ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫНЫҢ   БОЛАШАҒЫ МЕН НЕГІЗГІ ДАМУ БАҒЫТТАРЫ

ПЕРСПЕКТИВЫ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК 
 
 
333
УДК 512.62 
 
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ  НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ 
 
Алгуатова  Ш.М.  -  магистрант,  Евразийский  национальный  университет  им.  Л.Н.Гумилева, 
Астана 
 
В  работе  рассматривается  один    алгоритм  разложения  многочленов    над  конечными 
полями. Составлена компьютерная программа алгоритма. 
Ключевые слова: поля, неприводимые многочлены, матрица, ранг. 
 
В работе используются определения и обозначения из книги  [1]. 
Любой  непостоянный  многочлен  над  заданным  полем  можно  разложить  в  произведение 
неприводимых многочленов. Если рассматриваемое поле конечно, то для вычисления неприводимых 
сомножителей  многочлена  положительной  степени  над  этим  полем  существуют  эффективные 
алгоритмы.  Наличие  таких  алгоритмов  разложения  многочленов  над  конечными  полями  особенно 
важно  для  теории  кодирования  и  для  изучения  линейных  рекуррентных  соотношений  в  конечных 
полях.  Кроме  того,  в  алгебре  и  теории  чисел  есть  много  вычислительных  задач,  которые  связаны  с 
разложением  многочленов  над  конечными  полями,  например,  вычисление  группы  Галуа  некоторого 
уравнения над полем рациональных чисел и др. 
В данной работе рассматривается один из таких алгоритмов. 
Теорема  1  [1].  Если    f
–  нормированный  многочлен  положительной  степени  и 
многочлен  
 удовлетворяет условию
, то 
f(x) =
.     (1) 
Формула  (1)  не  дает  полного  разложения  многочлена  ,  т.к.  многочлен          НОД
 
может  оказаться  приводимым  в  кольце 
.  Если  же 
 для  некоторого 
, 
теорема  1  приводит  к  тривиальному  разложению 
.  Если  многочлен 
 таков,  что  теорема  1 
приводит  к  нетривиальному  разложению 
,  он  называется  -разлагающим  многочленом.  Любой 
многочлен 
,  обладающий  свойствами 
 и  o<  deg(h)  <  deg(f),  очевидно, 
является  -  разлагающим.  Чтобы  на  основе  теоремы  1  получить  алгоритм  разложения,  мы  должны 
найти  способы  построения 
-  разлагающих  многочленов.  Так  как    разложение,  основанное  на 
формуле  (1),  связано  с  вычислением   наибольших  общих  делителей,  то  прямое  применение  этой 
формулы возможно лишь для малых конечных полей 
 (т.е. для небольших значений  ). 
Допустим,  что  многочен   не  имеет  кратных  сомножителей,  так  что                   
 – 
произведение  различных  нормированных  неприводимых  многочленов  над  полем 
.Тогда  для 
любого  k-набора 
 элементов  поля 
,  согласно  китайской  теореме  об  остатках,  существует 
единственный  многочлен 
,  такой  что 
, 
,  и  deg(h)f).  Этот 
многочлен удовлетворяет условию 
 
и потому 
                 (2) 
С другой стороны, если многочлен 
является решением сравнения (2), то из равенства 
 
в  силу  попарной  взаимной  простоты  сомножителей  правой  части  следует,  что  каждый 
неприводимый  делитель  многочлена   должен  делить  один  и  только  один  из  многочленов 
. 
Таким  образом,  каждое  решение 
, 
 сравнения  (2)  удовлетворяет  системе 
сравнений 
, 
для  некоторого  -набора 
элементов  поля 
.  Следовательно,  сравнение  (2)  имеет 
ровно 
 решений. 
Чтобы  найти  эти  решения,  сведем  сравнение  (2)  к  системе  линейных  уравнений.  Полагая 
 и вычисляя 
 по модулю 
, построим 
 матрицу 
. А именно 

ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫНЫҢ   БОЛАШАҒЫ МЕН НЕГІЗГІ ДАМУ БАҒЫТТАРЫ 
 
 
334
 
Тогда  многочлен 
 будет  решением  сравнения  (2)  в  том  и 
только  том  случае,  когда 
 является  решением  системы  линейных  уравнений 
(записанной в матричной форме): 
 
Систему (4) можно записать в следующей эквивалентной форме: 
(
)
.            (5) 
где   –  единичная 
 матрица  над 
.  Однородная  система  (5)  имеет 
 решений.  Тогда 
размерность  пространства  решений  этой  системы  равна  k,  т.е.  числу  различных  нормированных 
непроводимых делителей многочлена f, а ранг матрицы 
  равен
. 
Так  как    постоянный  многочлен 
 всегда  является  решением  сравнения  (2),  то 
соответствующий  ему  вектор  (1,  0,  …,  0)  всегда  является  решением  системы  (5).  Кроме  того, 
найдутся  еще  непостоянные  многочлены 
 со  степенями,  не  превосходящими 
, 
такие,  что  соответствующие  им  и  многочлену 
 векторы  образуют  базис  пространства  решений 
однородной  системы  (5).  Поскольку  все  многочлены 
 непостоянны  и  удовлетворяют 
сравнению (2), то они являются   f-разлагающими многочленами. 
В  этом  алгоритме  важную  роль  играет  отыскание  ранга  r  матрицы 
.  Найдя  ранг  r, мы  тем 
самым находим число 
 различных нормированных неприводимых делителей многочлена  f. А 
это позволяет судить о том, до каких пор нужно продолжать процедуру разложения. 
Ранг  матрицы 
 обычно  определяется  приведением  этой  матрицы  к  ступенчатому  виду  с 
помощью  элементарных  преобразований  ее  строк  и  столбцов.  Но  так  как  мы  хотим  в  то  же  время 
решить  систему  (5),  целесообразно  применять  лишь  преобразования  столбцов,  поскольку 
пространство  решений  этой  однородной  системы  инвариантно  относительно  таких  преобразований. 
Мы допускаем следующие элементарные операции: перемена местами двух столбцов матрицы 
, 
умножение  любого  ее  столбца  на  ненулевой  элемент  поля 
 и  прибавление  к  любому  ее  столбцу 
другого  столбца,  умноженного  на  любой  элемент  из 
.  Ранг  r  матрицы 
-  это  число  ненулевых 
столбцов полученной матрицы ступенчатого вида. 
Вычислив  r,  мы  найдем  число 
.  Если 
,  то  мы  заключаем,  что  -  неприводимый 
многочлен  над 
,  и  процедура  на  этом  заканчивается.  В  этом  случае  единственными  решениями 
сравнения (2) являются постоянные многочлены, и пространство решений системы (5) состоит лишь 
из  векторов  вида 
,  где 
.  Если  же 
,  то  мы  берем 
-разлагающий  базисный 
многочлен 
 и  находим  наибольшие  общие  делители  НОД
 для  всех 
.  В 
результате получим некоторое нетривиальное разложение многочлена 
, даваемое формулой (1). 
Если  использование  многочлена 
 еще  не  приводит  к  разложению  многочлена 
 на 
 
сомножителей, то переходим к следующему  - разлагающему базисному многочлену 
 и находим 
НОД
 для  всех 
 и  всех  нетривиальных  делителей 
 многочлена 
, 
найденных  по  формуле  (1)  на  первом  этапе.  Эта  процедура  продолжается  до  тех  пор,  пока  мы  не 
получим все   неприводимых сомножителя многочлена 
. 
Этот алгоритм разложения многочлена  , основанный на нахождении 
-разлагающих  многочленов  (путем  решения  системы  (5)  линейных  уравнений),    носит 
название алгоритма Берлекэмпа. Построим пример: 
Пример.  Разложить  многочлен 
над  полем   
,  применяя 
алгоритм Берлекэмпа. 
Решение: Степень данного многочлена 
 равна n = 6. Размерность поля равна q = 5. 
. 
 
 
           НОД (
) = 
1  и  многочлен   
не  имеет  кратных  сомножителей.  Найдем  вычеты  одночленов  по  модулю 
 
для q = 5, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5: 
, 
; 
q=5, i=1:  

ПЕРСПЕКТИВЫ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК 
 
 
335
   
 
q=5, i=2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
q=5, i=3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q=5, i=4: 
 
 
 
 
3x
=
 
 
 
 
 
q=5, i=5: 
 
 
 
 
 
 
Теперь 
построим 
матрицу 
 
В 
 
размера 
6×6 
по 
формуле 
(3): 
 
B=
 
Найдем решения уравнения (
)
: 

ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫНЫҢ   БОЛАШАҒЫ МЕН НЕГІЗГІ ДАМУ БАҒЫТТАРЫ 
 
 
336
 
Пронумеровав строки полученной матрицы, приведем ее к ступенчатому виду: 
 
Ранг  матрицы  равен    r  =  3,    n  =  6,    k  =  3.  Коэффициенты  главных  неизвестных 
, 
коэффициенты свободных неизвестных 
. Тогда 
. 
(
)   –  общее решение системы уравнений.  
Найдем фундаментальную систему решений: 
 
  
 
Этим  3  векторам  соответсвуют  многочлены   
 
1. 
Вычислим НОД(
), i
, c
: 
НОД(
)=
, НОД(
)=
, 
НОД(
)=
отсюда каноническое разложение будет: 
 . 
Для алгоритма Берлекэмпа составлена компьютерная программа.
 
 
Литература: 
1.  Лидл Р., Нидеррайдер Г. Конечные поля. Том 1. - М.: Мир, 1988. 
 
 
УДК 57.084.2 
 
ОБОСНОВАНИЕ НЕОБХОДИМОСТИ И ВОЗМОЖНОСТЬ БОРЬБЫ С СОРНОЙ 
РАСТИТЕЛЬНОСТЬЮ ФИЗИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ 
 
Ашимова С.А. –магистрант, Костанайский государственный университет имени А. Байтур-
сынова 
Поезжалов  В.М.  –  к.ф.-м.н.,  доцент  кафедры  электроэнергетики  и  физики,  Костанайский 
государственный университет имени А.Байтурсынова 
 
Рассмотрены  применяемые  способы  борьбы  с  сорной  растительностью.  Определены  ос-
новные  проблемы, сопровождающие  этот  процесс.  Показаны  негативные  стороны  борьбы  с  сор-
няками,  их  влияние  на биоценоз  почвы  и  её продуктивность. Определены  основные  действующие 
факторы и показано, что для борьбы с сорной растительностью могут применяться физические 
методы,  основанные  на  прямом  воздействии  на  сорную  растительность,  а  не  на  среду  его 
обитания. Показано, что физические методы борьбы с сорной растительностью экологичны, и, в 
ряде случаев, более экономичны, чем распространенные сейчас. 
Ключевые слова: сорняк, биоценоз почвы, физические методы. 
 
С древних времен человек начал обрабатывать почву и возделывать растения это и повлияло 
на дальнейшее развитие человеческого общества. Почва - это естественное тело, образовавшаяся в 
результате  взаимодействия  живых  и  неживых  составляющих  природы.  Растения,  микроорганизмы  и 
животные  влияют  на  состав  и  свойства  почвы.  Кроме  этого,  свойства  почвы  меняются  за  счет 
климата,  сезонных  и  временных  рамок.  В  зависимости  от  структуры,  физических  и  химических 
свойств  почвы  на  них  произрастают  и  различные  культурные  и  дикие  растения.  Все  в  природе 
взаимосвязано.  Почва,  как  и  живое  существо,  может  умирать,  для  этого  есть  множество  причин. 

ПЕРСПЕКТИВЫ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК 
 
 
337
Одной  из  наиболее  важных  причин  является  неправильная  деятельность  человека,  включающая  в 
себя  вырубку  леса,  пастьба  скота,  обработка  почвы,  внедрение  ядовитых  веществ.  Это  в  свою 
очередь влияет на количественный и качественный состав микроорганизмов обитающих в почве. При 
длительной  обработке  почвы  нарушается  биоценоз,  обнажая  почву  и  делая  ее  беззащитной  [1,  60- 
107]. 
Земли  с  плодородной  почвой  систематически  обрабатываются  и  используются  под  посевы 
сельскохозяйственных  культур.  Каждая  культура  имеет  свои  требования  к  почвенным  условиям, 
влаго и теплообеспеченности, технологии возделыванию почвы. Кроме этого, у каждой культуры есть 
и вредители, одними из которых являются сорные растения. 
Сорными  растениями  называют  дикие  растения,  которые  не  возделываются  человеком,  но 
засоряют  обрабатываемые  им  угодья.  Сорные  растения  произрастают  обычно  на  полях,  в  садах, 
огородах,  на  обочинах  дорог  и,  естественно,  кормовых  угодьях.  Сорные  растения  отбирают  влагу, 
свет, питательные вещества у культурных растений тем самым уменьшают их урожайность [2, c.5-6]. 
В  природе  существует  множество  сорных  растений  и  классификация  их  различна.  По 
продолжительности  жизни  их  разделяют  на  однолетние,  двулетние  и  многолетние.  Однолетние 
сорные  растения  живут  полный  вегетационный  период  и  подразделяются  на  ранние  и  поздние. 
Однолетние  сорные  растения  находятся  на  небольшой  глубине,  что  свидетельствует  о  легком 
выдергивании и извлечении из земли. Двулетние сорные растения живут два вегетативных периода. 
В  первый  год  образуется  мощная  корневая  система,  а  в  следующий  год  цветоносный  побег. 
Многолетние  сорняки  произрастают  более  двух  вегетативных  периода.  В  первый  год  они  не  цветут, 
но  дальше  они  цветут  и  размножаются  многократно  [2,  c.45-48].  Борьба  с  такими  популяциями 
сорняков требует системного подхода, включающего различные способы и методы. 
Сорная  растительность  -  постоянный  и  злостный  враг  земледельца.  Под  влияньем  сорных 
растений в посевах культурных растений происходит истощение почвы, расход влаги и питательных 
веществ,  и  много  других  нежелательных  факторов  замедляющее  развитие  земледелия.  Борьба  с 
сорной  растительностью  ведется  всеми  различными  способами.  Защита  растений  от  сорной  расти-
тельности  является  одним  из  важнейших  резервов  повышения  урожайности  сельскохозяйственных 
культур. Развитие земледелия осложняется тем, что идет вечная борьба с сорной растительностью. 
Засоренность  сельскохозяйственных  культур  снижает  качество  урожая.  Кроме  этого,  сорная 
растительность не только повышает опасность потерь урожая, требует дополнительных затрат, но и 
могут привести к большим убыткам. 
Борьбу  со  всей  сорной  растительностью  начинается  в  паровом  поле,  которое  находиться  в 
рыхлом состоянии и чистыми от сорняков. Если обработка пара начинается летом или осенью вслед 
за  уборкой  предшественника  и  продолжается  в  следующем  году  в  весенне-летний  период,  пары 
называются черными. Черный пар применяют для накопления влаги и питательных веществ в почве. 
Использование черного пара в течение длительного времени не эффективно,поскольку из- за частого 
рыхления  разрушается  структура  почвы.  В  случае  основной  обработки  после  уборки  с  весны 
следующего  года  с  весновспашки  пары  называются  ранними.  На  парах  до  посева  зерновых 
проводятся постоянные  механические  обработки  почвы, позволяющие  эффективно  очищать поля  от 
сорных растений [3. c.4]. 
Механический  способ  -  простое  удаление  сорной  растительности  с  помощью  орудий  предназ-
наченных для обработки почвы. К механическим мерам относятся скашивание, боронование, культи-
вация, прополка и другие аналогичные приемы, основанные на механическом уничтожении сорняков. 
Культивация  -  поверхностная  обработка  почвы,  используется  для  рыхления  почвы  и  подрезания 
сорняков.  Применяется  в  основном  лаповые  культиваторы.  При  совместном  использовании 
подрезающих  и  рыхлящих  лап  обеспечивает  тщательное  рыхление  почвы  и  подрезание  сорных 
растений. Важное значение имеет послепосевное боронование посевов. Оно может проводиться до и 
после  появления  всходов  сельскохозяйственных  культур.  В  последнее  время  для  мелкой  осенней 
обработки  используются  игольчатые  бороны,  бороны  с  пружинными  зубьями, дисковые лущильники. 
Постоянное  рыхление  разрушают  биоценоз  почвы,  и  изменяется  видовой  состав  населения  почвы, 
т.к.  в  верхней  части  почвы  обитают  микроорганизмы,  от  которых  зависит  плодородие  почвы.  Кроме 
этого, данные методы трудоемки, энергозатратны, их использование малоэффективно [3, c.4]. 
Химический  способ  является  более  распространенным,  он  основан  на  использовании  раз-
личных  ядохимикатов.  Вместе  с  вредными  насекомыми  гибнут  и  полезные,  что  отрицательно 
сказывается на свойствах почвы, т.к. подземные животные по численности во много раз превосходят 
наземных. Яды имеют свойство накапливаться в почве и переходить на растения, а в дальнейшем и в 
нашу пищу.  Некоторые химикаты,  положительно  влияя  на  урожай,  отрицательно  действуют  на  пита-
тельные  свойства  растений.  Стало  распространенным  использование  таких  химических  соединений 
как  гербициды.  По  способу  воздействия  на  растения  делятся  на  гербициды  сплошного  действия  и 
гербициды  избирательного  действия.  Гербициды  сплошного  действия  используют  на  невозделывае-
мых  участках:  после  уборки,  на  парах,  для  уничтожения  сорняков  на  обочине  дорог  и  т.д.  Но  в 
последнее  время  позволяют  применять  гербициды  сплошного  действия  для  всех  видов  сорной 

ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫНЫҢ   БОЛАШАҒЫ МЕН НЕГІЗГІ ДАМУ БАҒЫТТАРЫ 
 
 
338
растительности.  Гербициды  избирательного  действия  применяются  для  уничтожения  сорной 
растительности,  они  содержат  различные  химические  вещества  с  разными  механизмами  [2,  с.120]. 
Нами были изучены работы по совместному влиянию механических и химических способов борьбы на 
сорную  растительность.  В  результате  исследования  было  выявлено,  что  совместное  влияние 
способствует уменьшению засоренности. Однако действие гербицидов зависит от вида, сочетания и 
способа  обработки.  Кроме  этого,  результаты  исследования  показали,  что  гербициды  уничтожали 
сорняки, которые находились в более уязвимой стадии развития. Действие их на зерновые культуры 
не  дает  гарантии  получения  качественного  урожая.  В  любом  случае  все  гербициды  –  ядовитые 
вещества,  которые  наносят  вред  биоценозу  почвы,  здоровью  человека,  птицам,  животным, 
окружающей среде. При их использовании необходимо соблюдать технику безопасности. Длительное 
использование  гербицидов  в  одной  и  той  же  местности  способствуют  адаптации  к  ним  сорной 
растительности [4, с.52-53]. 
Рассмотрев  методы  борьбы  с  сорняками,  приходим  к  выводу,  что  методы  борьбы  с  сорной 
растительностью  основаны  на  изменении  параметров  среды  обитания,  в  результате  чего  растение 
погибает. Однако изменение среды обитания отрицательно влияет и на население почвы, культурные 
растения и поэтому борьба с сорняками будет эффективной тогда, когда технология будет оказывать 
минимальное  воздействие  на  среду  обитания  растений.  Уничтожать  нужно  только  сорные  растения, 
сохраняя при этом среду их обитания. 
Этому в большей степени отвечают физические методы, получившие признание и набирающие 
силу в последнее время. Главным и существенным отличием физических методов состоит в том, что 
физическое воздействие применяется только к сорному растению без изменения его среды обитания. 
Идеальной в этом смысле является ручное выдергивание сорных растений из площадей, засеянных 
культурными растениями. Уничтожается само растение, а окружающая среда – припочвенный воздух 
и  почва,  остаются без  изменений,  если  не  учитывать  незначительное  уплотнение  почвы под  ногами 
пропалывающего  человека.  Но,  как  хорошо  известно,  такой  метод  очень  трудоемок,  низко 
производителен и экономически целесообразен только в условиях малых площадей.  
Поэтому на практике используют способы, отличающиеся по исполнению, но приводящие к тем 
же  результатам.  Например,  пламенный  метод,  суть  которого  состоит  в  сжигании  сорной 
растительности.  Его  используют  для  борьбы  с  карантинными  растениями,  растения  которые  трудно 
вывести.  Применяется  этот  метод  в  основном  там,  где  почвы  мало:  горные  склоны,  чайные  или 
цитрусовые плантации и т.д. Метод годится для сплошной обработки, достаточно дорог и может быть 
опасным, если погода неблагоприятна. 
Применяется  метод  лазерного  уничтожения  растений  с  помощью  излучения  с  длиной  волны 
600  нм  к  которой  растения  наиболее  восприимчивы.  Лазерный  метод  используют  для  точечного 
поражения  сорняков.  Как  считают  ученые,  применение  лазера  -  очень  дешевый  метод.  Энергия, 
которую  они  используют,  равна  затратам  200-ваттной  лампочки.  Трудностью  является  выявление 
различие  между  культурными  растениями  и  сорняками,  для  этого  система  оборудуется 
вычислительной  техникой,  видеокамерами  и  сканерами,  которые  по  специальному  алгоритму 
определяет растения по видам и по размерам.  
Переменный  однофазный  ток  высокого  напряжения,  электрические  импульсы  высокого 
напряжения  применяются  для  борьбы  сорной  растительностью  –  эти  методы  имеют  поражающий 
фактор,  поэтому  необходимо  соблюдать  технику  безопасности.  Применение  электрической  энергии 
для  уничтожения  сорняков,  является  экологически  чистой  технологией  в  земледелии.  Однако 
электрический  ток  действует  на  сорные  растения,  достигшие  определенной  стадии  развития,  и  не 
оказывает воздействия на сухие семена сорных растений. 
Обработку сверхвысокочастотными (СВЧ) импульсами можно производить в любой время года, 
что  является  эффективным  способом  для  борьбы  с  сорной  растительностью.  В  данном  методе 
облучается  поверхность  почвы  потоком  электромагнитных  волн  сверхвысокочастотного  диапазона. 
За  несколько  секунд  почва  прогревается  до  температуры  338-  343К,  которая  достаточна  для 
уничтожения  семян  сорной  растительности.  Эффективность  СВЧ  -  метода  зависит  от  плотности 
потока  энергии  и  дозы  облучения.  Данный  метод  является  экологически  чистой  и  простой 
технологией. Воздействует на семена сорных растений и на их всходы, но может нанести вред почве 
и микроорганизмам, находящихся в ней. 
При  применении  микроволновой  энергии  происходит  повреждение  и  семян  сорных  растений. 
Это  в  основном  зависит  от  структуры  семян,  содержание  влаги  и  энергии,  поглощенной  в  семени 
сорных растений. Потенциальное использование микроволновой энергии в качестве метода борьбы с 
сорняками  была  изучена  в  течение  некоторого  времени.  Экспериментальные  данные  показали 
эффективность в истреблении сорных растений и их семян, но технология не сильно используется в 
силу  низкой  экономической  эффективности.  Для  применения  этой  технологии  для  больших  полей 
необходимы  большие  затраты  энергии.  Недостатком  физических  методов  является  отсутствие 
влияния на болезни, передаваемые растениям через почвенные организмы [5, c.11-12]. 

жүктеу/скачать 39,72 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: