Алданов е. С. «Бір айнымалыдан функцияның интегралдық есептеулері»

74 
 
r
r
r
t
r
t
d
t
r
dt
t
r
L
8
4
4
2
cos
4
2
2
sin
4
2
sin
2
2
0
2
0
2
0


















. 
   
3.1.4. Айналу денесі бетінің ауданын есептеу 
)
(x
f
y 
, 
b
x
a


 


0

x
f
    өзінің  бірінші  туындысымен  бірге  үзіліссіз 
функциясын 
осімен айналдырғанда алынатын дененің бетінің ауданы келесі 
формуламен есептеледі:: 
 
 
dx
x
f
x
f
P
b
a
2
1
2






. 
Мысалы. Радиусы 
 болатын шар бетінің ауданын есептеу керек. 
Шешуі:  Шардың  (сфера)  беті 
2
2
2
R
y
x


  шеңберін 
OX
  осімен 
айналдырғанда  алынады  деп  есептесек,  шеңбердің  теңдеуінен 
2
2
2
x
R
y


, 
2
2
x
R
y



аламыз. Сонда 
















dx
x
R
x
x
R
dx
y
y
P
R
R
R
R
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
 
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
R
Rx
dx
R
dx
x
R
R
x
R
R
R
R
R
R
R
















. 
 
ӨЗ БЕТІМЕН ШЫҒАРУҒА АРНАЛҒАН ЕСЕПТЕР 
 
1.Сызықтармен 
шектелген 
фигураның 
ауданын есептеу 
Жауаптары 
1 
,
2
2
x
y 
3
,
1


x
x
және
OX
 
3
13
 
2 
,
4

xy
,
1

x
,
4

x
0

y
 
2
ln
8
 
3 
,
ln x
y 
,
e
x 
0

y
 
1
 
OX
R

75 
 
4 
,
3
2
x
y 
,
8

y
0

x
 
2
,
19
 
5 
,
2
2
x
y


және
2
3
x
y 
 
15
32
 
6 
,
1
2
x
y


және
3


x
 
3
32
 
7 



2
1



x
x
x
y
және
OX
 
5
,
0
 
(функция 
таңбасын ескер) 
8 
,
3
x
y 
,
8

y
және
8
 
12
 
9 
,
1
1
2
x
y


және
2
2
x
y 
 
3
1
2


 
10 
,
x
e
y 
,
x
e
y


1

x
 
2
1


e
e
 
11 
астроида





t
a
y
t
a
x
3
3
sin
cos
 
2
8
3
a


 
12 
кардиоида





cos
1
a
r
 
2
2
3
a


 
13 


2
cos
a
r
 
2
2
a

 
14 


3
sin
a
r
 
2
4
a

 
 
 
2. 
Берілген 
сызықтармен 
шектелген 
фигураны 
OX
    осімен  айналдырғанда 
алынатын дененің көлемін есептеу керек: 
Жауаптары 
1 
,
x
e
y


,
1
,
0


x
x
0

y
 
 
2 
,
2
x
y 
2
8
y
x 
 
3
48
 
3 
x
y
2

 
15
64
 


2
1
2



e
,
2
x
y 

76 
 
4 
,
1
2
x
y


0

y
 
15
4
 
5 
y=tgx   
,
0

y
4


x
 









4
1
 
6 
,
1
2
2

 y
x
 ( Iширекте ) 
3

 
7 
,
x
e
y 
,
x
e
y


1

x
 


2
2
2



e
e
 
 
3. 
Берілген 
сызықтармен 
шектелген 
фигураны 
    осімен  айналдырғанда 
алынатын дененің көлемін есептеу керек: 
Жауаптары 
1 
,
1
4
1
2
2


y
x
2
,
2



y
y
 
3
8
 
2 
1
,
1
2




y
x
x
y
 
6

 
3 
,
x
y 
x
y 
 
15
2
 
4 
,
2
x
y 
2
8
y
x 
 
5
24
 
5 


0
4
,
0
,
2
2





x
y
y
x
 
3
56
 
6 
2
2
,
2
y
x
y
x



 
3
16
 
 
4.Қисық 
доғаларының 
ұзындығын 
есептеңдер 
Жауаптары 
1 
3
2
x
y 
жартылай 
кубтық 
параболаның 
координаталар 
басынан 
координаталары 
8
,
4


y
x
болатын  нүктеге  дейінгі  лоғасының 
ұзындығын есептеңдер 


1
10
10
27
8
  
2 
3
2
x
y 
қисығының 
оны 
x
y
2

түзуімен 
қиғандағы доғасының  ұзындығын есептеңдер  


1
10
10
27
8

 
3 
қисығының 
20
2
2

 y
x
қисығының 
ішінде жатқан бөлігінің ұзындығын есептеңдер 


1
10
10
27
8

 
,
1

 y
x
OY
3
2
2x
y 

77 
 
4 
қисығының  оны 
1


x
түзуімен 
қиғандағы доғасының  ұзындығын есептеңдер  
3
28
 
5 
  қисығының
1

y
-ден 
e
y 
аралығындағы ұзындығын есептеңдер 
 
6 











t
t
t
a
y
t
t
t
a
x
cos
sin
sin
cos
қисығының 
0
1

t
-ден
T
t 
2
 аралығындағы ұзындығын есептеңдер 
2
2
1
aT
 
7 


3
2
1
3
2


x
y
  қисығының
3
2
x
y 
параболасына 
қосылған бөлігін есептеңдер 








 1
2
5
2
5
9
8
 
 
5. Айналу бетінің ауданын есепте 
Жауаптары 
1 
Биіктігі
R
, 
ал 
табан 
радиусы
H
айналу 
цилиндрінің бүйір бетінің ауданын тап 
RH

2
 
2 
Биіктігі
R
,  ал  табан  радиусы
H
тік  конустың 
бүйір бетінің ауданын тап 
2
2
H
R
R


 
3 
Тік  конустың  бүйір  бетінің  ауданын  тап,  егер 
оның  жасаушысының  ұзындығы
L
,  ал  табан 
радиусы
R
болса 
RL

 
4 
3
3
x
y 
қисығының 
2


x
, 
 
2

x
каралығындағы доғасын  


9
2
17
34
 
5 
x
y

 4
2
қисығының
2

x
 
түзуімен 
қиылғандағы бөлігін 
OX
осімен айналдырғанда 
алынатын дене бетінің ауданын есепте 
3
62
 
 
3.2 Анықталған интегралдың физикалық қолданыстары 
 
3.2.1 Кейбір қажетті ұғымдар 
Төменде  материялық  нүктелердің  ақырлы  жүйесіне  қатысты  кейбір 
маңызды анықтамалар келтіріледі. 
АНЫҚТАМА.Массасы m -ге,  берілген 
l
осімен  арақашықтығының  шамасы  
d
-ға тең 
A
материялық нүктесінің  осы 
l
 осіне қатысты статикалық моменті 
деп келесі шаманы айтады:  


3
2
2
9
4
x
y


y
y
x
ln
2
1
4
1
2


2
1
2

e

78 
 
 
 
АНЫҚТАМА.  Жазықтықтың 
l
осімен  арақашықтықтарының  (21-сурет), 
шамалары   
n
d
d
d
...,
,
,
2
1
,  ал  сәйкес  массалары 
n
m
m
m
,
...
,
,
2
1
осы  жазықтықта 
шоғырланған    материялық  нүктелер  жүйесінің  осы
l
  осіне  қатысты 
статикалық моменті деп келесі қосындыны айтады: 



n
i
i
i
u
d
m
M
1
 
 
21-сурет. 
1  ескерту.Остің  екі  жағында  жатқан  нүктелердің  арақашықтықтары 
қарама-қарсы таңбамен алынады. 
Оху  жазықтығында  жатқан  материялық  нүктелер  жүйесінің 
OX
және
8
остеріне  қатысты  статикалық  моменттері  сәйкес  келесі  формулалармен 
есептеледі: 



n
i
i
i
x
y
m
M
1
 
және  



n
i
i
i
y
x
m
M
1
 . 
АНЫҚТАМА. Сәйкес массалары 
1
m
, 
2
m
, …, 
n
m
 жазықтықтағы 
)
,
(
1
1
1
y
x
M
, 


,
,
2
2
2
y
x
M
  …, 
)
,
(
n
n
n
y
x
M
  материялық  нүктелер  жүйесінің    ауырлық 
күштерінің тең әсерлі 
)
,
(
c
c
y
x
C
нүктесі  олардың ауырлық центрі деп аталады. 
Ауырлық центрінің координаталары
c
c
y
x ,
 келесі формулалармен есептеледі: 
3
d
 
1
m
 
1
d
 
2
d
2
m
 
3
m
 
n
d
 
n
m
 
l  
md
M
l


79 
 
M
M
m
x
m
x
y
n
i
i
n
i
i
i
c






1
1
,    
M
M
m
y
m
y
x
n
i
i
n
i
i
i
c






1
1
, 
мұндағы



n
i
i
m
M
1
 - жүйедегі барлық нүктелер массаларының қосындысы. 
Осы  айтылғандарды  ауырлық  күшінің  координаталарын  есептеуге 
қолданайық. 
3.2.2Жазық материялық пластинаның ауырлық центрі 
XOY
жазықтығында 
)
(
1
x
f
y 
, 
)
(
2
x
f
y 
, 
b
x
a


қисықтары  берілсін 
және 
)
(
)
(
1
2
x
f
x
f

  болсын(    22-сурет).  Осы  қисықтармен  шектелген  фигураның 
ауырлық центрін табайық. 
Осы фигураның бойында қайсібір масса бірқалыпты таралған болсын, яғни 
массаның  тығыздығы  тұрақты 

(біртекті  фигура).  Осы  жазық  фигураның 
ауырлық центрі 
)
,
(
c
c
y
x
C
нүктесінің координаталарын есептейік. Ол үшін: 
I) 


b
a ,
кесіндісін 
n бөлікке 
 
b
x
x
x
x
x
a
n
i
i









...
...
1
1
0
нүктелерімен  бөлшектейміз, 
1




i
i
i
x
x
x
    (
n
i
,
1

)  –  алынған  дербес 
кесінділердің  ұзындықтары.    Әрбір  бөлу  нүктесі  арқылы 
OX
  осіне 
перпендикуляр жүргізсек, бастапқы фигура  n  вертикаль жолақтарға бөлінеді; 
II)    осындай  әрбір  жолақты  жуық  шамамен  тіктөртбұрыш  ретінде 
қабылдаймыз, 
ал 
массасы 
оның
i
C
ауырлық 
центрінде 
шоғырланған(диогональдардың  қиылысу  нүктесі): 







2
)
(
)
(
,
1
2
i
i
i
i
P
f
P
f
P
C
, 
мұндағы
2
1



i
i
i
x
x
P
, 
n
i
,
1

. 
Дербес
)
(x
f
y
-ші 
тіктөртбұрыштың 
массасы


i
i
i
i
x
P
f
P
f
m





)
(
)
(
1
2

 
(

-тығыздықтың 
)
(x
f
y
-ші 
тіктөртбұрыштың 


x
P
f
P
f
S
i
i
i




)
(
)
(
1
2
  ауданына  көбейтіндісі.  Нәтижесінде,  жазық  фигураның 

80 
 
ауданы  әрқайсысында 
i
m
  масса  шоғырланған 
i
C
материялық  нүктелер 
жүйесімен  ауыстырылады; 
22-сурет. 
 
III) 
)
,
(
c
c
y
x
C
ауырлық  центрінің  координаталарын  жуық  шамамен  n
нүктесі бар жүйе үшін келесі формулалармен есептеуге болады: 

















n
i
i
i
i
n
i
i
i
i
i
c
x
P
f
P
f
x
P
f
P
f
P
x
1
1
2
1
1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
;

 


















n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
i
c
x
P
f
P
f
x
P
f
P
f
P
f
P
f
y
1
1
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
 ; 
IV) жазық фигураның ауырлық центрі координаталарының дәл мәнін табу 
үшін 
жоғарыдағы 
формуларларда 
0


 
 
(
i
i
x



max
)шекке 
көшеміз.Тығыздық 

=const,  сондықтан  екі  бөлшекте  де  оны  қысқартып, 
соңында мынадай формулалар алынады: 
i
C
 
)
(
1
x
f
y 
y
 
b
 
)
(
2
x
f
y 
 
2
)
(
)
(
1
2
i
i
P
f
P
f

n
i
i
i
x
b
x
P
x
x
a


1
0
 

81 
 










b
a
b
a
y
c
dx
x
f
x
f
dx
x
f
x
f
x
M
M
x
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
;      




dx
x
f
x
f
dx
x
f
x
f
M
M
y
b
a
b
a
x
c






)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
2
1
2
2
 . 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: