Е-mail: bkalimbetov@mail.ru

 
                
 
 
 
 
БҚМУ Хабаршы №3-2016ж.  
 
47 
түрдегі өрнектің (формулаларды) жуықтап алынған шешімі түсінігі, сандық мәндерге 
(кестелерді)  немесе  сызбалық  бейнелі  және  ізделінді  шешімге  сондай  немесе  соған 
ұқсас дәрежелі дәлдікпен алынатын шешімнің жуықтауына айтылады. 
Интеграл  теңдеулер  пәнін  үйренудің  негізі  интеграл  теңдеулердің  типтерін 
және  оларды  шешудің  аналитикалық  әдістерін  меңгеру  болып  табылады.  Интеграл 
теңдеулер  теориясындағы  аналитикалық  әдістер  дегенде  ізделінді  шама  мен  өзара 
байланыста  берілетін  формалар  көрінісіндегі  есептің  дәл  шешіміне  яғни  қарапайым 
мағынадағы түсінікке айтылады.  
Интегралдық  теңдеулердің  аналитикалық  әдістермен  құрылған  шешімдерін 
заманауи  компьютерлік  бағдарламалармен  талдау  математикалық  білімнің 
қолданбалы  негізінің  дамуына  әсер  етеді.  Болашақ  математик  бакалаврларды  даярлау 
сапасының  жоғарылатуын  қалыптастыруда  интегралдық  теңдеулерді  шешуді  оқыту  әдістері, 
құралдары, формалары, компьютерлік бағдарламаларын іріктеу маңызды рөл ойнайды.  
Математика  мамандығының  бакалаврларына  интеграл  теңдеулерді  оқыту 
әдістерінің жетілуі барысынан төмендегідей жағдайлар келіп шығады: 
-
 
айқындалған Maple және т.б. жаңа ақпараттық құралдардың мүмкіндіктерін 
қолдану,  интегралдық  теңдеулерді  шешудің  дәл  және  жуықтау  әдістемесі  жайында 
болашақ математик бакалаврлардың кеңейтілген білімдерінің қалыптасуы, пәннің және оның 
сәйкестік бағытындағы қолданбалығының жоғарылауына маңызды әсер етеді; 
-
 
 болашақ  математик  бакалаврлар  үшін  өзіне  құрамдас  дәстүрлі 
формалары  және  оқу  құралдары,  әдістемесі,  компьютерлік  бағдарламалардың 
қолданылуымен оның әдісіне сәйкес модель мүмкіндіктерінің пайда болуынан келіп 
шығып,  компьютерлік  бағдарламаларды  ежелеп  қолдану,  интегралдық  теңдеулерді 
шешуді оқыту формаларын, практикалық-зертханалық тапсырмаларды зерттеуде оқу 
құралы ретінде Maple бағдарламасын қолдану көзделген мақсатқа жеткізеді; 
-
 
 интегралдық  теңдеулерді 
шешуді  оқыту  әдісінде  компьютерлік 
бағдарламаларды  қолдану  математикалық  дайындықтың  сапасын  жоғарылатуды 
қалыптастырады,  сонымен  бірге,  қолданбалы  есептер  (шешімділіктің  сандық  және 
графикалық  әдісі),  компьютерде  шешуге  арналған  есептерді  оқыту,  шешімнің 
графигін  құру  кезінде  қажет  болады  және  бакалаврлардың  бейнелік  мәліметтер 
қабылдау деңгейін жоғарылатады. 
Біз  мұнда,  бакалаврлардың  интегралдық  теңдеулер  пәнін  меңгеру  барысында 
кездесетін кебір есептерді шешудің әдістерін, яғни сызықты болмаған интегралдық теңдеудің 
шешімін құруды зерттеу және оқыту әдісінің жекелей бір түрін келтіріп өтеміз. 
Айталық, 
0
( )
( )
,
(
)
t
y s
y t
d s
a t
t
s





 
 
   
 
(1) 
әлсіз ядролы сызықты емес Вольтерраның бірінші түрдегі интегралдық теңдеуі 
берілген  болсын  [11].  Мұнда 
( )
y t

белгісіз  функция, 
,
,
a
 
 
тұрақты 
коэффициенттер 
үшін 
0
1,
1





 
 
теңсіздіктері 
орындалсын. 
(1) 
интегралдық  теңдеудің  шешімін  табумен  бірге,  бұл  шешімдердің  графикалық 
бейнесін  заманауи  ақпараттық  құралдар  көмегінде  көрсету  арқылы  болашақ 
математик  бакалаврлардың  ғылыми  дүниетанымын  кеңейтуде  маңызды  рөлге  ие 
екенін көрсетеміз. 
1.
 
Шешімді қандай да бір функция түрінде іздеу. (1) интеграл теңдеудегі 
берілген 
( )
f t
a t


  функцияға тәуелді  болған ізделінді  шешімін 
( )
y t
к t


 түрінде 
болады  деп  есептейік,  мұнда 
,
k


анықтауды  талап  ететін  тұрақты  сандар. 
Сонымен, ізделінді 
( )
y t
k t


 функциясын (1) теңдеуге қойсақ,  

 
                
 
 
 
 
БҚМУ Хабаршы №3-2016ж.  
 
48 
0
(
)
t
к s
k t
d s
а t
t
s







 
 
 
  
(2) 
теңдеуге ие боламыз. (2) теңдеудегі интеграл  астындағы өрнекке 
s
t


  жаңа 
айнымалыны енгізсек,  
1
2
2
1
0
,
(1
)
k t
d
а t

 





 



 
немесе  
2
2
1
(1
,1
)
,
k t
B
a t
 



 



 
 
 
 
 
(3) 
мұнда 
(1
,1
)
B





бета-функция,  түріндегі  қарапайым  алгебралық 
теңдеуге келеміз. (3) теңдеудегі интеграл  
1
2
1
1
2
1
1
0
(
,
)
(1
)
х
х
d s
B x
x
s
s





 
екінші  түрдегі  Эйлер  интегралы.  (3)-теңдеуден  тәуелсіз  айнымалының 
көрсеткіштерін теңестіру арқылы 
1
1
2
2
1
1
,
1
,
2
2
k
a B














 





 
ізделінді тұрақтыларды табамыз. Сонымен, (1) интегралдық теңдеудің шешімін 
келесі түрде анықтаймыз: 
1
1
1
2
2
2
1
( )
1
,
.
2
y t
a B
t
 










 





 
 
 
 
 
(4) 
(4)  шешімде 
1


 
  шарты  орындалса, 
( )
y t
  функциясы  (1)  теңдеуді 
қанағаттандыратынын  және  де  алдағы  қарастыратын  жағдайлар  үшін  де  осы 
теңсіздіктер орынды екендігі келіп шығады.  
(4) функция үшін айнымалының және тұрақтылардың әртүрлі мәндеріне сәйкес 
графиктері 1-4 – суреттерде келтірілген. 
 
 
9
1;
;
1;
1 0 ..1 0 .
1 0
a
t





 
       
 
9
5
1;
;
;
1 0 ..1 0 .
1 0
1 0 0
a
t





 
 
Cурет 1.                                                                   Cурет 2. 

 
                
 
 
 
 
БҚМУ Хабаршы №3-2016ж.  
 
49 
 
9
1
1;
;
..1 0 .
1 0
1 0
a





  
 
                     
9 9
1
8
1;
;
..
.
1 0
1 0
1 0
a





 
Cурет 3.                                                                   Cурет 4. 
 
Жоғарыда  айтылғандай  шешімді  іздеуді  Maple  бағдарламасында  орындап 
көрейік [12]. 
> restart; 
> eq1:=y(t)*int((t-s)^(-alpha)*y(s),s=0..t)=a*t^beta; 
 := 
eq1

( )
y t
d




0
t
(
)

t
s
(
)
 
(
)
y s
s
a t

 
> eq2:=subs(y(t)=k*t^c,y(s)=k*s^c,eq1): 
> eq3:=k*t^c*int((t-s)^(-alpha)*k*s^c,s=0..t)=a*t^beta; 
 := 
eq3

k
2
t
c
t
(
)
  

1
c
(
)
  

1
(
)


c
1
(
)
   

2
c
a t

 
мұнда 
Г

гамма-функция; 
> c:=solve(t^c*t^(-alpha+1+c)=t^beta,c); 
 := 
c
 
1
2

1
2
1
2

 
> eq4:=subs(c=-1/2+(1/2)*alpha+(1/2)*beta,t=1,eq3): 
> k:=solve(eq4,k): 
> y(t):=k*t^c; 
( )
y t
(
)
  

1







 
1
2

1
2
1
2

a






 
 
1
2

3
2
1
2

(
)
  

1







 
1
2

1
2
1
2

,








 := 
 

(
)
  

1







 
1
2

1
2
1
2

a






 
 
1
2

3
2
1
2

(
)
  

1







 
1
2

1
2
1
2









t
(
)


/
1 2

/
1 2
/
1 2

 
> 
Шешімді  графикалық  әдіспен  табуға  қатысты  мәліметтермен  байланысты 
берілген  әдісті  қолдану  көп  санды  есептеулерді  және  көп  уақытты  талап  етеді. 
Берілген әдістің негізгі басымдылығы интегралдық қисықтар үйірін бейнелеу арқылы 

 
                
 
 
 
 
БҚМУ Хабаршы №3-2016ж.  
 
50 
шешімнің  қасиеттері  жайында  анализ  жасауға,  интегро-дифференциалдық 
теңдеулерде  Коши  есебі  шешімінің  қасиеттеріне  талдау  жүргізуге  және  теңдеудің 
геометриялық  мағынасын  терең  түсінуге  мүмкіндік  береді.  Шешімді  графикалық 
қасиеттерімен байланысты зерттеу өте жоқтың қасы деседе болады. 
2.
 
Шешімдердің  шарттарға  тәуелділігі:  Айталық,  жоғарыдағы  (1) 
интеграл  теңдеудің  шешімі  үзіліссіз  функциялар  класына  тиісті  болсын,  яғни 
( )
[ 0 , ].
t у t
C
t


 
(1)
 
интеграл  теңдеудің  екі  жағындағы 
t
  айнымалыны 

  ға  алмастырып, 
1
(
)
t




ға  көбейткеннен  кейін  0-ден 
t

ға  дейін 

айнымалы  бойынша 
интегралдаймыз 
   
 
 
 
0
0
0
( )
( )
.
(
)
(
)
(
)
t
t
y
y s d s
а
d
d
t
s
t

























 
 
 
 
(5) 
Егер (5) теңдікте 
0
( ,
)
( )
(
)
y s
d s
s



 




 алмастыруын формалды түрде енгізсек, 
онда 
0
0
'( )
( )
.
(
)
t
t
a
d
c
d
t




   






 
теңдеуі  келіп  шығады.  Осы  алынған  теңдеуді  шешіп, 
0
2
( )
(
)
t
а
d
t
c
t






 


 
алмастыру  функциясына  қатысты  шешімді  аламыз.  Табылғандарды  орнына  қою 
арқылы,  
0
0
( )
2
(
)
(
)
t
t
y s
а s d s
d s
t
s
c
t
s



 




 
 
 
 
 
(6) 
көрінісіндегі Абель теңдеуін алдық. 
(6) теңдеудің шешімі  
0
1
0
2
(
)
( )
(
)
t
а s d s
d
c
s
sin
d
y t
d t
t






 









 
 
 
 
 
(7) 
түрінде болады. Мұнда 
1
1
1
1
,
/
,
.
2
2
2
2
c
B
B





























 
Алынған  (4)  және  (7)  шешімдердің  өзара  тең  екеніне  оңай  көз  жеткізуге 
болады. Бакалаврларға (1) интеграл теңдеудегі интегралдың шектері a-дан b-ға дейін 
болған жағдайдағы шешімін табуды тапсырма ретінде беруге болады. 
Ескерту: Жоғарыда  
0
( )
( )
(
)
y s d s
s


 




 
алмастыруын пайдалана отырып,  

 
                
 
 
 
 
БҚМУ Хабаршы №3-2016ж.  
 
51 
( )
'( )
(
)
y
c
t


 



 
дифференциалдық теңдеу орынды деп есептедік, яғни, интегралдан туынды  
( )
( )
( )
( )
( , )
( ,
( ) )
( )
( ,
( ) )
( )
( , )
t
t
t
t
t
t
t
t
d
t
t
t
t
t
t
t
d



































 
бойынша  есептелінетінін  ескермедік.  Өйткені,  интеграл  астындағы  өрнек 
әрдайым үздіксіз болатынын ескеріп отырмыз. Сонымен бірге (1) интеграл теңдеудің 
оң жағы бірмүше болған жағдайы үшін есептелгенін айта кету керек ((1) теңдеудің оң 
жағы көпмүше болғанда шешімді басқаша іздеу қажет етіледі). 
Қорытынды:  Ғылыми  бағыттағы  бакалавр  математиктерді  дайындау 
барысында  интегралдық  теңдеулер  теориясының  даму  процесі  оның  абстрактілі 
сипатынан  қолданбалы  бағытында  қарқын  алғанын  байқаймыз.  Интегралдық 
теңдеулердің  шешімдерін  зерттеу  процесінде  бакалаврлардың  санасына  ғылыми 
теориялардың  негізін  қалаумен  және  оның  негізгі  түсініктерінің  пайда  болуы  мен 
дамуы; басқа ғылымдармен пәнаралық байланысы және олардың арасындағы алатын орны; 
абстрактылы  математиканың  әмбебаптығы  мен  сипаттамасының  көпсатылығы;  келелі 
мәселелерді  зерттеу  әдістері,  осы  ғылымның  әдіснамалық  және  тарихи  аспектілерін  ашу 
арқылы  жететін,  болашақ  математик  бакалаврлардың  ғылыми  деңгейінің  негізінде 
айқындалатын дүниеге көзқарастарын қалыптастыруда үлкен үлес қосуға тиіс. 
Жоғарыда  келтірілген  есептердің  шешімдерін  тұжырымдай  келе,  қолданбалы 
есептерді  шешу  барысында,  аналитикалық  әдістің  көмегімен  шешілген  есепті 
математикалық  формулалармен  немесе  басқа  да  жағдайлармен  зерттеу  өте  күрделі 
болады. Егерде берілген есепті немесе басқа да жағдайларды зерттеуді талап етілсе, 
онда  есепті  шығару  өте  үлкен  еңбекті  талап  етеді.  Сонымен  қатар,  компьютерлік 
бағдарламаның  көмегімен  шешімді  графикалық  шешілген  есеп,  ағымдағы  процесті 
немесе  басқа  да  процесті  толық  сипаттап  береді,  ондағы  есептің  қасиетін 
тұжырымдауға  және  алға  қойған  сұрақтарды  шешуге  мүмкіндік  береді,  тәжірибе 
тұрғысында есепті шығару арқылы іске асырады. Осылайша, мұндай есептерді шешу 
барысында  көп  уақытты  талап  етеді,  яғни  қолданбалы  есептердің  көптеген  санын 
қарастыруға рұқсат  береді. Бұл жерде, графика түрінде ұсынылған есептерді шешу, 
игеру, функцияларын талдауға мүмкіндік береді. 
 
Әдебиеттер: 
1.  Виленкин  Н.Я.,  Яглом  И.М.  О  преподавании  математики  в  педагогических 
институтах // Успехи математических наук. – 1957. – № 12:2(74). – С. 199-209.  
2. Шабунин М.И. Научно-методические основы углубленной математической подготовки 
учащихся средних школ и студентов вузов / Дисс. ... док. пед. наук. – М., 1994. – 387 с. 
3.  Луканкин  Г.Л.  Научно-методические  основы  подготовки  учителя 
математики в пединституте / Дисс. ... док. пед. наук. – Л., 1989. – 59 с. 
4. 
Мордкович  А.Г.  Профессионально-педагогическая  направленность 
специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте / Автореф. 
дисс. ... док. пед. наук. – М., 1986. – 36 с. 
5.  Бидайбеков  Е.Ы.  Развитие  методической  системы  обучения  информатике 
специалистов совмещенных с информатикой профилей в университетах РК / Дисс. … 
док. пед. наук. – Алматы, 1999. – 153 c.  
6.  Абылкасымова  А.Е.  Формирование  познавательной  самостоятельности 
студентов-математиков  в  системе  методической  подготовки  /  Дисс.  ...  док.  пед. 
наук.– Алматы, 1996. – 298 c.  
7.  Сулейменов  Ж.С.  Методическая  система  обучения  дифференциальным 
уравнениям студентов физико-математических факультетов университета  /  Дисс. … 
док. пед. наук. – Алматы, 2004. – 176 с.  

 
                
 
 
 
 
БҚМУ Хабаршы №3-2016ж.  
 
52 
8.  Асланов  P.M.  Методическая  система  обучения  дифференциальным 
уравнениям в педвузе / Дисс. ... док. пед. наук. – М., 1997. – 390 с. 
9. Корнилов В.С. Теоретические и методы основы обучения обратном задачам 
для  дифференциальных  уравнений  в  условиях  гуманитаризации  высшего 
математического образования / Дисс. … док. пед. наук. – М., 2008. – 481 с. 
10.  Безручко  А.С.  Методика  обучению  решению  дифференциальных 
уравнений  будущих  учителей  математики,  основанная  на  использовании 
информационных технологий / Дисс. … док. пед. наук. – М., 2014. – 199 с. 
11.  Краснов  М.А.,  Киселев  А.И.,  Макаренко  Г.И.  Интегральные  уравнения.  – 
М.: Наука, 1968. – 183 с. 
12. Аладьев В.З. Основы программирования в Maple. – Таллин, 2006. – 301 с. 
 

жүктеу/скачать 4,23 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: