрақты тістер шығып бітеді.
Ең соңғы ҥлкен азу тістер 18-20 (одан да кеңірек) жаста шығады. Оларды кеш
шығатындықтан, «ақыл тістер» деп атайды. Шын мәнінде, олардың ақылға ешбір
қатысы болмайды.
Тіс гигиенасы. Тісті сау қалпында сақтау ҥшін әрбір тамақтанғаннан кейін
ауызды шайып, тісті тазалау кажет. Кҥн сайын тісті таңертең және кешке мҧқият
тазалап жуу керек. Тісті тазалауда белгілі ережені есте ҧстау шарт. Алдымен бӛлме
температурасындағыдай сумен ауызды бірнеше рет шаю; содан соң арнайы
мәсуекпен тазалау; алдыңғы жағын ҥйкелей бермей, алдыңғы, артқы бҥйір тҧстарын
да мҧқият тазалау. Мәсуекпен тістердің арасымен жоғарыдан тӛменге, тӛменнен
жоғарыға қарай ысқылау; тістердің ауыз қуысына қараған ішкі беттерін де тазалау
қажет.
Әрбір адамның жеке басының арнайы мәсуегі болуы тиіс. Оны пайдаланғаннан
кейін жақсылап тазартып жуып, сабындап қою керек. Келесі пайдаланарда мәсуектің
сабынын жууды естен шығаруға болмайды.
Қазақ халқының кӛрнекті ғалымы, әрі алғашкы кәсіби дәрігері Халел
Досмҧхамедҧлы да тістің тазалығына зор мән берген. «Аузыңды таза ҧстасаң, тіс
ауруының кӛбінен қҧтыласың. Тамақ жеген сайын тісіңді мәсуекпен (тіс
тазалағышпен) жақсылап тазала. Ішкен-жеген сайын және ертеңінде, кешінде
аузыңды тазалап, шайып отыр». Ғалымның бҧл даналық сӛздері әрбір адамның
есінде жҥрер ережеге айналуы шарт.
Тісті тазалаудың басты қҧралы – тіс мәсуегі. Ондағы қылшықтардың орташа
ҧзындығы 25-30 мм, ені 8-12 мм болуы шарт. Жаңа мәсуекті пайдаланудан бҧрын
сабынмен әрі ыстық сумен жуу керек. Мәсуекті әрбір 2-3 айда жаңартып отыру
кажет. Тіс пасталарын да дҧрыс таңдай білу керек. Мектеп оқушыларына «Ну,
погоди», «Буратино», «Карлсон», «Детская», «Мятная», «Апельсиновая», «Олимп»
және т.б. пасталар ҧсынылады. Тіс кіреукесінің беріктігін сақтау ҥшін қҧрамында
Zertteušì – Issledovatel’ – The Researcher ISSN 2307-0153
№№1-6(117-122), қаңтар-маусым, январь-июнь, January-June, 2016
______________________________________________________________
96
фторы бар пасталар қолданылады. Ондай пасталарға «Чебурашка», «Фтородент»,
«Флюродент», «Сигнал», «Пепсодент», «Колгейт» жатады.
Тістің бҥтіндігін сақтау ҥлгісін жапон халқының қазіргі кездегі игілікті
істерінен айқын кӛруге болады. Соңғы жылдары Жапонияда «Тістің саулығы –
ҧлттық саулығы» деген ҧзақ мерзімді «80-20» атты шара қолға алынды. Бҧл шара
әрбір жапондыққа жақсы таныс. Оның мәні 80 жасқа дейін әр адамда 20 бҥтін тіс
болуы шарт: ол ҥшін алдымен мәсуекті таңдай білуге ерекше мән береді. Тісті және
ауыз қуысын мҧқият тазалау – ҧзақ ӛмір сҥрудің басты кепілі. Олай болса, бҧл
салада да ӛзге халықтардың да ӛнегелі істерінен ҥлгі алудың ешбір сӛгеттігі бола
қоймас.
Асқорыту бездерінен бӛлінетін сҧйықтықты сӛл (секрет) деп атайды. Асқорыту
бездері сыртқы секреция бездеріне жатады. Олар ӛздерінен бӛлетін сӛлді арнайы
ӛзектері арқылы асқорыту мҥшелеріне бӛледі. Әрбір асқорыту безінің бӛлетін
сӛлінің ӛз атаулары бар. Мысалы, бауырдан бӛлінетін сӛл – ӛт, сілекей бездерінен
бӛлінетін сӛл – сілекей және т.б.
Асқорыту бездерінің қызметін фистула әдісі арқылы зерттеуде кӛрнекті орыс
ғалымы И.П. Павловтың еңбегі зор. Ғалымның бҧл саладағы еңбегіне физиология
ғылымындағы іргелі жаңалық ретінде Нобель сыйлығы берілген. Қазіргі кезде
асқорыту мҥшелерінің ішкі кілегейлі қабығындағы ӛзгерістерді зерттеуде
эндоскопия әдісі қолданылады. Онда жарықты арнайы оптикалық қҧралдар арқылы
асқорыту мҥшелерінің ішкі қҧрылысын кӛруге және суретке тҥсіріп алуға болады.
Асқорыту бездерінен бӛлінетін сӛлдің қҧрамында кҥрделі органикалық
заттарды қарапайым заттарға дейін ыдырататын ерекше заттар болады. Оларды
ферменттер деп атайды.
Достарыңызбен бөлісу: |