Ескерту.Формулалардағы  бөлшектердің  бөлімі  жазық  фигураның  ауданына тең болып шығады.  Мысалы

82 
 
Осыдан,   





R
R
R
y
c
3
4
2
3
2
3
3
. 
Жауабы:  
0

c
x
, 



R
y
c
3
4
. 
3.2.3Біртекті жазық материялық доғаның ауырлық центрі 
)
(x
f
y 
b
x
a


-
XOY
жазықтығындағы    біртекті  материялық 
қисық болсын. 
Жазықтықта  берілген  біртекті  қисықтың  ауырлық  центрінің 


c
c
y
x ,
координаталары мына формулалармен есептеледі: 
; 
dx
x
f
dx
x
f
x
f
M
M
y
b
a
b
a
x
c








)
(
1
)
(
1
)
(
2
2
 
(формулаларды  қорытып  шығару  жоғарыда  көрсетілген  3.1п.  жолмен 
жасалады).   
Мысалы. 
біртекті  жарты  шеңбер  ауырлық  центрінің 
координаталарын есептеу керек. 
Шешуі: 
0

c
x
болатыны  анық  (біртекті  және 
OY
осіне  қатысты 
симметриялы болу себебінен). 
 
- 
өрнегі 
шеңбер 
ұзындығының 
жартысы. 
dx
x
f
x
f
b
a



)
(
1
)
(
2
 интегралын есептейік. 
2
2
x
R
y


, 
; 
R
a


, 
R
b 
.  
)
1
( 

dx
x
f
dx
x
f
x
M
M
x
b
a
b
a
y
c








)
(
1
)
(
1
2
2
2
2
x
R
y


R
dx
x
f
b
a





)
(
1
2
2
2
x
R
x
y





83 
 
Сондықтан, 
2
2R
. 
Осыдан барып, 




R
R
R
y
c
2
2
2
. 
Жауабы: 
0

c
x
, 


R
y
c
2
. 
3.2.4Сұйықтың вертикаль пластинаға жасайтын қысымы 
Анықталған  интегралды  қолданып,  сұйыққа  вертикаль  батырылған 
пластинаға сұйықтың түсіретін қысымын есептеуге болады (24-сурет). 
Пластина 
мына 
сызықтармен 
шектелген 
болсын 
h
x
x

 ,
0
 
 
x
f
y
x
f
y
2
1
,


. 
Сұйықтың тығыздығы 

 болсын, еркін құлау тұрақтысы
.
/
10
2
сек
м
g 
 
 
 
24-сурет. 
Сұйықтың  x тереңдіктегі қысымы 
gx

болатыны белгілі. Осыx тереңдіктегі 
аудан  элементі 
 
 


dx
x
f
x
f
dS
2
1


.  Сонда  сұйықтың  бүкіл  пластинаға 
түсіретін қысымын келесі формуламен есептейміз: 
 
 


dx
x
f
x
f
x
g
F
h
2
1
0




. 
1  мысал.  Пластина  қимасының  биіктігі 
h
,  табаны  a   болатын  үшбұрыш 
түрінде,  оның  табаны  судың    бетінде  орналасқан  болса,  судың  пластинаға 
түсіретін қысымын есептеу керек. 
















b
a
R
R
R
R
R
R
Rx
dx
R
dx
x
R
x
x
R
dx
x
f
x
f
2
2
2
2
2
2
1
)
(
1
)
(
h
 
x
 
)
(
1
x
f
y 
 
)
(
2
x
f
y 
 
y
 
dS
 
0
 
dx
 

84 
 
 
25-сурет. 
Шешуі: 
OX
осі  үшбұрыштың  биіктігімен,  ал 
OY
осі-  табанымен  (25-
суретті  қараңыз)  беттесетіндей  етіп  таңдап  аламыз. 
ABC
үшбұрышы 
OX
қатысты  симметриялы  болғандықтан,  судың 
COB
үшбұрышына  түсіретін 
қысымын  есептеп,  оны  екі  еселесек  жеткілікті. 
COB
үшбұрышынің 
BC
қабырғасының 
теңдеуін 
ідейміз. 
Екі 






2
;
0
a
B
және


0
;
h
C
 
нүктелерінің 
координаталары 
арқылы 
теңдеуді 
анықтаймыз, 
сонда 


h
x
h
a
y
a
y
h
x
BC
2
1
2
:





. Осыдан 
 

















h
h
h
dx
x
h
x
h
a
g
dx
h
x
h
a
x
g
dx
x
f
x
g
F
0
0
0
2
2
2
 
6
3
2
3
2
2
3
3
0
3
2
h
a
g
h
h
h
a
g
x
hx
h
a
g
h
























(күш бірлігі). 
2  мысал.Бөгеттің  (плотина)  формасы 
1
2
2
2
2


b
y
a
x
теңдеуімен  берілген 
жарты  эллипс  түрінде.Кіші  осі  - 
b
2
сұйық  бетінде  жатыр.  Үлкен  ось  - 
a
2
. 
Судық бөгетке түсіретін қысымының сандық мәнін табыңдар. 
Шешуі:  Координаталар  жүйесін 
OY
  осін  горизонталь, 
OX
осін  вертикаль 
етіп  таңдаймыз ( 26 сурет).  x  тереңдіктен ені 
dx
болатын  жолақ қиямыз, оның 
ауданы  шамамен 
dx
y 
2
  (
y
  айнымалысы  эллипстің  теңдеуінен  алынады:
2
2
x
a
a
b
y



). Судың меншікті салмағы: 
1


.  
a
 
A
 
h
 
0
 
)
(c
f
 
x
 
C
 
r
п
2
 

85 
 
 
 
26-сурет. 
Сонда













a
a
a
x
a
d
x
a
a
b
dx
x
a
a
b
x
dx
y
x
F
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
 


3
2
3
2
2
3
2
3
0
2
3
2
2
ba
a
a
b
x
a
a
b
a





 
(эллипстің 
OX
осіне 
қатысты 
симметриялы  болуына  байланысты  қысымды  эллипстің 
Oab
ширегіне 
есептейміз де, нәтижені екі еселейміз
2
2
x
a
a
b
y


). 
 
3.2.5Анықталған интегралды қолданып күштің жұмысын есептеу 
 
Мысалы.  Егер 
  =
Н
20
күші  серіппені  5  см  соза  алатын  болса,  онда 
серіппені 10 см созу қанша 
A
жұмыс жасалуы қажет? 
Шешуі: Гук заңы бойынша серіппені созатын серпімділік күші, 
b
созудың 
ұзындығына  пропорционал,  яғни
 
kx
x
F

,  мұндағы
k
  -  пропорционалдық 
коэффициенті.  Есептің  шарты  бойынша 
Н
20

F
күші  серіппені
05
,
0

x
м 
шамағасозады,  сондықтан, 
05
,
0
20

 k
.  Осыдансерпімділік  коэффициенті 
400

k
және
 
x
x
F
400

.    Анықталған  интегралдың  анықтамасы  бойынша 
және 
1.1.3. 
анықтамаға 
сәйкес, 
қажетті 
жұмыстың 
шамасы
2
200
400
1
,
0
0
1
,
0
0
2




x
dx
x
A
Дж. 
 
 
F
0
 
a
 
b
 
dx
 
b

 
b
 
y
 

86 
 
ӨЗ БЕТІМЕН ШЫҒАРУҒА ТАПСЫРМАЛАР 
 
Тапсырма 
Жауаптары 
1 
Төменде 
берілген 
түзулермен 
шектелген 
үшбұрыштың 
OX
және
OY
остеріне 
қатысты 
статикалық моменттерін есептеіңіз. 
1


b
y
a
x
, 
0
,
0


y
x
 
6
2
ab
M
x

 
 
2 
Тіктөртбұрыштың  қабырғалары 
a және болса, 
оның  осы  қабырғаларға  қатысты  статикалық 
моментін есептеіңіз. 
2
2
ab
M
a

2
2
b
a
M
b

 
3 
Төменде 
берілген 
қисықтармен 
шектелген 
фигураның 
 
OX
және
OY
остерін 
қатысты 
статикалық моменттерін  табыңыздар:
2
1
2
x
y


 и  
2
x
y 
. 
1
2



x
M
 








4
1
2
ln
2
y
M
 
4 
Төменде 
берілген 
қисықтармен 
шектелген 
фигураның  ауырлық  центрін  табыңыздар:
2
x
y 
,  
x
y 
 
20
9


c
c
y
x
 
5 
Қабырғалары  aжәнеbтіктөртбұрыш  төбесі  осы 
төртбұрыштың  бір  төбесімен  сәйкес  келетін  және 
сол төбеге қарсы төбе арқылы өтетін параболамен 
екіге  бөлінеді.  Осы  төртбұрыштың  екі 
1
S
және
2
S
бөлігінің де ауырлық центрін табыңыз 
 
 
5
3
:
1
a
x
S
c

 
8
3b
y
c

 ; 
10
3
:
2
a
x
S
c

 
4
3b
y
c

 
6
2
b
a
M
y

b

87 
 
6 
Берілген  түзудің  координаталық  екі  осьтің 
арасындағы 
бөлігінің 
статикалық 
моменттерінесептеңіз:
1


b
y
a
x
. 
2
2
2
2
2
2
b
a
a
M
b
a
b
M
y
x




 
7 
Берілген  қисықтың  бірінші  ширекте  жатқан 
бөлігінің ауырлық центрін табыңдар: 
. 



6
c
c
y
x
 
8 
Астроиданың  бірінші  ширекте  жатқан  доғасының 
OX
және
OY
остеріне 
қатысты 
статикалық 
моменттері 
мен 
ауырлық 
центрінің 
координаталарын табыңыз: 
3
2
3
2
3
2
a
y
x


. 
a
y
x
a
M
M
c
c
y
x
5
2
5
3
2




 
9 
Тізбекті  сызықтың  (цепная  линия) 
a
x


және
a
x    нүктелерінің  арасындағы  бөлігінің  ауырлық 
центрінің 
координаталарын 
табыңыздар:













2
ch
ch
z
z
e
e
z
a
x
a
y
 
1
sh
2
sh
2
4
0



a
y
x
c
c
 
10  Егер 
F
  =
Н
1
күші  серіппені  1  см  соза  алатын 
болса,  онда  серіппені  5  см  созу  үшін  қанша 
A
жұмыс жасалуы қажет? 
0,125 Дж 
11  Табанының 
радиусы 
R
, 
биіктігі
R
 
конус 
формасындағы  құм  төбешік  жасау  үшін  қанша 
жұмыс  жасалатынын  есептеу  керек.  Құмның 
меншікті салмағы 

. 
2
2
12
1
H
R

 
12  Радиусы 
R
,  биіктігі
h
массасы  m денені  Жердің 
бетінен  көтеру  үшін,  қанша  жұмыс  жасалуы 
қажет? 
h
R
h
R
g
m

 
13  Теңбүйірлі 
трапеция 
түріндегі 
вертикаль 
пластинаға 
түсірілетін 
судың 
(тығыздығы

) 
қысымын  есептеу  керек.  Трапецияның  биіктігі
h
, 
.


b
a
h
g
2
6
1
2


 
2
9
x
y



88 
 
үлкен  табаны  - 
b
,  алсудын  бетіндегі  кіші  табаны 
a . 
14 
Тоспаның  (шлюз)  тікбұрышты  қақпаларына 
түсіретін  судың  (тығыздығы

)  қысымын  есептеу 
керек,  егер  қақпалардың  ені  a ,  биіктігі 
b
,  ал 
тоспаның үштен бірі ғана сумен толтырылған. 
2
18
1
b
a
g 
 
15 
Кеменің  вертикаль  бортындағы  жартылай 
суға 
батырылған 
диаметрі
D
иллюминаторға 
судың  (тығыздығы

)  түсіретін  қысымын  есетеу 
керек.  
3
12
1
D
g 
 
 
ҮШІНШІ БӨЛІМДІ ҚАЙТАЛАУҒА АРНАЛҒАН СҰРАҚТАР 
1.Қисық сызықты трапецияның ауданы; 
2.Айналу денесінің көлемі; 
3.Доғаның ұзындығын есептеу; 
4.Айналу денесі бетінің ауданын есептеу; 
5.Жазық пластинаның массасы, ауырлық центрі; 
6.Материялық доғаның массасы және ауырлық центрі; 
7.Сұйықтың горизонталь пластинаға қысымы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

89 
 
4 ИНТЕГРАЛДАРДЫ ЖУЫҚТАП ЕСЕПТЕУ 
 
Кейде 
 

b
a
dx
x
f
интегралын  аналитикалық  жолмен  есептеу  қиынға  түседі 
(жоғарыда  айтылған  кез-келген  әдіс-тәсілдерді  қолданып),  ол  есептеудің 
ұзақтығына  байланысты  немесе  интеграл  мүлде  алынбауы  мүмкін.  Осындай 
интегралдарды  есептеуге  интегралды  кесіндіде  жуықтап  есептеу  әдістерін 
қолданады.  Жуықтап  есептеу  әдістерін  олар  бойынша  алгоритмдер  құрып, 
программалар  жазу  арқылы  ЭЕМ  орындауға  болады.Интегралды  жуықтап 
есептеу-сандық  әдістерге  жатады.  Сандық  есептеу  интегралдың  мәнін 
жуықтап  қайсібір  қателікпен  есептейді.  Ол  қателіктер  есептеудің  дәлдігі  мен 
таңдалған  әдіске  байланысты  пайда  болады.Көбіне  берілген 


b
a,
кесіндісін 
қадамы  h: 
h
a
b
n
x
b
x
a
n
k
kh
x
x
n
n







,
,
,
,...,
1
,
0
,
0
0
,  болатын  тең  бөліктерге 
бөліп (біртекті тор) қарастырады. 
 
4.1 Тіктөртбұрыштар формуласы 
 
Былай 
 
k
k
x
f
y 
  белгілеп  алайық.  Берілген  интегралды  табндарының 
ұзындықтары  бірдей 
h
,  биіктіктері  әртүрлі 
k
y
болатын  берілген  кесіндіде 
интеграл 
астындағы 
функция 
графигінің 
астында 
орналасқан 
тіктөртбұрыштардың 
аудандарының 
интегралдық 
қосындысымен 
ауыстырамыз.. 
Егер  бірінші  тіктөртбұрыштың  биіктігі 
0
y
  деп  алынса,  онда  соңғы  дербес 
кесіндіде  биіктік
1

n
y
  деп  алынады.  Осыдан  бірінші  тіктөртбұрыштар 
формуласын аламыз. 
 







b
a
n
y
y
h
dx
x
f
1
0
...
. 
Егер  бірінші  кесіндідегі  тіктөртбұрыштың  биіктігі 
1
y
  деп  алынса,  онда 
соңғы 
кесіндідегі 
тіктөртбұрыштың 
биіктігі 
n
y
. 
 
Осыдан 
екінші 
тіктөртбұрыштар формуласын аламыз: 
 






b
a
n
y
y
h
dx
x
f
...
1
. 
Тік  төртбұрыштар  формуласының  дәлдігін  бағалау  үшіншін 
 
x
f
функциясын Тейлор қатарына жіктеп, қалдық мүшесін бағалаймыз. 
Бірінші формула үшін  
 
 










,
...
...
1
0
2
1
0
1
1
0
0
0
h
a
b
M
y
y
h
n
Mh
y
y
h
dx
h
y
y
dx
x
f
n
b
a
n
k
h
k
x
kh
x
n
k




















 

мұндағы


 
x
f
M
b
a


,
max
. 
Екінші формула үшін  

90 
 
 
 










,
...
...
1
2
1
0
1
1
1
0
0
h
a
b
M
y
y
h
n
Mh
y
y
h
dx
h
y
y
dx
x
f
n
b
a
n
k
h
k
x
kh
x
n
k













 







мұндағы


 
x
f
M
b
a


,
max
. 
Осылайша,  екі  формула  да  hқателігін  береді  және  бірінші  ретті  дәлдіктегі 
формулалар болып саналады. 
Тік  төртбұрыштар  формуласының  дәлдігін  функцияның  мәндерін  дербес 
кесінділердің  ортасында  есептеу  арқылы  көтеруге  болады.  Осыдан  үшінші 
тіктөртбұрыштар формуласы алынады: 
 

























b
a
n
h
x
f
h
x
f
h
dx
x
f
2
...
2
1
0
. 
Осы формуланың қатесін бағалайық: 
 
 



 

















































b
a
n
k
h
k
x
kh
x
k
k
k
k
dx
h
x
x
f
h
x
x
h
x
f
h
x
f
dx
x
f
1
0
1
2
0
0
2
2
1
2
2
2
























2
...
2
1
0
h
x
f
h
x
f
h
n
+ 


 


h
k
x
kh
x
n
k
k
h
k
x
kh
x
k
k
h
x
x
f
h
x
x
h
x
f
1
1
0
3
1
2
0
0
0
0
|
2
3
1
2
1
|
2
2
1
2






































 























2
...
2
1
0
h
x
f
h
x
f
h
n
+0+


2
2
24
h
a
b
M

 
Осылайша,  үшінші  формуланың  қателігі 


2
2
24
h
a
b
M

  мәнінен  аспайды, 
мұндағы


 
x
f
M
b
a


,
2
max
.  Бұл  -  формуланың  дәлдігі  екінші  ретті  екендігін 
көрсетеді. 
 
4.2 Трапециялар формуласы 
 
Бірінші  және  екінші  тіктөртбұрыштар  формулаларын  мүшелеп  қосып, 
екіге бөейік. 
 


b
a
dx
x
f
.
2
1
...
2
1
1
1
0











n
n
y
y
y
y
h
 
Бұл  –трапециялар  формуласы.Оның  бұлай  аталуының  себебі  мынада: 
Кесіндінің  әрбір 




h
k
kh
1
,

  бөлігіне  сәйкуес  функция  графигінің  астында 
орналасқан  фигураның  ауданын 


1
2
1


k
k
y
y
  трапеция  ауданымен  жуықтаймыз. 
Содан,  
 




























n
n
n
n
n
n
b
a
y
y
y
y
h
y
y
y
y
y
y
y
y
y
dx
x
f
2
1
...
2
1
...
2
1
1
1
0
1
1
2
2
2
1
1
0
 

91 
 
Интеграл  астындағы  функцияны  бөлу  нүктелеріндегі  мәндері  осы 
функцияның  мәндерімен  сәйкес  келетін  бөлшек-сызықты  функциямен 
аппроксимациялаймыз  (жуықтаймыз).  Бөлшек-сызықты  функция  графигінің 
астында 




h
k
kh
1
,

кесіндісіне сәйкес жатқан аудан 




1
1
2
1
2
1






k
k
k
k
k
y
y
h
y
y
h
y
. 
Осындай  аудандарды  барлық  интегралдау  кесінділері  бойынша  қоссақ, 
тағы да трапециялар формуласы алынады. 
Трапециялар  формуласы  –екінші  ретті  дәлдікті  формула  екендігін 
көрсетуге болады.  Интегралды бұл формуламен есептеудің қателігі 


2
2
12
h
a
b
M

мәнінен аспайды, яғни үшінші тіктөртбұрыштар формуласының қателігінен екі 
есе көп. 
 
 
4.3 Симпсон формуласы 
 
 
x
f
функциясын 
дербес 
кесіндіде 
квадраттық
c
bx
ax
f
q



2
 
функциясымен төмендегі қатынас орындалатындай етіп аппроксимациялаймыз: 
 
  











,...
2
,
0
,
2
2
,
)
1
(
)
1
(
,








k
h
k
f
h
k
f
h
k
f
h
k
f
kh
f
kh
f
q
q
q
 
 
Лемма.


 
 














v
u
q
q
q
v
f
v
u
f
u
f
v
u
dx
c
bx
ax
)
2
(
4
6
2
. 
Дәлелдеу: Дәлелдеуді 
h
k
v
kh
u
)
2
(
,



 үшін жүргізейік. Мынадай ауыстыру 
жасаймыз:
h
k
x
z
)
1
( 


. 
Сонда формула мынаған келеді: 




 
 










h
h
q
q
q
h
f
f
h
f
h
dx
c
bx
ax
0
4
3
2
. 
Сол жағы













h
h
h
h
h
h
ch
ah
ch
bx
ax
dx
c
bx
ax
2
3
2
2
|
2
1
|
3
1
3
2
3
2
 
Оң жағы


ch
ah
c
bh
ah
c
c
bh
ah
h
2
3
2
4
3
3
2
2








. Лемма дәлелденді. 
Енді 


b
a,
интегралдау кесіндісін  2nбөлікке бөлейік (
n
a
b
h
2


). Жоғарыдағы 
лемманы 


h
x
x
2
,
0
0

, 


h
x
h
x
4
,
2
0
0


,...,  кесінділеріне  қолдану  арқылы,  Симпсон 
формуласын аламыз: 
 















b
a
n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
2
1
2
2
2
4
3
2
2
1
0
4
...
4
4
3
 


n
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
h
2
1
2
2
2
4
3
2
1
0
4
2
...
2
4
2
4
3










. 

92 
 
Симпсон  формуласы  –  төртінші  ретті  дәлдіктің  формуласы,  оның 
қателігі 


4
4
180
h
a
b
M

мәнінен  аспайды,  мұндағы


 
x
f
M
IV
b
a
)
(
,
4
max

.  Бұл  үшінші 
ретті  көпмүшелікті  интегралдау  барысында  Симпсон  формуласының  қателігі 
нөлге тең, яғни өте дәл есептейді. 
Мысалы. Жуықтап есептеу керек:I =
4
1
1
0
3


dx
x
, қадамы 
4
1

h
.  
1 тіктөртбұрыштар формуласы:
11
.
0
,
14
.
0
64
27
8
1
64
1
0
4
1













I
, 
2 тіктөртбұрыштар формуласы:
14
.
0
,
39
.
0
1
64
27
8
1
64
1
4
1













I
, 
3 тіктөртбұрыштар формуласы:
008
.
0
,
242
.
0
216
343
216
125
216
27
216
1
4
1













I
, 
  Трапециялар формуласы:


115
.
0
,
265
.
0
39
.
0
14
.
0
2
1





I
. 
  Симпсон формуласы
0
,
25
.
0
1
64
27
4
8
2
64
4
0
12
1















I
 
 
 
АНЫҚТАЛМАҒАН ЖӘНЕ АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДАР БОЙЫНША 
ЕМТИХАН СҰРАҚТАРЫ 
 
 
1.  Алғашқы функция ұғымы. Анықталмаған интеграл. Алғашқы функциялар 
туралы теорема; 
2.  Интегралдау  амалы  мен  дифференциалдау  амалының  арасындағы 
байланыс; 
3. 
 
 


x
f
dx
x
f
dx
d
 қасиетінің дәлелдеуі; 
4. 
 
 
C
x
f
dx
x
f
dx
d



қасиетінің дәлелдеуі; 
5. 
 


 
dx
x
f
dx
x
f
d


 
 



C
x
f
x
df
қасиетінің дәлелдеуі; 
6. 
 
 


 
 






dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
2
1
2
1
қасиетінің дәлелдеуі; 
7. 
 
 
.
,
const
C
dx
x
f
C
dx
x
Cf




, дәлелдеу 
8.  Функцияны дифференциал таңбасының астына кіргізу тәсілі; 
9.  Айнымалыны ауыстыру әдісі; 
10. Бөліктеп интегралдау әдісі; 
11. «Алынбайтын» интегралдар; 
12. Қисық сызықты трапецияның ауданы; 
13. Сызықты біртексіз өзек (стержень) массасы; 
14. Түзусызықты жол кесіндісінде айнымалы күштің жасайтын жұмысы; 
15. Интегралдық қосынды. Анықталған интеграл; 

93 
 
16. Анықталған интегралдың геометриялық мағынасы; 
17. Анықталған интегралдың физикалық мағынасы; 
18. Интегралданудың қажетті шарты; 
19. Интегралданудың жеткілікті шарты; 
20. 
0
)
(


a
a
dx
x
f
 дәлелдеуі; 
24. 
,
)
(
)
(



b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
f
k
const

k
 дәлелдеуі;
 
25. 




a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
дәлелдеуі; 
26. 


dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
b
a
b
a
b
a






)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
дәлелдеуі; 
27. 





b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
дәлелдеуі; 
28. Орта мән туралы теорема 
29. Жоғарғы шегі айнымалы анықталған интегралдың жоғарғы шегі бойынша 
туындысы; 
30. Ньютон-Лейбниц формуласы; 
31. Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру; 
32. Анықталған интегралды бөліктеп интегралдау; 
33. I-ші текті меншіксіз интегралдар; 
34. II-ші текті меншіксіз интегралдар; 
35. I-ші  және II-ші текті меншіксіз интегралдардың жинақтылық белгілері; 
36. Жуықтап есептеу формулалары: Тік төртбұрыштар формуласы; 
37. Жуықтап есептеу формулалары: Трапециялар формуласы; 
38. Жуықтап есептеу формулалары: Парабола формуласы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

94 
 
ӘДЕБИЕТТЕР 
1. 
Р.  Курант,  Г.  Роббинс.  Что  такое  математика.  Элементарный  очерк 
идей  и  методов/  Перевод  с  английского  под  редакцией  А.Н.Колмогорова.-
М.:Из-во МЦНМО, 2010. 
2. 
Пискунов,  Н.С  Дифференциальное  и  интегральное  исчисление  для 
втузов/Н.С.Пискунов.- М.: Наука, 1978 – 1996.-Т.1. 
3. 
Щипачев, В.С. Курс высшей математики.–М.:Изд. МГУ, 1981.-Т.1. 
4. 
Задачи  и  упражнения  по  математическому  анализу/под  редакцией 
Б.П.Демидовича.-М.Наука, 1970. 
5.  Бірінші қосымша. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

95 
 
1 ҚОСЫМША 
 
Кітап –айна сияқты. Бұл айнаға 
 маймыл қанша қараса да -одан 
дананың бейнесін көруі екіталай. 
 
Математикалық талдау пәнінен кейбір фундаментальды әдебиеттер 
және оларға қысқаша анықтамалық сипаттамалар 
 
1.  Фихтенгольц  Г.М.  Курс  дифференциального  и  интегрального  исчисления.  (  В  3-х 
томах ). - М.: Физматлит, 2003. т.1 - 680с.; т.2 - 864с.; т.3 - 728с. 
Дифференциалдық және интегралдық есептеулер курсы. Математикалық талдаудан 
тұғырлы  оқулық.  Бірнеше  рет  көптеген  басылымдармен  шыққан  және  шет  тілдерге,  сонң 
ішінде  қазақ  тіліне  де  аударылған  оқулық.  Біріншіден,  жүйелілігімен  және  баяндау  ретінің 
қатаң 
сақталуымен, 
екінші 
жағынан 
–қарапайым 
жазу 
тілімен, 
егдей-тегжейлі 
түсіндірулермен және теорияны түсіндірудегі көптеген мысалдарымен ерекшеленеді.  
1  томның  мазмұны:Нақты  сандар,  шектер  теориясы,  бір  айнымалдыан  функциялар, 
туындылар  мен  дифференциалдар,  бір  айнымалыдан  функцияны  зерттеу,  көп  айнымалыдан 
функциялар, 
функционалдық 
анықтауыштар 
және 
олардың 
қолданыстары, 
дифференциалдық есептеулердің геометрияға қолданылуы. 
2  томның  мазмұны:  Алғашқы  функция  (анықталмаған  интеграл),  анықталған 
интеграл, анықталған интегралдың геометриядағы, механика мен физиадағы қолданыстары, 
ақырсыз  сандық  қатарлар,  функционалдық  қатарлар  мен  тізбектер,  меншіксіз  интегралдар, 
параметрге тәуелді интегралдар. 
3  томның  мазмұны:Қисық  сызықты  интегралдар;  Стилтьесаинтегралы.  Қос 
интегралдар.  Беттің  ауданы;  беттік  интегралдар.  Үш  еселі  және  еселі  интегралдар.  Фурье 
қатарлары. Фурье қатарлары (жалғасы). Толықтырулар; Шекке жалпы көзқарас. 
 
2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Том 1, 2. Наука, 1968. Т 1 440 
стр. Т 2 464 стр. 
Математикалық талдау негіздері.Оқулық математикалық талдау негіздерін жүйелі де 
қатаң  ретпен  баяндаумен  ерекшеленеді.  Материалдар  логикалық  тізбекпен  баяндалып, 
курстың 
теориялық 
заңдылықтарын 
бекітуге 
арналған 
мысалдармен 
кезектесіп 
отырады.Автор  талдаудың  математиканың  өзінде  және  іргелес  облыстарда  –физикадағы, 
механика  мен  техникадағы  қолданыстарына  ерекше  көңіл  бөледі.  Оқулық  жоғары 
техникалық  білім  беретін  оқу  орындары  мен  университеттердің  төменгі  курс  студенттеріне 
арналған. 
 
3.  Б.П.Демидович.  Сборник  задач  и  упражнений  по  математическому  анализу.  13-е 
изд., испр.- М.: Изд-во Моск. ун-та ЧеРо,1997. - 624с. 
Математикалық  талдау  бойынша  есептер  мен  жаттығулар  жинағы.Жинаққа 
математикалық  талдаудың  ең  маңызды  бөлімдері  бойынша:  талдауға  кіріспе,  бір 
айнымалыдан  функцияның  дифференциалдық  есептеулері,  анықталмаған  және  анықталған 
интегралдар,  қатарлар,  көп  айнымалыдан  функцияның  дифференциалдық  есептеулері, 
параметрге  тәуелді  интегралдар  мен  қисық  сызықты  интегралдар  бойынша  40000  жуық 
есептер мен жаттығулар кіреді және барлығының дерлік жауаптары келтірілген. Жоғары оқу 
орындарының физика, математика-механика мамандықтарына арналған. 
4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. (Курс высшей 
математики и математической физики). 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: