Microsoft Word Лекциялар жинағы Физик doc

жүктеу/скачать 1,32 Mb.

бет	32/55
Дата	07.01.2022
өлшемі	1,32 Mb.
	#17732
түрі	Лекция

1 ... 28 29 30 31 32 33 34 35 ... 55

Үдеудің инварианттылығы. Осының алдындағы теңдіктерді екендігін есте ұстай отырып, дифференциалдасақ, мынаны табамыз:

dt  dt'






d ²x dt ²

d ²x'

dt'²^,

d ²y dt ²

d ²y'

dt'²^,

d ²z dt ²

d ²z'

dt'²^.

Осы формулалар көрсеткендей, үдеу Галилей түрлендірулеріне қарасты

инвариантты болады.

Салыстырмалы теорияның негізін Эйнштейннің салыстырмалылық принципі және жарық жылдамдығының тұрақтылығы принципі деп аталатын екі постулаты құрайды. Біріншісіне сәйкес, табиғаттың барлық заңдары барлық инерциялдық санақ жүйелерінде бірдей. Екі әлемдік нүктелердің арасындағы қашықтықтың квадраты (бұл қашықтықты кеңістікті-

уақытты интервал деп атайды және S

формуламен анықталады:

символымен белгілейді) мына

^^S²^^c²^^t²^^^x²^^^y²^^^z².

Лоренц түрлендірулері. Инерциялы екі санақ жүйесін қарастырайық та оларды К және K' деп белгілейік. K' жүйесі К жүйесіне қарасты V жылдамдығымен қозғалсын делік. x және x' остерін V векторы бойымен бағыттап, y және y', сонымен қоса z және z' остерін бір біріне параллелді деп жорамалдайық. Салыстырмалылық принципінің айтуына сай К және K' жүйелері мүлдем тең құқықты.

сурет

Галилей түрлендірулерінен жылдамдықтар қосындысы заңы шығады:

U_x U_x'v _{. (2)}

Бұл заң жарық жылдамдығының тұрақтылығы принципімен қарама- қайшылықта болады. Расында да, егер K' жүйесіндегі жарық сигналы V векторы бағытында с жылдамдығымен таралатын болса, онда (2) сәйкес, K жүйесіндегі сигнал жылдамдығы c+v тең болып шығады, яғни с-дан асып түседі. Бұдан шығатыны, Галилей түрлендірулері басқа формулалармен алмастырылулары қажеттігі туындайды. Осы формулаларды келтірейік:

t'^^v^x'

x'vt'

x 
,

_v2

y  y',

z  z', t 

 

_c2
^^. (3)

1 _c₂

(3) формулаларының жиынтығы Лоренц түрлендірулері атына ие.

Егер (6.3) теңдеуі штрихталған шамаларға қатысты шешілетін болса, K

жүйесінен K' жүйесіне өтуге керекті түрлендірулер формулалары пайда болады:

t  ^^v^x

_x_'_ x  vt

v

,
2

1 _c₂

y'  y,

z'  z,

t' 

 

_c2
^^. (4)

v<жағдайында Лоренц түрлендірулерінің Галилей түрлендірулеріне өтетінін оңай түсінуге болады.

Түрлендірулердің инварианттары. Әрбір оқиғаға көңілдегі төртөлшемді кеңістікте ct, x, y, z координаталы әлемдік нүктені қатар қоюға болады. Бір оқиға ct, x₁, y₁, z₁ координаталы, ал екіншісі – ct, x₂, y₂, z₂ координаталы болсын

делік. Белгілерді енгізелік:

t₂ t₁ t,

x₂ x₁ x , т.т.

K жүйесіндегі интервал квадраты (6.1) формуласымен анықталады. K'
жүйесіндегі тап сол оқиғалардың арасындағы интервал квадраты мынаған тең:

S'² c²t'²x'²y'²z'²_{. (5)}
формулаларына сай, ал одан әрі осы мәндерді (5) формуласына салсақ, онда

азғантай түрлендірулерден кейін көреміз, яғни,
S '² c²t ² x² y² z²

екендігін

^^S^'²^^^S².

Осылайша, интервал бір инерциялы санақ жүйесінен екіншісіне өткенде инвариантты болады.

Тура осылайша, меншікті уақыттың аралығы (денемен бірге қозғалатынсағат бойынша алынған уақыт осы дененің меншікті уақыты деп аталады да әдетте  әрпімен белгіленеді) оқиғалар арасындағы интервалға пропорционалды:

  ¹S .

c

Интервал инвариант болып табылады. Демек, меншікті уақыт та инвариантты.

Релятивистік механикадағы жылдамдықтарды қосудың формуласы:

u_x
u_x'v _,

vu '
u_y
2

v
1 _c₂

vu
 u_y'

_',
u_z
2

v
1 _c₂

vu
 u_z' '

. (6)

1 ^x

_c2

1 ^x

_c2

1 ^x

_c2

v<болған жағдайда (6) арақатынастары классикалық механикадағы жылдамдықтарды қосудың формуласына айналады.

Қозғалыстың релятивистік теңдеуі:





d _

dt ^








^ F .



Бұл теңдеу Ньютонның қозғалыс теңдеуінің жинақтау қорытындысы. Оны неғұрлым ыңғайлы етіп былай жазуға болады:

^{d p} F , dt

p  mV , m  ^m^o.

m шамасы релятивистік масса, немесе жай ғана масса деп аталады; m_o – тыныштық массасы; p релятивистік импульс немесе, жай ғана импульс делінеді.

Релятивистік жағдайдағы энергияның сақталу заңы:

m c

2

^o E_n const _.

Потенциалдық энергияның E_n бейрелятивистік теориядағы мәні тура сол, ал

m c ²

_E_o

шамасы дененің толық энергиясы деп аталады. Дене тыныштық жағдайында тұрған кезде (v=0), ол

E₀=m_oc²
энергиясына ие, ол тыныштық энергиясы деп аталады.

Ерікті жылдамдықпен қозғалушы дененің E_k кинетикалық энергиясы

мынадай:




E  E  m c² m c²^¹




1^.

k o o __

 

 

Релятивистік массаға арналған формуланы есте ұстай отырып

m  ^m^o_,

толық энергияға арналған теңдікті мына түрде жазамыз:

E=mc².
Бұл теңдік – физиканың ең іргелі заңдарының бірі болып табылады және масса мен энергия арасындағы арақатынас деп аталады, оны Эйнштейн анықтаған.

Релятивистік импульске арналған теңдеуден

_p_m_oV
және толық энергия теңдеуінен

2

m c
_E_o

v жылдамдығын алып тастасақ, импульс р арқылы бөлшектің толық энергиясын аламыз:

E  c _.

лекция

6 ҚАТТЫ ДЕНЕНІҢ АЙНАЛМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫСЫНЫҢ ДИНАМИКАСЫ

Инерция моменті.

Абсолют қатты дене деп кез-келген нүктелерінің арасындағы қашықтық өзгеріссіз болатын және кез-келген жағдайда деформацияланбайтын денені айтады.
Қатты дененің айналмалы қозғалысының негізгі екі түрі бар.

Қозғалмайтын О нүктесіне қатысты: онда дененің барлық нүктелері центрі О нүктесінде орналасқан концентрлі сфералар беттерінің бойымен қозғалады.

Қозғалмайтын Z өсіне қатысты: онда дененің барлық нүктелері шеңбер бойымен қозғалады, және олардың центрлері бір түзудің, яғни айналу өсінің бойында жатады.

Қатты дененің айналмалы қозғалысын оқып үйрену кезінде инерция моменті деген ұғымды пайдаланамыз.
Жүйенің немесе дененің берілген өске қатысты инерция моменті деп жүйені құрап тұрған n материялық нүктелер массаларының олардың қарастырылып отырған өске дейінгі қашықтықтарының квадратына

n

көбейтіндісінің қосындысына тең физикалық шама.

J  _m r ²

СИ жүйесіндегі өлшем бірлігі кг∙ м²

i i

i 1

Егер масса үздіксіз таралған жағдайда қосынды таңбасы интеграл таңбасымен алмастырылады, онда инерция моменті мынадай түрде жазылады:

J  _r ²dm
Мысал ретінде биіктігі h және радиусы R тең біртекті тұтас цилиндрдің геометриялық өсіне қатысты инерция моментін табайық. Цилиндрді ішкі радиусы r және сыртқы радиусы r+dr тең шексіз аз dr қалыңдықты жеке қуыс

концентрлі цилиндрлерге бөлеміз. Әрбір қуыс цилиндрдің инерция моменті J=r²dm (r>>dr) dm-элементар цилиндрдің массасы. Оның көлемі dV=2πrhdr. ρ- материалдың тығыздығы. Сонда dm=2πrhρdr

Осыдан тұтас цилиндрдің инерция моменті

R

J  _dJ  2h_r ³dr 
0
hR⁴

2

Мұнда цилиндрдің көлемі πR²h, оның массасы πR²hρ
J  ¹mR²

2
Кейбір денелер үшін инерция моменттерінің мәндері (денелер біртекті, m-дененің массасы)

Дене

Өстің орналасуы

Инерция моменті

Радиусы R тең тұтас цилиндр немесе диск

Симметрия өсі

¹mR²
2

Радиусы R тең жұқа
қабырғалы қуыс цилиндр

Симметрия өсі

mR²

Ұзындығы l тең түзу жіңішке стержнь

Өсь стержнге перпендикуляр және оның ортасы арқылы өтеді

¹ml²
12

Ұзындығы l тең түзу жіңішке стержнь

Өсь стержнге перпендикуляр және оның бір ұшы арқылы өтеді

¹ml²
3

Радиусы R тең шар

Өсь шардың центрі арқылы өтеді

²mR²
5

c
Штейнер теоремасы J  J  ma ²
Дененің инерция моменті – ілгерілемелі қозғалыс кезіндегі массаға теңдес физикалық шама; ол дененің формасына, мөлшеріне, массасына және оның дене ішінде таралуына, сонымен қоса айналу өсін таңдауға тәуелді, ол айналмалы қозғалыс кезіндегі дененің инерттілігін сипаттайды.

Айналмалы қозғалыстың кинетикалық энергиясы

Қозғалмайтын z өсіне қатысты айналмалы қозғалыс жасап тұрған абсолют қатты денені қарастырайық. Осы денені ойша, массалары m₁, m₂, ….m_n тең және өстен r₁, r₂, …r_n қашықтықта орналасқан кішкене көлемдерге бөлеміз. Қатты дененің қозғалмайтын өске қатысты айналмалы қозғалысы кезінде массасы m_i элементар көлемдер әр түрлі r_i радиусты шеңберлер сызады және υ_i сызықтық жылдамдыққа ие болады. Абсолют қатты денені қарастырып отырғандықтан осы элементар көлемдердің барлығы бірдей бұрыштық жылдамдықпен қозғалады. ω = υ₁/r₁= υ₂/r₂=…= υ_i/r_i

Айналмалы қозғалыс жасап тұрған дененің кинетикалық энергиясын элементар көлемдердің кинетикалық энергияларының қосындысы арқылы табамыз.

m ²

m ²

m ²

ⁿm ²

ⁿm ²

_²n

J ²

_Е_ 1 1

_ 1 2

_ n n

__ i i

 _ⁱr ²

_m r ²

_ z

кин.айн _{2 2}

²i 1
2

2
J ²

i 1 ²

i i

2
i1

^Екин.айн

_ z
2

J_z- дененің z өсіне қатысты инерция моменті.
Үйкеліссіз домалап кележатқан деннің кинетикалық энергиясы

m²_J ²

^Екин.айн

_С С

жүктеу/скачать 1,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 28 29 30 31 32 33 34 35 ... 55