Абай атындағы

127 
 
UDK 519.63                        
L.M. Tukenova  
 
NON-IMPROVED RATE OF CONVERGENCE ESTIMATE IN THE 
METHOD OF FICTITIOUS DOMAINSS FOR THE OCEAN MODEL 
 
(Almaty, Kazakh Economic University  of the name  T. Ryskulov) 
 
Бұл  жұмыста  сызықты  емес  мұхит  есебінің  моделіне  жалған  облыс  әдісінің 
нұсқалары  қарастырылады.  Жалған  облыс  әдістерінің  кӛмегімен  жуықтау  әдісінің 
жинақталуы  және  шешімінің  бар  болуы  туралы  теорема  зерттелген.  Жалған  облыс 
арқылы  жинақтылықтың  жылдамдығының    жақсартуға  келмейтін  бағалау  
кӛрсетілген. 
В работе изучаются варианты метода фиктивных областей для нелинейной модели 
океана.  Исследованы  теорема  существования  и  сходимости  решения  приближенных 
моделей,  полученных  с  помощью  метода  фиктивных  областей.  Выведена 
неулучшаемая оценка скорости сходимости решения метода фиктивных областей. 
The versions of fictitious domains method for non-linear ocean model are studied in this 
work. The theorems of existence and convergence for the auxiliary problem of the fictitious 
domains  method  are  proved.  The  non-improved  convergence  speed  estimation  has  been 
obtained. 
 
Түйін сөздер: жалған облыс әдісі, жақсартуға келмейтін бағалар. 
Ключевые слова: метод фиктивных областей, неулучшаемая оценка. 
Keywords: fictitious domains method, unimproved estimation. 
 
Nonstationary linear equation of the ocean stream in the domain  
,
)
,
0
(




T
T
  
,
)
,
0
(
1




H
 
2
1
R


 leads to the evaluation of the next differential equations [1] 



t

0

,
ˆ
2
2
f
l
x













                                                (1) 
,
0
)
(
ˆ
3
0
3
2
1
1
3
0









dx
x
x
dx
v
i
d
H
H



  
,
0
3



x

   



,
0
dx

                         (2) 
With initially limited conditions 
 
,
,
0
,
0
0
0
3
0
3
3
x
x
t
H
x
x












                                    (3) 
where  υ=( υ
 
  υ
 
), 

ˆ =(
2
1
,
x
x




), 
,
0

r

 


lateral limit of domain 

.                                                  (4) 
The problem (1)-(4) can be solved by the method of fictitious domains [2], [3]. We 
solve the system of equations with the smallest parameters by using the method of fictitious 
domains with the continuation by the smallest coefficients in auxiliary areas 
,
)
,
0
(
D
T
D
T


          
0
0
1
)
(
)
,
0
(
D
H
D








, which strictly contains in itself   

  
with the lateral limit G 
















)
(
ˆ
0
2
3
2
0
x
f
l
x
t













,                (5) 

128 
 
,
0
ˆ
3
0


dx
v
i
d
H


    
,
0
3



x


     


D
dx
,
0

                   (6) 
),
(
0
0
x
t





                                                                       (7) 
,
0
0
3


x


        
,
0
3
3




H
x
x


      
,
0

Г


                                         (8) 
где   

)
(
0
х

{
,
,
0


x
0
,
1
D
x

 
Methods  of  getting  the  unimproved  estimation  of  convergence  velocity  by  using  the 
method  of  fictitious  domains  for  linear  parabolic  equations  [4]  are  not  appropriate  for  this 
systems. In this work we offer you new slant in getting exact estimation of mistakes between 
the  solutions  of  problems  and  estimated  solution  which  was  obtained  by  the  method  of 
fictitious domains.        
Further we will designate the different constants which depend on this problems and constant 
theorem  of  inflow  and  do  not  depend  on  the  smallest  parameter  ε    by  C.  We  will  use  the 
designations of spaces from the work [5]. 
        Lets write the spaces 

)
(
ˆ D
C
{
),
(
)
,
(
2
2
1
D
C





  



H
dx
v
i
d
,
0
ˆ
3

 
,
0

Г

,
0
3




H
x
x

 
.
0
0
3


x

}    
The locking    

)
(
ˆ D
C
 
in the normals of the spaces 
),
(
2
D
L
   
),
(
1
2
D
W
     
)
(
2
2
D
W
 we designate  by 
),
(
0
D
V
    
),
(
1
D
V
   
)
(
2
D
V
. 
Definition.  The  strongest solution of the problem (5)-(8) is the function       
  
))
(
;
,
0
(
2
2
D
V
T
L



,  
)),
(
;
,
0
(
ˆ
2
2
D
L
T
L




     
))
(
;
,
0
(
2
2
D
L
T
L
t



, which 
satisfies  to  the  equation  (5)-(6)  and  to  the  initially  limited  conditions  (7),  (8)  in  the  suitable 
way. 
Lets continue the functions 
).
,
(
),
(
0
t
x
f
x

by zero out of  

.      
The next theorem is obtained: 
Theorem  1.  Let 
)),
(
;
,
0
(
)
,
(
2
2
D
L
T
L
t
x
f

  
),
(
)
(
1
0
D
V
x


   
.
2
C


 Then there are 
only  one  solution  of  the  problems  (5)-(8)  and  for  this  solution  the  estimation  below  is 
appropriate  
 
,
ˆ
))
(
;
,
0
(
))
(
;
,
0
(
))
(
;
,
0
(
2
2
2
2
2
2







C
D
L
T
L
D
V
T
L
D
L
T
L
t




                                           (9) 
,
))
(
;
,
0
(
2
2




C
L
T
L



                                                                                              (10) 
where  
,



С
   
,
0


  

 - is the solution of the problems (1)-(3). The estimation (10) 
is unimproved in the order of  
.

 
The method of fictitious domains in the continuation by the biggest coefficient. 
The method of fictitious domains for the problems (1)-(3) in the continuation with the 
biggest coefficients will lead us to the solution of  the system of differential equations in the 
domain 
.
T
D
 
 

129 
 
,
)
ˆ
(
2
3
2
0
f
l
div
x
t
























                    (11) 


H
dx
div
0
3
,
0


                                                                        (12) 
The systems (11), (12) can be solved with the conditions  
),
(
0
0
x
t





   
,
D
x

  
,
0

Г


   
),
,
0
( T
t

                    (13) 
And with the conditions of accordance   
,
0
]
[




      
,
0
]
[











n
      
),
,
0
(
T
t

                      (14) 
where    


metric tensor,   



{
 
 
 
 
,
,


х

0
,
D
х



, 


[.]
 means the leap of the function in the boundary 
.

 The next theorem takes place  
          
Theorem 2. Let  
),
(
)
(
1
0
D
V
х


  
)),
(
:
;
,
0
(
2
2
D
L
T
L
f

   
.
2
C


 Then the problems 
(11)-(14) have the only solution and for this solution the next estimations are obtained 
,
<
))
(
;
,
0
(
))
(
;
,
0
(
))
(
;
,
0
(
2
2
3
3
1
2
2
2






C
t
D
L
T
L
x
x
D
V
T
L
D
L
T
L






 
),
(
ˆ
ˆ
)
(
1
))
(
;
,
0
(
)
(
0
))
(
;
,
0
(
))
(
;
,
0
(
))
(
;
,
0
(
))
(
;
,
0
(
))
(
;
,
0
(
))
(
;
,
0
(
2
2
1
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
1
1
0
2
2
2
2
2
2
2
D
L
T
L
D
V
D
L
T
L
D
L
T
L
L
T
L
D
L
T
L
x
x
D
L
T
L
x
x
W
T
L
f
C


























      (15) 
,.
))
(
;
,
0
(
2
2




C
L
T
L



                                                                                                    (16) 
Where in 
0


   the solution of the problems (11)-(14) leads to the solution of the problems 
(1)-(3). 
The estimation of solution proximity (16) is unimproved in the order of 

. 
Mathematical  modeling  of  limited  conditions  of  oceanology  by  using  the  method  of 
fictitious domains. 
 In the systems (1), (2)in physical setting there are not any limited conditions for the function 
)
,
,
(
2
1
t
x
x

  (level of water). This fact in some cases makes it difficult to find the effective 
numerical algorithm. Then we offer the variation of the method of fictitious domains for the 
non  linear  stationary  problems,  where  we  can  define  the  limited  conditions  for  the  function  
).
,
,
,
(
2
1
x
x
t

 
Lets look to the system of  nonlinear stationary model of ocean 
f
l
x






















2
3
2
0
)
(
,                                             (17) 





H
x
dx
w
d
0
3
3
,
0
,
0



          

130 
 
With limited conditions 
,
0
3
3




H
x
x

        
,
0
0
3


x

       
,
0



                                              (18) 
where  
).
,
,
(
3
0
3
2
1



x
dx
v
i
d






 
For  the  problems  (17),  (18)  in  accordance  to  the  method  of  fictitious  domains  we 
formulate  auxiliary  problem.  Lets  suppose  that  the  domain
]
,
0
[
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
H
D



   is 
parallelepiped   
f
x
l
x




























)
(
)
(
0
2
3
2
0
3


,                   (19) 
   





H
x
dx
v
i
d
0
3
3
,
0
,
0





                                                     (20) 
By putting instead of  
1
x
,
2
x
–the periodical conditions for the function     


,


 
,
1
0







i
i
x
k
i
k
x
k
i
k
x
x




         k=0,1,     i=1,2,                                      (21) 
,
1
0







i
i
x
k
i
k
x
k
i
k
x
x



           k=0,1,     i=1,2,                            (22) 
,
0
3
3




H
x
x


        
.
0
0
3


x


                                                (23) 
The solution of the problem obtains next theorem. 
Theorem 3. If 
)
(
2
D
L
f

 ,  
.
2
C


 ,  Then there are only one solution of problems (19)-
(23) exists and for this solution the next estimation can be used  
,
1
)
(
L
)
(
)
(
2
0
2
1
D
D
L
D
V
f
C







       
,
)
(
L
)
(
)
(
2
1
2
2
D
D
V
D
W
f
C





        
,
)
(
2




C
L



   
  in the smallest   
,
)
(
2
D
L
f
                            (24)   
     
 
 
 where  


  is the solution of the problems (17)-(18)  



C
  when  
.
0


   
We notice that the numerical solution according to the  
  



 we get the equation of Puasson with the discontinued coefficients which depends 
on the smallest parameters. Here we can use the ittirational methods offered in the article [2], 
where the velocity of convergence does not depend on the changes of the smallest parameter  

.   In the same way we can research the method of fictitious domains with the offer to the 
biggest  coefficient  with  the  limited  conditions  (21)-(23).  Obtained  exact  estimation  of  the 
convergence velocity  
.
)
(
2




C
L



                                                 (25) 
We  will  learn  the  mathematical  modeling  of  the  limited  conditions  by  using  the  method  of 
fictitious domains for the non-stationary equations of oceanology. 

131 
 
,
)
(
)
(
0
3
3
2
0

















x
f
x
t















     


H
dx
v
i
d
0
3
,
0



   (26) 
With the limited conditions   (21),  (22) and 
 
,
0
0





t
    
,
0
0
3


x


     
.
0
3
3




H
x
x


 
The next theorem can be obtained 

жүктеу/скачать 5,39 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: