№1 дәріс. Кіріспе. Математика ғылымының бұлақ-бастаулары Қарастырылатын мәселелер

бірнеше рет қойылады. Ал 5,10, 100, 1 000 және 10 000 сандары үшін ерекше таңбалар 
енгізіледі.
Позициялық емес санау жүйелерінің тағы бірі - римдік санау жүйесі. Онда кейбір 
сандар түйінді санға одан кішірек түйінді санды қосу, кейде одан кішірек түйінді санды 
азайту арқылы да алынады, яғни таңбалануға тиісті сандар түйінді санның екі жағында 
бірдей (оның алдында да артында да) орналаса алады.
Позициялық емес жүйелердің қай-қайсысы болмасын аса қолайлы емес санау 
жүйелері болып табылады, өйткені олар аса көп емес таңбаларды пайдалана отырып, кез 
келген санды таңбалау мәселесін шеше алмайды.
Позициялық санау жүйелері түрлерінің ең ежелгісі - вавилондықтардың алпыстық 
санау жүйесі. Шамамен б.з.д. 2 000 жылдары пайда болған бұл санау жүйесі екі ғана 
таңбаға негізделеді, олар:1 мен 60 және 10 мен 600 сандарының таңбалары.
Позициялық санау жүйесінің тағы бір түрін майя тайпалары жасады. Оның негізіне 
жиырмалық санау жүйесі алынған (алайда, мұнда бестік санау жүйесінің іздері де 
байқалады). Мұнда алғашқы 19 санды нүкте (бірдің таңбасы) мен көлденең сызықшаны 
(бестің таңбасы) комбинациялау арқылы жазуға болады. Нөл таңбасының енгізілуі 
майялардың математикалық мәдениетінің тамаша жетістігі болып табылады. 
Әріптердің, сондай-ақ сөздерді әріптер арқылы жазудың ойлап табылуына 
байланысты кейбір халықтар сандарды жазып-таңбалауда 
алфавиттік нумерацияға
көше 
бастады. Осының барысында әртүрлі халықтарда сандарды таңбалаудың өзіндік 
алфавиттік жүйелері жасалды.
Алфавиттік санау жүйелерінің ішіндегі кең таралғаны - гректердің алфавиттік 
жүйесі, мұсылмандардың әбжәд есебі. Алфавиттік санау жүйелерінің еврей, сирия, 
грузин, армян және славян халықтары қолданған басқа нұсқалары да болды. 
4-дәріс. «Элементар математика» дәуірі (IX-XVIғғ.) 
Қарастырылатын мәселелер: 
1. Элементар математика дәуірінің жалпы сипаттамасы 
2. Қазіргі заманғы позициялық арифметиканың ашылуы мен таралуы 
3. Алгебраның дербес ғылым саласы ретінде пайда болуы 
4. Квадрат теңдеулер 
5.Түбір табу, Ньютон биномы және дәрежелеу 
1. 
VII-IX ғғ. Араб халифаты құрылып, оның мемлекеттік діні мұсылман діні, ал 
мемлекеттік тілі араб тілі болып жарияланды. Араб халифаты Харон Рашид билік құрған 
кезеңде (786-808 жж.) мәдениеті мен ғылымы жоғары сатыға көтерілген өркениетті 
мемлекетке айналды. Онда жаратылыстану ғылымдарына баса мән беріліп, санскрит және 
грек тілдеріндегі классикалық математикалық мұраларды араб тіліне аудару жұмысы 
қолға алынды. әл-Мамун патшалық құрған кезінде оның айналасына топтасқан Орталық 
Азияның үздік ғалымдары жаңа астанаға шақырылып, оның саяси, экономикалық, мәдени, 
ғылыми және интеллектуальдық әлеуетін арттыру жұмысына жұмылдырылды. 820 ж. 
«Бейт аль-Хикма» («Даналық үйі») атты ғылыми бірлестік құрылды. Мұнда бірқатар 
математикалық төлтума еңбектер жазуды жүзеге асырылды. Осылайша, мұсылман 
әлемінде «та،лим» (тәлім, білім) және «рийадийат» (жаттықтыру) деген ерекше атауларға 
ие болған толық мағынадағы математика ғылымы қалыптаса бастады.
Мұсылман елдерінде алғаш рет ондық позициялық санау жүйесіне негізделген 
арифметиканың негізі салынды, жүйелі ғылыми-зерттеу жұмыстары жүргізіліп, аса бай 
трактаттар қоры жинақталды. Мұсылман математиктері геометрияда да айтарлықтай 
табыстарға қол жеткізді. Мұсылман математикасында алгебраның алғаш рет теңдеулер 
туралы дербес ғылым саласы ретінде пайда болуы математика тарихындағы ұлы жаңалық 
деп атауға тұрарлық. Тригонометриялық білімдер (XIII ғ.) жүйеге түсіріліп, 
тригонометрия математиканың дербес саласы ретінде бөлініп шықты.

Еуропалықтардың позициялық арифметикамен және алгебрамен таныс бола 
бастауына XII ғасырдан бастап мұсылман математиктерінің трактаттарын латын тіліне 
аудару жұмыстарының қолға алынуы игілікті әсерін тигізді. Осының барысында Еуропада 
XIII ғ. бастап позициялық арифметикаға негізделген еңбектер жазған алғашқы кәсіби 
математиктер шыға бастады. Бірақ Еуропада жаңа математиканың таралуы тым баяу 
жүрді.
Қорыта айтқанда, IX-XVI ғғ. элементар математиканың ғылым ретіндегі іргетасын 
қалау толығымен жүзеге асырылды. Бұл аса маңызды мәселені шешуде негізінен, 
мұсылман елдері математиктері жетекші роль атқарды. 
2. 
Бұл дәуірдегі басты математикалық жаңалық математикаға ондық санау жүйесінің 
енгізілуі, яғни қазіргі заманғы позициялық арифметиканың негізінің салынуы болып 
табылады (М. әл-Хорезмидің «Хисаб хинди» («Үнді есебі») атты трактаты). 
 
Трактаттың мәтінін негізінен, үш бөлімге бөліп қарастыруға болады: 1) ондық 
позициялық санау жүйесінің; 2) теріс емес бүтін сандарға және 3) бөлшектер мен 
түбірлерге амалдар қолдану ережелерінің мазмұнын түсіндіру. Мұнда әл-Хорезми тоғыз 
үнді цифрымен және «0» таңбасының формасымен таныстыруды жүзеге асырды, 
сандардың ондық жүйеде жіктелуі мен олардың аталуын келтіріп, қосу мен азайту 
амалдарын орындалуын көрсетті. Трактатта бұл амалдардың анықтамалары келтірілмеген, 
бірақ қосу кезінде қосылғыштарды, ал азайту барысында азайтқышты азайғыштың астына 
разрядтар бойынша жазу керектігі атап көрсетілген. Қосуға сипаттама бергенде автор 
қосылғыштардың қандай да бір разрядында бірліктердің қосындысы 10-ға тең және одан 
артық болатын жағдайда не істеу керектігіне, сол сияқты азайтқыштың қандай да бір 
разрядында азайғыштың сәйкес разрядындағыдан артық цифр тұратын жағдайдағы азайту 
ережесіне арнайы тоқталады.
Көбейту амалына сипаттама беруді автор біртаңбалы сандардың көбейту кестесін 
жатқа білуді талап етуден бастайды. Осы жерде нөлге көбейтудің ерекше жағдайлары 
ерекше атап көрсетіледі. Осы сияқты бөлу амалының орындалуы түсіндіріледі. Келесі 
кезекте әл-Хорезмидің трактатында алпыстық және жай бөлшектерге амалдар қолдану, 
түбір табу мәселелері баяндалады.
Қорыта айтқанда, әл-Хорезмидің трактаты ондық позициялық санау жүйесіне 
негізделген қазіргі заманғы арифметиканың пайда болып, берік орнығуына жасалған 
алғашқы қадам, ал оның авторы адамзат тарихындағы ұлы жетістікке қол жеткізген 
атақты математик болып табылады. 
Позициялық арифметика пайда болған тұста, яғни ІХ ғасырда Араб халифаты аса 
қуатты мұсылман мемлекетіне айналған еді. Онымен шектесетін Еуропа мемлекеттерінің 
оқымысты-монахтары біртіндеп жаңа арифметиканың артықшылықтарына назар аудара 
бастады, сөйтіп, позициялық арифметиканың Еуропа елдеріне таралу үдерісі басталды. 
Негізінен, бұл үдеріс мына үш бағытта өріс алды: 1) мұсылмандық Испания арқылы; 2) 
мұсылмандық Сицилия мен оңтүстік Италия арқылы; 3) Византия арқылы.
 
Осының 
барысында мұсылмандардың позициялық арифметикасына деген 
қызығушылық артты. Бұған ерекше қызығушылық танытқандардың бірі Л.Пизанский 
болды. Ол 1202 ж. «Абак кітабы» атты еңбегін жазды. Пизанский мұсылман 
математиктері енгізген жаңа арифметиканы толығымен қуаттай отырып, оның ең дұрыс 
жол екендігін атап айтады және арифметикалық амалдарды осының негізінде орындаудың 
әдістерін келтіреді. Кітаптың басты ерекшелігі, ондағы материалдардың басым көпшілігі 
мұсылман математиктерінің трактаттарынан латын тіліне аударылып алынған. Тіптен, 
кейбір есептер олардан ешқандай өзгеріссіз, айна-қатесіз көшіріліп берілген. Бұл 
мұсылман математикасының Еуропада позициялық арифметиканың таралуында қандай 
роль атқарғандығын аңғартады.
Алайда, позициялық арифметика Еуропада бірден тарап кете алмады. Орта 
ғасырларда оны қолдаушылармен бірге, оған ашық түрде қарсы шығушылар да көп 
болды. Позициялық арифметиканы жақтаушылар алгоритмшілер, ал оған қарсылар 

абакшылар деп аталды. Алгоритмшілер мен абакшылар арасындағы күрес ұзақ уақытқа 
созылғанына қарамастан, ол алгоритмшілердің толық жеңісімен аяқталды. Осылайша, 
араб цифрлары Еуропаға жаппай таралды.
3. 
IX ғ. әлемдік математика тарихында тұңғыш рет алгебраның жүйелі курсын 
дайындау жүзеге асырылды, ол «Китаб әл-мұхтасар фи-хисаб әл-жебр уә әл-мүкабала» 
деп аталады (авторы - М.әл-Хорезми). 
 
Трактат кіріспеден және 27 тараудан тұрады. Онда оң коэффициентті сызықтық 
және квадрат теңдеулердің 6 түрін шешу ережелері келтірілген: 1) «мүліктер нәрселерге 
тең»; 2) «мүліктер дирхемдерге тең»; 3) «нәрселер дирхемдерге тең»; 4) «мүліктер мен 
нәрселер дирхемдерге тең»; 5) «мүліктер мен дирхемдер нәрселерге тең»; 6) «нәрселер 
мен дирхемдер мүліктерге тең» (I-VI тараулар).

Бұл теңдеулерді шешу нақты мысалдар негізінде ережелер арқылы жүзеге 

асырылып, осы канондық теңдеулерді шешу ережелерінің геометриялық дәлелдемелері 
келтірілген.
 
Мұсылман әлемінде әл-Хорезмидің алгебралық трактатына көптеген түсініктемелер 
жазылды және жаңа трактаттар жазылды, олардың авторлары: ибн Корра, Әбу Кәміл, әл-
Караджи, әл-Махани, әл-Бируни, Омар Хайям, әт-Туси, әл-Кәши т.б. 
XII ғ. әл-Хорезмидің алгебралық трактаты бірқатар Еуропа елдері тілдеріне 
аударылды. Еуропада бұл трактатқа сын-пікір айтушылар мен арнайы түсіндірмелер 
жазушылар көп болды. Олардың барлығы да оған жоғары баға берген.
әл-Хорезмидің алгебралық трактаты мұсылман елдерінде, сондай-ақ аудармалары 
арқылы Еуропада кеңінен таралып, аса маңызды кітапқа айналды және математиканың 
даму тарихында үлкен роль атқарды және жаңа сипаттағы математикалық білім беру 
ісінің жандануына үлкен әсерін тигізді. Алайда, алгебра Батыс Еуропада көп уақыт 
бойына кең жолға шығып, дербес ғылым саласы ретінде дами алмады. Тіптен XVI ғасырға 
дейін алгебраның қандай ғылым екендігі туралы нақты анықтама және оның 
арифметикадан айырмашылығын сипаттайтын нақты тұжырымдар болмады. Ал, 
мұсылман елдерінде жағдай мүлде басқаша болды, мұнда алгебраны ғылым саласы 
ретінде баяндау, оның арифметикамен және геометриямен арасындағы ара жігін анықтау 
бағытындағы жұмыстар ерте қолға алынды.
4. 
Квадрат теңдеулер әл-Хорезмидің алгебралық трактатында бірнеше түрге бөлініп, 
жүйелі түрде қарастырылды және одан кейін де мұсылман математиктерінің басты 
назарында болды. Осы дәуірде квадрат теңдеулерді шешу мәселесі қарастырылған 
мұсылмандық математикалық әдебиет арасынан мына сияқты аса маңызды трактаттар 
жазғандарды ерекше бөліп көрсетуге болады, олар: Әбу Кәміл, әл-Караджи, әл-Ясмини, 
ибн әл-Банна, әл-Кәши.
 
Оларда квадрат теңдеулер анағұрлым терең қарастырылған: квадрат теңдеулер 
үшін белгісіздің квадратын радикалдар арқылы өрнектеудің ережелері тағайындалған, 
көмекші белгісіз енгізу сияқты әдістер қолданылған, квадрат теңдеулер геометриялық 
есептерде шешуде пайдаланылған (Әбу Кәміл); квадрат теңдеулерді шешудің таза 
арифметикалық тәсілдері мен геометриялық дәлелдемелері келтірілген, үшмүшелі 
теңдеулердің канондық типтері қарастырылған (әл-Караджи); т.с.с.
 
 
IX-XVI ғғ. аралығында Еуропа математикасында квадрат теңдеулер туралы ілімге 
ешқандай жаңалық қосылған жоқ деуге болады. Л.Пизанскийдің «Абак туралы кітабында» 
квадрат теңдеулерге берілген біршама есептер қамтылғанымен, кітап авторының квадрат 
теңдеулердің әл-Хорезми көрсеткен алты канондық түрін келтірумен ғана шектелетіндігін 
байқауға болады. Сондай-ақ оның мысалдарының көпшілігі әл-Хорезмидің, әсіресе Әбу 
Кәмілдің трактатынан алынған. 

жүктеу/скачать 1,77 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: