Лекция №3 Екінші ретті қисықтар: гипербола және оның канондық теңдеуі
Анықтама. Жазықтықтағы фокус деп аталатын екі нүктеден қашықтықтарының айырымы әрқашантұрақты шама 2a-ға тең болатын нүктелердің геометриялық орнын гипербола деп атайды.
Эллипстегі координата осьтерін енгізген тәсілмен координаталар жүйесін енгіземіз
Гиперболаның теңдеуін қоирытып шығару үшін жазықтықтың M(x,y) нүктесін аламыз да оның фокустан қашықтықтарын табамыз:
,
Гиперболаның анықтамасы бойынша осы қашықтықтардық айырымы тұрақты және 2a-ға тең:
Гиперболаның теңдеуі математикалық жолмен құрылды, енді түрлендіру арқылы оны ықшамдаймыз:
.
Екі жағын да –қа бөлеміз
2a˂2c болғандықтан квадраттар айырымын белгілейміз:
. (1)
Сонымен, эллипстің канондық теңдеуін аламыз:
(2)
Гиперболаның ордината осьтерімен қиылысу нүктелері
Гиперболаның абсцисса осімен қиылысу нүктелерін табу үшін мына теңдеулер жүйесін шешеміз.
Гиперболаның екі төбесін аламыз: M1(-a,0), M2(a,0).
– гиперболаның нақты осі деп, ал
нақты жарты осі деп аталады.
Гиперболаның ордината осімен қиылысу нүктелерін табу үшін мына теңдеулер жүйесін шешеміз:
Сонда эллипстің қалған екі M3(0,-b), M4(0,b) төбесін аламыз.
– гиперболаның жорамал осі деп, ал
жорамал жарты осі деп аталады.
(2) теңдеуден және суреттен гиперболаның Ox және Oy осьтері бойынша симметриялы орналасқаны көрініп тұр.
Гипербола теңдеуінен у-ті табамыз:
Егер онда Ендеше, гипербола шенелмеген.
Гиперболаның асимптоталары
Анықтама. Егер қисықтың нүктесі ақырсыз алыстаған сайын сол нүкте мен белгілі бір түзуге дейінгі қашықтық нөлге ұмтылса, онда бұл түзу қисықтың асимптотасы деп аталады.
Көлбеу асимптота бұрыштық коэффициенттерімен берілген түзу теңдеуімен беріледі:
Бұрыштық коэффициентін табу үшін b=0 делік, сонда
теңдеуінен b кесіндісін шекке көшіп табамыз
Сонымен, гиперболаның координаталар басынан өтетін екі асимптотасы бар:
Достарыңызбен бөлісу: |
