2 дәріс. Топтар. Жартылай топтар және моноидтар. Циклдік топтар
жүктеу/скачать 1 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Дәлелдеуі
- Теорема жалпыламасы
- 7 дәріс. Бірінші дәрежелі салыстырулар Бір айнымалысы бар бірінші дәрежелі салыстырулар
| Ферманың кіші теоремасы — сандар теориясының классикалық теоремасы былай дейді:
Егер p — жәй сан және a p-ға бөлінбесе, онда a p — 1 ≡ 1 (mod p) (немесе a p — 1 — 1 p-ға бөлінеді). Басқаша тұжырымдасақ, Кез келген жәй p мен бүтін a үшін a p — a p-ға бөлінеді. Дәлелдеуі Кез келген жәй p және бүтін теріс емес a үшін p-ға бөлінетіндігін көрсетейік. a бойынша индукциямен дәлелдейік. Негізі a=0 үшін p-ға бөлінеді. Көшу. Тұжырым a=k үшін орындалсын. a=k+1 үшін дәлелдейік. Бірақ p-ға индукция жорамалы бойыншы бөлінеді. Басқа қосылғыштарды айтсақ, онда . үшін, осы бөлшектің алымы p-ға бөлінеді, ал бөлімі — бөлінбейді, олай болса, -ға бөлінеді. Сондықтан барлық қосылғыштар p-ға бөлінеді. Теріс a және тақ p үшін теореманы b=-a деп қойып оңай дәлелдейді. Теріс a мен p=2 үшін теореманың растығы екендігінен шығады. Дәлелдеу керектігі де осы. Теорема жалпыламасы Теореманың аздаған жалпыламасы мынадай: егер p жәй сан болса, ал m мен n — болатындай оң бүтін сандар болса, . Осы түрде теорема ашық кілтті шифрлеу RSA жүйесінде пайдаланылады. Ферманың кіші теоремасы Эйлер теоремасының жекеше түрі, ал Эйлер теоремасының өзі Кармайкл мен Лагранж теоремаларының жекеше түрі болып табылады. Ферманың кіші теоремасы шекті өрістер теориясында да жалпыламасы бар. 7 дәріс. Бірінші дәрежелі салыстырулар Бір айнымалысы бар бірінші дәрежелі салыстырулар Сандардың элементар теориясының маңызды мәселелерінің бірі болып табылатын салыстырулар теориясының негізіне тоқталайық. Салыстыру жөніндегі ұғым, мұны ең алғаш рет қолданған Гаусс, бір санның екінші санға бөлінгіштігі ұғымымен тығыз байланысты. Бұл ұғым бізге әсіресе берілген сандардың бірі екіншісіне бөлінетін-бөлінбейтінін және де қандай қалдық қалатынын білу керек болғанда аса қажет болмақ. Алгебра және сандар теориясын оқу барысында мектеп матемтикасымен тығыз байланысты көптеген тақырыптар қарастырылады. Арифметикадағы қосу, алу, көбейту, бөлу амалдары математикалық объектілер жиынындағы алгебралық операциялар болып жалпыланады. Арифметикадағы қалдықты бөлу, сандардың бөлінгіштігі, үлкен,кіші, тағы басқа ұғымдар, геометриядағы фигуралардың ұқсастығы, түзулердің параллельдігі, перпендикуляр болуы,тағы басқа ұғымдар бинарлық қатынастың дербес жағдай екендігі көрсетіледі. Нөлдің қасиеті, таңбалар ережесі минуспен байланысты амалдардың басқа қасиеттері мектеп математикасында дәлелдеусіз беріледі. Топтар, сақина, өріс тақырыптары үйрену кезінде бұл қасиетердің барлығы және жақша ашу ережелері дәлелдеумен беріледі. Мектеп математикасының негізін құратын натурал сандар, бүтін сандар, рационал және нақты сандар жүйелері аксиомалар арқылы құралады. Бүтін сандарды қалдықпен бөлу, екі санның ең үлкен ортақ бөлгіші, ең кіші ортақ еселігі, жай сандар, бүтін санды жай сандардың көбейтіндісіне жіктеу, тағы басқа сұрақтар толық қарастырылған. Бұл сұрақтар 4-5 сынып математикасында оқылады, сондықтан мектеп мұғалімі үшін бірден-бір керек. Салыстыру теориясы бойынша 8 сыныпта факультатив курсын оқуға болады. Математикада салыстыру теориясын көп жерде қолданады. Мысалы, салыстыру теориясы арқылы екі айнымалы бірінші дәрежелі теңдеуді шешуде, санды санға бөлгенде қалдықты табу, арифметикалық амалдың дұрыс орындалғандығын тексеру, жәй бөлшекті ондық бөлшекке айналдырғандағы период ұзындығын табу, тағы сол сияқты мәселелерде қолданады. Мектепте қолданылатын бөлінгіштіктің белгілері дәлелденді, жай бөлшекті ондық бөлшекке аударғандағы период ұзындығын табу жолы көрсетіледі. Салыстырулардың қолданылуына мысал ретінде алдымен бөлінгіштік белгілері жөніндігі мәселені қарастырайық. Мынандай есептің шешуінің практикалық және теориялық мәнісі зор: бөлу амалын орындамай тұрып, берілген санның бірі екінші санға бүтіндей бөліне ме, егер бөлінбесе, қандай қалдықтын қалатынын тағайындау керек. Бұл жерде кез келген бүтін санның басқа бір санға бөлінуі үшін қажетті және жеткілікті шарттарды көрсету өте маңызды. Бұл мәселені жалпы түрде шешу қиынға соғады, кейбір жағдайлар үшін тек жеткілікті шарттарды ғана, яғни сандардың бөлінгіштік белгілерін ғана, көрсетуге болады. Біз енді сандардың 2-ге, 3 пен 9-ға, 4-ке, 5-ке, 7-ге, 11-ге, 13-ке бөлінгіштік белгілерді дәлелдейік. Дәлелдеу Паскаль теоремасына негізделген санау системасындағы саны. болсын, бұнда санау ситемасының цифрлары және санын модуль бөлгендегі қалдық болсын. белгілейік. болғандықтан Бұдан бөлінгіштіктің Паскаль белгісі шығады: саны бөлінеді сонда, тек сонда егер ге бөлінсе. Дербес жағдай ондық санау жүйесінде (1) демек, ондық санау жүйесінде деп жазылады. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - жүктеу/скачать 1 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|